第4章 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第四章　对数运算与对数函数 §3　对数函数 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 (0，＋∞) R (1，0) ＝ ＞ ＜ ＜ ＞ 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 增 减 正无穷大 负无穷大 负无穷大 正无穷大 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 学业标准 素养目标 1．掌握对数函数的图象和性质．(重点) 2．利用对数函数的图象和性质解决大小比较、解不等式、最值等问题．(难点) 1．通过对数函数图象的应用，提升直观想象等核心素养． 2．通过对数函数性质的应用，提升数学运算等核心素养． 导学　对数函数的图象和性质 　在同一坐标系中，函数y＝log2x与y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) x的图象如下图所示．你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗？ [提示]　 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 y＝log2x {x|x＞0} R 增函数 非奇非偶 y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) x {x|x＞0} R 减函数 非奇非偶 　在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log5x，y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) x，y＝log eq \s\do9(\f(1,5)) x的图象如下图所示．从图中看，对数函数图象的分布与底数有什么关系？ [提示]　在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴． ◎结论形成 对数函数的图象和性质 图象和性质　 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：____________ 值域：______ 过定点___________，即当x＝1时，y_____0 当x＞1时，y______0； 当0＜x＜1时，y______0 当x＞1时，y______0； 当0＜x＜1时，y______0 性质 在区间(0，＋∞)上是______函数 在区间(0，＋∞)上是______函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋向于____________； 当x值趋近于0时，函数值趋近于____________ 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于____________； 当x值趋近于0时，函数值趋近于____________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象都过定点(0，1).(　　) (2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a< eq \f(1,2) .(　　) (4)ln x<1的解集是(－∞，e).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．函数y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) x在区间[1，2]上的值域是(　　) A．[－1，0]　　　　　　 B．[0，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析　∵y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) x在[1，2]上是减函数， ∴－1≤log eq \s\do9(\f(1,2)) x≤0，即值域为[－1，0]，故选A. 答案　A 3．设a＝30.7，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(－0.8) ，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析　利用指数函数与对数函数的性质， 即可得出a，b，c的大小关系． 因为a＝30.7＞1，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(－0.8) ＝30.8＞30.7＝a， c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以c＜1＜a＜b. 答案　D 4．函数y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) (1－2x)的单调增区间是________． 解析　函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) . 设t＝1－2x，则t在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 是减函数， 而y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) t是减函数，故原函数的增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) . 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 题型一　比较大小问题 　(1)下列大小关系正确的是(　　) A．0.43＜30.4＜log4 0.3 B．0.43＜log4 0.3＜30.4 C．log4 0.3＜0.43＜30.4 D．log4 0.3＜30.4＜0.43 (1)[解析]　因为0＜0.43＜1，30.4＞1，而log40.3＜0，故选C. [答案]　C (2)比较下列各组中两个值的大小． ①log3 1.99，log3 2； ②log3 0.2，log4 0.2； ③log2 3，log0.3 2； ④loga π，loga 3.14(a＞0且a≠1). (2)[解析]　①(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2，则f(1.99)＜f(2)，所以log31.99＜log32. ②解法一　因为0＞log0.2 3＞log0.2 4， 所以 eq \f(1,log0.2 3) ＜ eq \f(1,log0.2 4) ， 即log3 0.2＜log4 0.2. 解法二　作出y＝log3x和y＝log4x的图象如下图． 由图象知log40.2＞log30.2. ③(中间量法)因为log23＞log21＝0， log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32. ④(分类讨论法)当a＞1时， 函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.14.综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底的利用对数函数的单调性． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． [触类旁通] 1．(1)设a＝log52，b＝log83，c＝ eq \f(1,2) ，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a　　　　　 B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c (2)设a＝log2e，b＝ln (3e)，c＝e－2(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 解析　(1)因为a＝log52＝log5 eq \r(4) ＝ eq \f(1,2) log54＜ eq \f(1,2) ， b＝log83＝log8 eq \r(9) ＝ eq \f(1,2) log89＞ eq \f(1,2) ，所以a＜c＜b.故选C. (2)因为log22<log2e<log24，所以1＜log2e＜2， b＝ln (3e)＝ln 3＋ln e>2，c＝e－2<e0＝1， 所以a，b，c的大小关系为b>a>c.故选D. 答案　(1)C　(2)D 题型二　与对数函数有关的值域问题 一题多变 　(1)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是________． (2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________． (3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域． (1)[解析]　∵1≤x≤9， ∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2， 即2≤f(x)≤4，值域为[2，4]. [答案]　[2，4] (2)[解析]　当a>1时，函数f(x)为增函数， f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝ eq \f(1,2) ，与a>1矛盾； 当0<a<1时，函数f(x)为减函数， f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1，解得a＝ eq \f(1,2) . [答案]　 eq \f(1,2) (3)[解析]　因为－x2－4x＋12>0， 又因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以0<－x2－4x＋12≤16， 故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， 函数的值域为(－∞，4]. [母题变式] (变结论)将本例(1)中的结论变为求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域，其他条件不变，如何求？ 解析　y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2 ＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵f(x)的定义域为[1，9]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，)) ∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴值域为[6，13]. 求函数值域的常用方法 (1)单调性法 根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (2)换元法 求形如y＝logaf(x)函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围． [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝2log eq \s\do9(\f(1,3)) x的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为________． 解析　由－1≤2log eq \s\do9(\f(1,3)) x≤1，得－ eq \f(1,2) ≤log eq \s\do9(\f(1,3)) x≤ eq \f(1,2) ， 即log eq \s\do9(\f(1,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(－\f(1,2)) ≤log eq \s\do9(\f(1,3)) x≤log eq \s\do9(\f(1,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up16(\f(1,2)) ，解得 eq \f(\r(3),3) ≤x≤ eq \r(3) . 答案　 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3))) . 题型三　对数函数的综合应用 　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1) 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0　　 C． eq \f(1,2) 　　 D．1 (2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1). ①求f(x)的定义域和值域；②判断并证明f(x)的单调性． (1)[解析]　∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln eq \f(1,3) ＝(－1＋a)ln 3，∴a＝0，经检验符合题意，故选B. [答案]　B (2)[解析]　①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1. 故f(x)的定义域为(－∞，1). 由0<a－ax<a， 可知loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数f(x)的值域为(－∞，1). ②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取1>x1>x2，又a>1， 即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数． [素养聚焦]　解决对数函数的综合问题涉及运用数形结合思想求解，数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中． 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路． [触类旁通] 3．(1)已知函数f(x)＝ln ( eq \r(1＋x2) －x)，f(a)＝4，则f(－a)＝________． (2)函数f(x)＝log eq \s\do9(\f(1,2)) (1－x2)的单调区间为__________________． 解析　(1)函数f(x)的定义域为R， 且f(－x)＋f(x) ＝ln ( eq \r(1＋x2) ＋x)＋ln ( eq \r(1＋x2) －x) ＝ln (1＋x2－x2)＝ln 1＝0. ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－a)＝－f(a)＝－4. (2)设u＝1－x2，由1－x2>0得－1<x<1，∴定义域为(－1，1). 当x∈(0，1)时，u＝1－x2是减函数；而y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) u为减函数， ∴y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) (1－x2)为增函数． 当x∈(－1，0)时，u＝1－x2为增函数， y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) u为减函数，∴y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) (1－x2)为减函数． ∴y＝log eq \s\do9(\f(1,2)) (1－x2)的增区间为(0，1)，减区间为(－1，0). 答案　(1)－4　(2)增区间为(0，1)，减区间为(－1，0) [缜密思维提能区]　易错案例 对数函数的最值问题 [典例]　已知函数y＝logax(a>0且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________． [解析]　①当a>1时，函数y＝logax在区间[2，4]上是增函数， 所以loga4－loga2＝1，即loga eq \f(4,2) ＝1，所以a＝2. ②当0<a<1时，函数y＝logax在区间[2，4]上是减函数， 所以loga2－loga4＝1， 即loga eq \f(2,4) ＝1，所以a＝ eq \f(1,2) . 由①②，知a＝2或a＝ eq \f(1,2) . [答案]　2或 eq \f(1,2) [纠错心得]　在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般分a>1与0<a<1两种情况． 知识落实 技法强化 1．对数函数的图象与性质、比较对数值的大小． 2．探究形如函数y＝logaf(x)，y＝f(logax)的性质(定义域、值域、单调性等). 1．研究形如函数y＝logaf(x)的性质时注意换元法的运用，设t＝f(x). 2．解不等式logaf(x)>logag(x)时，不仅要注意底数与1的大小，而且还要注意f(x)>0、g(x)>0. $$