第4章 2.2 换底公式（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 2.2　换底公式 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 1 logab －logab 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 学业标准 素养目标 1．会用换底公式进行对数运算． (重点) 2．能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用．(难点) 1．通过推导换底公式发展逻辑推理核心素养． 2．通过对数的运算提升数学运算等核心素养． 导学　换底公式 　假设 eq \f(log25,log23) ＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝ eq \f(log25,log23) ，所以得出log35＝ eq \f(log25,log23) 的结论． 　由问题1你能猜测出 eq \f(logcb,logca) 与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ [提示]　结论为 eq \f(logcb,logca) ＝logab. 证明　令 eq \f(logcb,logca) ＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒ eq \f(logcb,logca) ＝logab. ◎结论形成 1．对数换底公式 若a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1，则logab＝__________． eq \f(logcb,logca) 2．由换底公式推出的常用结论 (1)logab·logbc·logca＝______． (2) ＝________． (3) ＝______________． (4)log eq \s\do9(\f(1,a)) b＝______________． eq \f(m,n) logab 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log23·log32＝1.(　　) (2)log48＝ eq \f(2,3) log23.(　　) (3)log925＝log35.(　　) (4) eq \f(log8 9,log4 27) ＝ eq \f(9,4) .(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．计算：(log29)·(log34)＝(　　) A． eq \f(1,4) 　　　　　　　　 B． eq \f(1,2) C．2 D．4 解析　原式＝ eq \f(lg 9,lg 2) · eq \f(lg 4,lg 3) ＝4.故选D. 答案　D 3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　) A． eq \f(b,a) B． eq \f(a＋b,a) C．ab D．a＋b 解析　∵10a＝2，∴a＝lg 2. ∴log26＝ eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2) ＝ eq \f(a＋b,a) ，故选B. 答案　B 4．计算：log2 eq \f(1,25) ·log3 eq \f(1,8) ·log5 eq \f(1,9) ＝________． 解析　原式＝(－2log25)·(－3log32)·(－2log53)＝－12. 答案　－12 题型一　利用换底公式化简求值 　计算： (1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). [解析]　(1)log1627·log8132＝ eq \f(lg 27,lg 16) × eq \f(lg 32,lg 81) ＝ eq \f(lg 33,lg 24) × eq \f(lg 25,lg 34) ＝ eq \f(3lg 3,4lg 2) × eq \f(5lg 2,4lg 3) ＝ eq \f(15,16) . (2)(log32＋log92)(log43＋log83)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) ＝ eq \f(3,2) log32× eq \f(5,6) log23＝ eq \f(5,4) × eq \f(lg 2,lg 3) × eq \f(lg 3,lg 2) ＝ eq \f(5,4) . (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底． (2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；＝ eq \f(m,n) loga b． [触类旁通] 1．求下列各式的值． (1)log3 eq \f(1,25) ·log7 eq \f(1,81) ·log5 eq \f(1,49) ； (2)log9 32·log64 27＋log9 2·log4 eq \r(27) . 解析　(1)原式＝ eq \f(lg \f(1,25),lg 3) · eq \f(lg \f(1,81),lg 7) · eq \f(lg \f(1,49),lg 5) ＝ eq \f(lg 5－2,lg 3) · eq \f(lg 3－4,lg 7) · eq \f(lg 7－2,lg 5) ＝ eq \f(－2lg 5,lg 3) · eq \f(－4lg 3,lg 7) · eq \f(－2lg 7,lg 5) ＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16. (2)原式＝ eq \f(lg 32,lg 9) · eq \f(lg 27,lg 64) ＋ eq \f(lg 2,lg 9) · eq \f(lg \r(27),lg 4) ＝ eq \f(5lg 2,2lg 3) · eq \f(3lg 3,6lg 2) ＋ eq \f(lg 2,2lg 3) · eq \f(\f(3,2)lg 3,2lg 2) ＝ eq \f(5,4) ＋ eq \f(3,8) ＝ eq \f(13,8) . 题型二　用已知对数表示其他对数 一题多变 　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示). [解析]　解法一　因为log189＝a，18b＝5， 所以log185＝b， 于是log3645＝ eq \f(log1845,log1836) ＝ eq \f(log18(9×5),log18\f(182,9)) ＝ eq \f(log189＋log185,2log1818－log189) ＝ eq \f(a＋b,2－a) . 解法二　因为 eq \f(lg 9,lg 18) ＝log189＝a， 所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18， 所以log3645＝ eq \f(lg 45,lg 36) ＝ eq \f(lg(9×5),lg\f(182,9)) ＝ eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9) ＝ eq \f(a lg 18＋b lg 18,2lg 18－a lg 18) ＝ eq \f(a＋b,2－a) . [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，如何求log915(用a，b表示)? 解析　因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝ eq \f(log1815,log189) ＝ eq \f(log18(3×5),log189) ＝ eq \f(log183＋log185,a) ＝ eq \f(log18\r(9)＋b,a) ＝ eq \f(log189\s\up16(\f(1,2))＋b,a) ＝ eq \f(\f(1,2)log189＋b,a) ＝ eq \f(\f(1,2)a＋b,a) ＝ eq \f(a＋2b,2a) . 2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，结论不变，如何求？ 解析　log3645＝ eq \f(log945,log936) ＝ eq \f(1＋log95,1＋log94) ＝ eq \f(1＋b,1＋a) . 应用换底公式应注意的两个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． [触类旁通] 2．已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解析　因为2b＝3，所以b＝log23， 即log1456＝ eq \f(log356,log314) ＝ eq \f(log3(23×7),log3(2×7)) ＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37) ＝ eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a) ＝ eq \f(3＋ab,1＋ab) . 题型三　对数运算的综合应用 　(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＋ eq \f(1,z) ＝0，求abc的值； (2)已知5x＝2y＝( eq \r(10) )z，且x，y，z≠0，求 eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) 的值． [解析]　(1)设ax＝by＝cz＝t， 则x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＋ eq \f(1,z) ＝ eq \f(1,logat) ＋ eq \f(1,logbt) ＋ eq \f(1,logct) ＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1. (2)令5x＝2y＝( eq \r(10) )z＝k， 则x＝log5k，y＝log2k， eq \f(1,2) z＝lg k，z＝2lg k， ∴ eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) ＝ eq \f(2lg k,log5k) ＋ eq \f(2lg k,log2k) ＝2lg k(logk5＋logk2) ＝2lg k·logk10＝2. 即 eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) ＝2. [素养聚焦]　对数运算的应用，需要合理运算，巧妙变形，把数学运算核心素养体现在解题中，提高数学求解能力． 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量． [触类旁通] 3．设3x＝4y＝36，求 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) 的值． 解析　解法一　∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436. ∴ eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,log336) ＝ eq \f(1,\f(log3636,log363)) ＝log363， eq \f(1,y) ＝ eq \f(1,log436) ＝ eq \f(1,\f(log3636,log364)) ＝log364. ∴ eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数， 得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2. ∴ eq \f(2,x) ＝log63， eq \f(1,y) ＝log62. ∴ eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝log63＋log62＝log66＝1， 即 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝1. 知识落实 技法强化 1．换底公式． 2．换底公式的简单运用及综合应用． 1．转化求值． 2．注意换底公式的结构特征及结论的灵活运用． $$