5.2 实际问题中的函数模型-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦实际问题中的函数模型，衔接函数基本概念与性质，通过函数图象刻画变化过程及构建分段、指数、对数函数模型解决问题，搭建从理论到应用的学习支架。 采用拓展融通课与习题讲评式教学，结合游乐场收支、血药浓度等实例，培养数学抽象与建模素养，提升用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实问题的能力。课中助力教师高效授课，课后检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§2　实际问题中的函数模型 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] 　　　　　　　　[课时目标] 1.在利用函数刻画实际问题的过程中,培养数学抽象素养. 2.在把实际问题转化为数学模型的过程中,提升数学建模素养. 题型(一)　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 [例1]　(多选)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象,销售初期该游乐场为亏损状态,为了实现扭亏为盈,游乐场采取了两种措施,图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是 (　 ) A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,该游乐场的收支恰好平衡 C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 解析:选ABD　图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元,A正确;图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,B正确;图②游乐场实行的措施是提高门票的售价,C错误;图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,D正确. 　　|思|维|建|模| 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案. 　 　　[针对训练] 1.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示: 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是 (　 ) A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒 解析:选ABC　从图象中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,故选项A正确;根据图象可知,首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,由图象可知两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒,故选项B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,故选项C正确;第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,故选项D错误. 题型(二)　构建函数模型解决实际问题 题点1　分段函数模型 [例2]　某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不超过35万件,每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年,每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位:万元),当年产量不超过14万件时,f(x)=x2+4x;当年产量超过14万件时,f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)如果你作为公司的决策人,为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片? 解:(1)根据题意得,当0≤x≤14时,g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30,当14<x≤35时,g(x)=16x-f(x)-30=50-x-, 故g(x)= (2)当0≤x≤14时,g(x)=-x2+12x-30,且当0≤x≤9时,g(x)单调递增,当9<x≤14时,g(x)单调递减,此时g(x)max=g(9)=-×81+12×9-30=24.当14<x≤35时,g(x)=50-x-≤50-2=10,当且仅当x=20时,等号成立.因为24>10,故当x=9时,g(x)取得最大值24,即为使公司获得的年利润最大,每年应生产9万件该芯片. |思|维|建|模|　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 题点2　指数函数模型 [例3]　一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位,参考数据lg 2≈0.3,lg 3≈0.48). 解:(1)最初的质量为500 g. 经过1年,w=500(1-10%)=500×0.9;经过2年,w=500×0.92;由此推知,t年后,w=500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t=250,即0.9t=0.5,两边取以10为底的对数,得lg 0.9t=lg 0.5,即tlg 0.9=lg 0.5,∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. 　　 |思|维|建|模| (1)实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可以用指数型函数模型表示. (2)利用指数函数的单调性即可得出函数的单调性,利用指数式与对数式的转化可得出函数的表达式. 题点3　对数函数模型 [例4]　(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 ) A.p1≥p2 　　B.p2>10p3 C.p3=100p0 　　D.p1≤100p2 解析:选ACD　因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选A、C、D. |思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义. 　　[针对训练] 2.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为T,万有引力常量为G,则太阳的质量M=(单位:kg).由lg≈28.7,lg 2≈0.3,lg π≈0.5,计算得太阳的质量约为 (　 ) A.2×1029 kg B.2×1030 kg C.3×1029 kg D.3×1030 kg 解析:选B　由题意在M=中两边取对数得,lg M=lg+lg 4π2=lg+2lg π+2lg 2.因为lg≈28.7,lg 2≈0.3, lg π≈0.5,所以lg M≈28.7+2×0.5+0.3+lg 2=30+lg 2,所以M=10lg M=1030+lg 2=10lg 2×1030=2×1030.故选B. 3.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　 ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:选A　设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y,则y=80×=80×.令80×≤2,解得≤,两边取常用对数得nlg≤lg,即nlg ≥lg 40,即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2.因为lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以(0.48-0.30)n≥1.60,解得n≥.因为n∈N+,所以n的最小值为9.故选A. 4.为提高隧道车辆通行能力,研究了隧道内的车流速度v(单位:千米/小时)和车流密度x(单位:辆/千米)所满足的关系式:v=研究表明:当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时. (1)若车流速度v≥40千米/小时,求车流密度x的取值范围; (2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数,单位:辆/小时)满足y=x·v,求隧道内车流量y的最大值,并指出车流量最大时的车流密度x辆/千米. 解:(1)由题意知,当x=120(辆/千米)时,v=0(千米/小时),代入v=65-,得k=2 600,所以v=当0<x≤30时,v=50-≥40,易知符合题意;当30<x≤120时,v=65-≥40,解得x≤56,所以30<x≤56.综上车流密度x的取值范围是(0,56]. (2)由(1)知v= 所以当0<x≤30时,y=x·为增函数,所以y≤1 350,当且仅当x=30等号成立; 当30<x≤120时,y=x·65-=65=65×200-65×≤13 000-65×2 =2 600, 即y≤2 600,当且仅当160-x=,即x=80时,等号成立. 综上,y的最大值为2 600(辆/小时),此时x=80(辆/千米). 即隧道内车流量y的最大值为2 600辆/小时,此时车流密度x为80辆/千米. 5.在无菌培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢,在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位:百万个)与培养时间x(单位:小时)的3组数据如下表所示. x 2 3 5 y 3.5 4.5 5.5 (1)当x≥2时,根据表中数据分别用模型y=loga(x+c)+b和y=m+k建立y关于x的函数解析式; (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量,则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时,称该函数模型为“理想函数模型”,已知当培养时间为9小时时,检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个,你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”?请说明理由;(参考数据:≈7.6) (3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后,该类细菌在培养皿中的数量. 解:(1)当x≥2时,y=loga(x+c)+b,由图表数据可得loga(2+c)+b=3.5, loga(3+c)+b=4.5,loga(5+c)+b=5.5, 联立上式,解方程可得a=2,b=3.5,c=-1,则y=log2(x-1)+3.5; 当x≥2时,y=m+k,由图表数据可得m+k=3.5,m+k=4.5,m+k=5.5, 联立上式,解方程可得m=,n=-,k=3. 则y= +3. (2)考虑①y=log2(x-1)+3.5,由x=9,可得y=log28+3.5=6.5, 而=0.3<0.5, 可得模型①y=log2(x-1)+3.5是“理想函数模型”; 考虑②y= +3, 由x=9,可得y=×+3=+3≈3.8+3=6.8,而=0.6>0.5, 所以模型②不是“理想函数模型”. (3)由(2)可得x=17时,y=log2(17-1)+3.5=4+3.5=7.5(百万个). [课时检测] 1.一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的 (　 ) 解析:选B　由鱼缸的形状可知,水的体积随着h的减小,先减少的慢,后减少的快,又减少的慢. 2.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们发展到 (　 ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析:选A　由题意得,当x=1时,y=100,即100=alog2(1+1),∴a=100,∴y=100log2(x+1).∴当x=7时,y=300. 3.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过200元,则不给予优惠; (2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠; (3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠. 某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他去一次购买上述同样的商品,则应付款 (　 ) A.413.7元 B.513.7元 C.548.7元 D.546.6元 解析:选D　购物超过200元,至少付款200×0.9=180(元),超过500元,至少付款500×0.9=450(元),可知此人第一次购物不超过200元,第二次购物不超过500元,则此人两次购物总金额为168+=168+470=638(元).若一次购物,应付500×0.9+138×0.7=546.6(元). 4.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有 (　 ) A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45 C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30 解析:选A　设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=x-=x2+(a-5)x-1 000,其中x∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y取最大值,易知-<0.又当x=150时,Q=40,∴整理得解得a=45,b=-30,经验证a,b的值符合题意,故选A. 5.(多选)某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,此后每停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,下列判断正确的是 (　 ) A.若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元 B.若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元 C.若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元 D.若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元 解析:选ACD　通过实例可知A、C、D的费用均可能产生,B中可能的停车费用中不含10元,由此得到结果.对于A,若甲车停车1.5小时,乙车停车0.1小时,则甲车停车费用为8元,乙车停车费用为0元,共计8元,A正确;对于B,若甲、乙两车停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为8元或13元或16元,B错误;对于C,若甲、乙两车各停车5小时,则每车的停车费用为17元,共计34元,C正确;对于D,若甲车停车24小时,乙车停车1小时,则甲车停车费用40元,乙车停车费用5元,共计45元,D正确.故选A、C、D. 6.(多选)如图为某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at(a>0且a≠1),以下叙述正确的是 (　 ) A.这个指数函数的底数是2 B.第5个月时,浮萍的面积就会超过35 m2 C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月 D.浮萍每个月增加的面积都相等 解析:选AC　将点(1,2)代入y=at中,得a=2,所以y=2t,所以A正确; 当t=5时,y=25=32<35,所以B错误; 当y=4时,t=2,当y=16时,t=4,所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月,所以C正确;由指数函数y=2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等,所以D错误. 7.(5分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获得利润最大时应生产的机器台数为　　　　.  解析:设安排生产x台,则获得利润f(x)=25x-y=-x2+100x=-(x-50)2+2 500,故当x=50时,获得利润最大. 答案:50 8.(5分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=　　　　;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气　　　　分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.  解析:∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64), ∴64=27-4m,解得m=,∴y=,由≤,解得t≥32.故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 答案:　32 9.(5分)为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格,则7月份该产品的市场收购价格应为　　　　元/担.  月份 1 2 3 4 5 6 价格/(元/担) 68 78 67 71 72 70 解析:由于农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,则7月份的收购价格为函数y=(a-71)2+(a-72)2+(a-70)2取得最小值时的a,则a==71.从而7月份的收购价格为71元/担. 答案:71 10.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t的值为　　　　.(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)=144(2lg 3+lg 2-1)≈36.72. 答案:36.72 11.(10分)有A,B两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元),它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式:M=x,N=,今有4万元资金投入经营A,B两种商品.为获得最大利润,应分别对A,B两种商品的资金投入多少万元? 解:设对A种产品投资x万元,则对B种产品投资(4-x)万元.于是获得总利润y=x+.由得0≤x≤4.令t=(0≤x≤4),则x=4-t2(0≤t≤2).所以y=(4-t2)+t=-+(0≤t≤2). 于是,当t=时,ymax=(万元). 此时,x=4-t2=1.75(万元),4-x=2.25(万元). 故为了获得最大利润,对A种商品的资金投入为1.75万元,对B种商品的资金投入为2.25万元. 12.(10分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的函数为R=5x-x2(0≤x≤5),其中x是产品生产并售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数.(3分) (2)年产量为多少时,企业所得利润最大?(3分) (3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)?(4分) 解:(1)设利润为y万元, 得y= 即y= (2)显然当0≤x≤5时,企业会获得最大利润, 此时,y=-(x-4.75)2+10.781 25, ∴当x=4.75,即年产量为475台时,企业所得利润最大. (3)要使企业不亏本,则y≥0. 即y= 或 得0.11≤x≤5或5<x≤48,即0.11≤x≤48. 即年产量在11台到4 800台之间时,企业不亏本. 学科网（北京）股份有限公司 $