第4章 对数运算与对数函数 章末整合提升4（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

章 末 整 合 提 升 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 谢谢观看 章 末 整 合 提 升 1 一、对数的运算 1．对数的运算性质和换底公式 已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0. (1)logaM＋logaN＝loga(MN). (2)logaM－logaN＝loga eq \f(M,N) . (3) ＝ eq \f(n,m) logab. 2．对数运算时注意的问题 (1)在进行对数的运算时，一定要注意真数大于0，即保证所用到的各条运算性质都有意义． (2)对数的三条运算性质，对数恒等式以及换底公式的综合运用是进行对数化简、运算的关键． 3．化简底数相同的对数式的两种基本方法 (1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差). 　(1)log3.19.61＋lg eq \f(1,1 000) ＋ln (e2· eq \r(3,e) )＋log3(log327)； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋＋lg eq \f(1,6) ＋lg 0.06. [解析]　(1)原式＝log3.13.12＋lg 10－3＋ln (e2×e eq \s\up16(\f(1,3)) )＋log3(log333) ＝2＋(－3)＋ln e eq \s\up16(\f(7,3)) ＋log33 ＝2－3＋ eq \f(7,3) ＋1＝ eq \f(7,3) . (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋( eq \r(3) lg 2)2＋lg 0.01 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3－2＝1. 二、对数函数、指数函数的图象问题 1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0). 3．识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值． 　(1)已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． (3)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是______________(填序号). [解析]　(1)∵a>1，∴函数y＝loga(x－b)(b<－1)的图象就是把函数 y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如右图．由图可知函数y＝loga(x－b)图象不经过第四象限，所以选D. (2)当x＝－1时，y＝a0－2＝－1， 所以该定点的坐标是(－1，－1). (3)因为lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝ eq \f(1,a) ，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当a>1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0<a<1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确． [答案]　(1)D　(2)(－1，－1)　(3)② 三、对数函数、指数函数性质的应用 题点多探 多维探究 角度1　比较大小问题 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． 　比较下列各组数的大小． (1)1.70.2、log2.10.9与0.82.1； (2)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m＞1). [解析]　(1)因为函数y＝log2.1x在(0，＋∞)上是增函数且0.9＜1，所以log2.10.9＜log2.11＝0.因为函数y＝1.7x在R上是增函数且0.2＞0，所以1.70.2＞1.70＝1. 因为函数y＝0.8x在R上是减函数且2.1＞0， 所以0＜0.82.1＜0.80＝1. 综上，log2.10.9＜0.82.1＜1.70.2. (2)①当1＜m＜10时，0＜lg m＜1， 由1.9＜2.1得，(lg m)1.9＞(lg m)2.1； ②当m＝10时，lg m＝1，故(lg m)1.9＝(lg m)2.1； ③当m＞10时，lg m＞1，由1.9＜2.1得， (lg m)1.9＜(lg m)2.1. 角度2　对数函数性质的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比 (1)相同点 指数函数与对数函数的图象和性质都与底数a的取值有关．当a变化时函数的图象与性质也随之改变． (2)不同点 ①指数函数的图象恒过定点(0，1)，而对数函数的图象恒过定点(1，0)； ②指数函数与对数函数的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换． (3)联系 ①指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； ②两函数的图象关于直线y＝x对称． 　已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围． [解析]　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，)) 解得－1＜x＜1， 故所求定义域为(－1，1). (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)] ＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)上是增函数，所以由f(x)＞0， 得loga(x＋1)－loga(1－x)＞0， 即loga(x＋1)＞loga(1－x)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞1－x，,－1＜x＜1，)) 解得0＜x＜1. 所以使f(x)＞0的x的取值范围是(0，1). 四、核心素养——逻辑推理之分类讨论思想 分类讨论思想在人的思维发展中有着重要作用，分类讨论事实上是一种化繁为简，化整体为部分，分别对待、各个击破的思想策略在数学解题中的体现，对培养学生思维的全面性、深刻性和条理性起着积极作用．在分类讨论中要注意分类必须是完整的、不重不漏的，每一级分类标准是统一的．当指数函数y＝ax和对数函数y＝loga x(a＞0，a≠1)的底数a与1的大小关系不确定时，常用到分类讨论思想，因为a的取值影响函数的单调性． 　设a＞0，且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小． [解析]　当0＜a＜1时，由y＝ax在R上是减函数可知0＜a3＜a2， 故0＜a3＋1＜a2＋1. 又∵y＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是减函数， ∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，即P＞Q； 当a＞1时，由y＝ax在R上是增函数可知， a3＞a2＞0，故a3＋1＞a2＋1＞0. 又∵y＝loga x(a＞1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，即P＞Q. 综上可知，当a＞0，且a≠1时，总有P＞Q. 对数函数性质的应用 [典例]　设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　) A．f(a＋1)≥f(b＋2)　 B．f(a＋1)＜f(b＋2) C．f(a＋1)≤f(b＋2) D．f(a＋1)＞f(b＋2) [解析]　由于此函数是偶函数，所以函数f(x)＝loga|x－b|中b＝0. 又函数在(－∞，0)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故0＜a＜1. 所以有1＜a＋1＜2. 因为f(a＋1)＝loga|a＋1|， f(b＋2)＝loga2，且1＜a＋1＜2，所以f(a＋1)＞f(b＋2). [答案]　D [纠错心得]　不能在关注到比较大小及单调性时就急于应用单调性求解，从而使问题变得复杂；一定要先借助函数是偶函数这一特性求出参数b的值再求解． 指数函数与对数函数的综合问题 [典例]　(12分)已知函数f(x)＝lg (ax－bx)(常数a＞1＞b＞0). (1)求y＝f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)当a，b满足什么关系时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？ [审题指导]　(1)由真数大于零，求其定义域． (2)利用指数、对数函数的性质判断单调性． (3)利用(2)的结论，求a，b满足的关系式． [规范解答]　(1)由ax－bx＞0，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up20(x) ＞1，(1分) 由a＞1＞b＞0，得 eq \f(a,b) ＞1. 故x＞0①. 即函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(3分) (2)由(1)知f(x)的定义域为(0，＋∞). ∵a＞1＞b＞0，∴函数y＝ax－bx. 在(0，＋∞)是增函数，即任意x1＞x2＞0. 都有y1＞y2＞0.(5分) 所以lg y1＞lg y2， 即f(x1)＞f(x2)， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数②.(7分) $$