第5章 教考衔接5 函数的零点再探究（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第五章　函数应用 教考衔接5——函数的零点再探究 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 第五章　函数应用 1 谢谢观看 第五章　函数应用 1 一、真题展示 (全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln x，x>0，)) g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0)　　　　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 二、真题溯源 [教材P132练习第3题] 说明下列方程存在解，并给出解的一个存在区间： (1)x－ eq \f(1,x) ＝0； (2)lg x＋x＝0. 三、类法探究 类型一　判断复合函数零点的个数 　(多选)已知定义域和值域均为[－a，a](a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解 B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解 C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解 D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解 [解析]　设f(x)的零点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3. 由f[g(x)]＝0，得g(x)＝x1或g(x)＝x2或g(x)＝x3. 由g(x)的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解，故A正确； 同理，f[f(x)]＝0最多有九个解，C错误； 因为g(x)＝0有一个解，又g(x)每个对应的值只有一个相应的解，故g[g(x)]＝0有且仅有一个解，而g[f(x)]＝0最多有三个解，所以B错误，D正确，故选AD. [答案]　AD [反思感悟]　f(g(x))型函数的零点即关于x 的方程f(g(x))＝0 根的个数，在解此类问题时，要分两层分析，第一层是解关于g(x) 的方程，观察有几个g(x) 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层g(x)的值求出每一个g(x) 与几个x 对应，将x 的个数汇总后，即为f(g(x))＝0 的根的个数． 类型二　一元二次方程根的分布问题 　已知关于x 的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个根，其中一个根在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0)) 上，另一个根在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) 上，求m 的取值范围； (2)若方程的两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围． [解析]　(1)由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1 的图象与x 轴的交点分别在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) 上， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2m＋1<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝2>0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝4m＋2<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝6m＋5>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) 故－ eq \f(5,6) <m<－ eq \f(1,2) ，即实数m 的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2))) . (2)由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1 的图象与x 轴的交点在区间(0，1)上， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2m＋1>0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝4m＋2>0，,Δ＝4m2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m＋1))≥0，,0<－m<1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，,m≥1＋\r(　,2)或m≤1－\r(　,2)，,－1<m<0，)) 故－ eq \f(1,2) <m≤1－ eq \r(　,2) ，即实数m 的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1－\r(　,2))) . [反思感悟] 解决一元二次方程根的分布问题的一般思路 (1)读题，确定一元二次方程根的范围； (2)画图，注意二次函数图象的开口方向与二次函数零点的位置； (3)根据图象，写出解题的关键式：①判别式(要特别注意有没有等号)；②二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系；③区间端点的函数值的符号． 类型三　由方程根的个数求参数的范围 　(2024·郴州模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,lg (－x)，x＜0，)) 若关于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则实数t的取值范围为(　　) A．(－∞，－2]　　 B．[1，＋∞) C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) [解析]　作出函数f(x)的大致图象，如图所示，令m＝f(x)，则y＝m2＋m＋t，易知y＝m2＋m＋t的图象的对称轴方程为m＝－ eq \f(1,2) ，若原方程有3个不同的实根，则m＝f(x)在[1，＋∞)内有且仅有1个根，由对称轴m＝－ eq \f(1,2) 可知，另外一个根在(－∞，－2]内，即方程m2＋m＋t＝0在(－∞，－2]，[1，＋∞)内各有一个根，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2＋t≤0，,1＋1＋t≤0，)) 解得t≤－2，即实数t的取值范围为(－∞，－2]，故选A. [答案]　A $$