第5章 2 实际问题中的函数模型（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第五章　函数应用 §2　实际问题中的函数模型 2.1　实际问题的函数刻画 2.2　用函数模型解决实际问题 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　函数应用 1 学业标准 素养目标 1．了解函数模型的应用，会用已知函数模型解决实际问题．(难点) 2．能根据实际问题建立恰当的函数模型求解问题．(重点) 1．通过实际问题的函数刻画，培养数学建模等核心素养． 2．通过建立恰当的函数模型解决实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． 导学　用函数模型解决实际问题 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？ 　总成本C与产量x的关系是什么？ [提示]　总成本C与产量x的关系C＝200 000＋300x. 　单位成本P与产量x的关系是什么？ [提示]　单位成本P与产量x的关系P＝300＋ eq \f(200 000,x) . 　销售收入R与产量x的关系是什么？ [提示]　销售收入R与产量x的关系R＝500x. 　利润L与产量x的关系是什么？ [提示]　利润L与产量x的关系L＝R－C＝200x－200 000. ◎结论形成 1．实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．函数刻画的方法可以使用图象，但最常见的还是使用解析式． 2．几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型　　 y＝ eq \f(k,x) k≠0 二次函 数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f(4ac－b2,4a) 　　　　　 a≠0 指数函数型模型 y＝b·ax＋c a>0且a≠1，b≠0 对数函数型模型 y＝mlogax＋n a>0且a≠1，m≠0 幂函数型模型 y＝axn＋b a≠0 3．用函数模型解决实际问题 数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(　　) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(　　) (4)利用已知模型计算所得数据与实际问题完全一致．(　　) 解析　(1)对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别． (2)数据越多，模拟效果越好． (3)根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型的模拟效果就越好． (4)错误． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低 eq \f(1,3) ，现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为(　　) A．3 600元　　　　　　　 B．2 400元 C．900元 D．300元 解析　由题意，计算机6年后的价格为：8 100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up20(3) ＝2 400(元). 答案　B 3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋ eq \f(1,2) x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 解析　y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－ eq \f(1,2) x2 ＝－ eq \f(1,2) x2＋18x－20. ∴x＝18时，y有最大值． 答案　A 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝ eq \f(K,1＋e－0.23(t－53)) ，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制该传染病，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 解析　∵I(t)＝ eq \f(K,1＋e－0.23(t－53)) ， 所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈ eq \f(3,0.23) ＋53≈66. 答案　C 题型一　利用已知模型解决实际问题 　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(θ,100) ，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ [解析]　(1)由v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(θ,100) 可知，当θ＝900时， v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(900,100) ＝ eq \f(1,2) log39＝1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v2－v1＝1，即 eq \f(1,2) log3 eq \f(θ2,100) － eq \f(1,2) log3 eq \f(θ1,100) ＝1， 得 eq \f(θ2,θ1) ＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型，设出函数解析式． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． [触类旁通] 1．有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 解析　设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2020年开始增加的年份的数量，由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up20(n) ， 由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨， 所以4 000＝400× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up20(n) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up20(n) ＝10， 两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1，所以n(0.4771－0.3010)＝1， 解得0.1761n＝1，解得n≈6，所以从2020＋6＝2026年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨． 答案　2026 题型二　利用自建函数模型解决实际问题 　某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2. (1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式； (2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值． [解析]　(1)设AM＝y，AD＝x， 则x2＋4xy＝200，∴y＝ eq \f(200－x2,4x) . 故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2 ＝38 000＋4 000x2＋ eq \f(400 000,x2) (0<x<10 eq \r(2) ). (2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(100,t))) ， 且0<t<200. ∵函数u＝t＋ eq \f(100,t) 在(0，10]上单调递减，在[10，200)上单调递增， ∴当t＝10时，umin＝20. 故当x＝ eq \r(10) 时，Qmin＝118 000(元). [素养聚焦]　通过数学模型的实际应用提升数学应用关键能力、数学建模等核心素养． 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． (1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． (2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． (3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． (4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等． [触类旁通] 2．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． 解析　(1)根据题意知，空闲率是 eq \f(m－x,m) ， 故y关于x的函数关系式是y＝kx· eq \f(m－x,m) ，0＜x＜m. (2)由(1)知，y＝kx· eq \f(m－x,m) ＝－ eq \f(k,m) x2＋kx ＝－ eq \f(k,m) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f(mk,4) ，0＜x＜m. 则当x＝ eq \f(m,2) 时，ymax＝ eq \f(mk,4) . 所以，鱼群年增长量的最大值为 eq \f(mk,4) . 题型三　利用拟合函数模型解决实际问题 　某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. (1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7). (2)若采用函数f(x)＝ eq \f(15x－a,x＋8) 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． [解析]　(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝ eq \f(1,50) ，所以y＝lg x＋ eq \f(x,50) ＋5. 当x∈[50，500]时，y＝lg x＋ eq \f(x,50) ＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg 50＋6>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型f(x)＝ eq \f(15x－a,x＋8) ＝15－ eq \f(120＋a,x＋8) ， a为正整数，函数在[50，500]上递增； f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344； 要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立， 即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立， 所以a≥315.综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数． (5)利用选取的拟合函数进行预测． (6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [触类旁通] 3．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息． 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 解析　按甲方案，每年利息100×10%＝10，5年后本息合计150万元； 按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，……，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元). 故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利． [缜密思维提能区]　易错辨析 忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错 [典例]　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b<a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x. 问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积． [错解]　设四边形EFGH的面积为S， 则S＝ab－2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)(a－x)(b－x))) ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f((a＋b)2,8) . 根据二次函数的性质可知， 当x＝ eq \f(a＋b,4) 时，S有最大值 eq \f((a＋b)2,8) . [正解]　设四边形EFGH的面积为S，则 S＝ab－2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)(a－x)(b－x))) ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f((a＋b)2,8) ，x∈(0，b]. 因为0<b<a，所以0<b< eq \f(a＋b,2) . 若 eq \f(a＋b,4) ≤b，即a≤3b，则 当x＝ eq \f(a＋b,4) 时，S有最大值 eq \f((a＋b)2,8) ； 当 eq \f(a＋b,4) >b，即a>3b时，易知函数在(0，b]上是增函数， 所以当x＝b时，S有最大值ab－b2. 综上可得，当a≤3b，x＝ eq \f(a＋b,4) 时，S有最大值 eq \f((a＋b)2,8) ； 当a>3b，x＝b时，S有最大值ab－b2. [纠错心得]　利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解． 知识落实 技法强化 1．应用已知函数模型解决实际问题． 2．借助于指数型、对数型函数模型解决问题． 1．思想方法：化归与转化的思想． 2．常见误区：求定义域时忽略实际问题． $$