第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第五章　函数应用 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 数x0 横坐标 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 连续的 f(a)·f(b) 一个 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 栏目导航 第五章　函数应用 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　函数应用 1 学业标准 素养目标 1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(难点) 2．掌握函数零点存在的判定方法，会判断函数零点的个数及所在区间．(重点) 1．借助函数零点概念的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过判断函数零点的个数、所在区间，培养学生逻辑推理、直观想象等核心素养． 导学1　函数的零点 　函数的“零点”是一个点吗？ [提示]　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． ◎结论形成 1．定义：使得f(x0)＝0的________称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． 2．实质：f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__________． 导学2　零点存在定理 　如果一个函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在(a，b)内有零点吗？ [提示]　有，这两个条件缺一不可．如函数f(x)＝ eq \f(1,x) ，易知f(－2)·f(1)＝－ eq \f(1,2) ×1＝－ eq \f(1,2) ＜0，但显然f(x)＝ eq \f(1,x) 在区间(－2，1)内没有零点．这是因为函数f(x)＝ eq \f(1,x) 在(－2，1)上不是连续曲线． 　当函数通过零点时，函数值一定变号吗？ [提示]　对于任意的一个函数，即使它的图象是连续的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号． 　如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续曲线，且有f(a)·f(b)＜0.f(x)仅有一个零点吗？ [提示]　不一定．如下图所示． 　在问题3中再加上条件“在区间(a，b)内单调”时，是否仅有一个零点． [提示]　若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，在开区间(a，b)内单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在(a，b)上有且只有一个零点． ◎结论形成 零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条__________曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即____________＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有________零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x－1的零点是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) .(　　) (2)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．(　　) (4)任何函数都存在零点．(　　) 解析　(1)函数y＝2x－1的零点是 eq \f(1,2) . (2)因为方程x2＋x＋1＝0的Δ＝1－4＝－3<0无根，所以函数没有零点． (3)如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有f(－1)f(1)＝1×1＝1>0， 但是在区间(－1，1)上有零点0. (4)错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点． 答案　A 3．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案　C 4．函数f(x)＝x＋ln x的零点所在的区间为(　　) A．(－1，0)　　　　　　 B．(0，1) C．(1，2) D．(1，e) 解析　解法一　因为x＞0，所以A错．又因为f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上为增函数，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝x＋ln x在(1，2)，(1，e)上均有f(x)＞0，故C，D错． 解法二　取x＝ eq \f(1,e) ∈(0，1)，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) ＝ eq \f(1,e) －1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝x＋ln x的零点所在的区间为(0，1). 答案　B 题型一　求函数的零点 　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝ eq \f(x＋3,x) ； (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3; (4)f(x)＝1－log3x. [解析]　(1)令 eq \f(x＋3,x) ＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝ eq \f(x＋3,x) 的零点是－3. (2)令x2＋2x＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12＜0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 函数零点的求法 求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [触类旁通] 1．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点． 解析　由题意知f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0，a＝6. 所以f(x)＝x2＋x－6. 解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2. 所以函数f(x)其余的零点是2. 题型二　确定零点的个数 一题多变 　判断函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． [解析]　 解法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0， ∴f(x)在区间(0，2)内必定存在实根． 又f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点． 解法二　令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如下图所示． 由图象知g(x)＝lg (x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． [母题变式] (变条件、变结论)将本例变为：方程x＋lg x＝3解的个数为__________． 解析　解法一　令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝3－x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点， 即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点． 故原方程只有1个解． 解法二　因为f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln eq \f(2,e) <0，所以f(3)f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以原方程只有一个解． 答案　1 [素养聚焦]　图象法是判断函数零点最直观最有效的方法，通过图象法判断函数的零点，把直观想象核心素养体现在解题中． 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程的根，转化为解方程，方程有几个不同的实数根，函数就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． [触类旁通] 2．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是__________． 答案　1 题型三　函数零点所在区间问题 　(1)方程log3x＋x＝3的实数解所在的区间为(　　) A．(0，2)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实数解所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 [解析]　(1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3 eq \f(2,3) <0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，所以方程log3x＋x＝3的实数解所在的区间为(2，3). (2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实数解．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1，2).所以k＝1. [答案]　(1)C　(2)1 1．依据函数零点存在定理判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内是否有零点，关键看两点：一是曲线是否连续不断；二是f(a)与f(b)是否异号，就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点). 2．判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代．将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判．把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结．若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点． [触类旁通] 3．函数f(x)＝ln x－ eq \f(2,x) 的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2)　 B．(2，3)　 C．(3，4)　 D．(e，3) 解析　∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－ eq \f(2,3) ＞0， ∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)在(2，3)内有零点． 答案　B [缜密思维提能区]　易错案例 分类讨论在函数零点中的应用 [典例]　若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)上恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． [解析]　若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点， 则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，若a＝0，则方程 2ax2－x－1＝0可化为－x－1＝0，方程的解为－1，不成立； 若a<0，设方程的两根为x1，x2， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(1,2a)<0，,x1·x2＝－\f(1,2a)>0，)) 故x1<0，x2<0，不符合题意； 若a>0，则函数图象开口向上，又f(0)＝－1<0，若函数在(0，1)上恰有一个零点，则f(1)＝2a－1－1>0，所以a>1.综上，a>1. [纠错心得]　含参数的函数零点问题往往涉及一元一次、一元二次函数的图象和性质． (1)若二次项系数中含有字母，则讨论系数是否为零，其实质是区分一次函数或二次函数． (2)对于二次函数，则要结合二次函数的图象、端点值、二次方程中Δ、根与系数的关系求解． 知识落实 技法强化 1．函数零点存在性定理． 2．零点个数的判断． 1．判定零点个数，可通过求方程的解或利用函数的图象观察得到． 2．注意数形结合思想方法的应用． $$