第4章 2.1 对数的运算性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 logaM＋logaN logaM－logaN blogaM 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 学业标准 素养目标 1．会推导对数的运算性质．(难点) 2．掌握对数的运算性质，并能利用其进行对数的运算和化简．(重点) 1．通过推导对数的运算性质，发展逻辑推理等核心素养． 2．通过对数的运算，提升数学运算等核心素养． 3．通过解决实际问题提升数学建模等核心素养． 导学　对数的运算性质 　指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. 　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题(2)的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)，还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3， 故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n， 所以am＝M，an＝N， 故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R 性质 loga(M·N)＝__________________ loga eq \f(M,N) ＝__________________ logaMb＝__________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0).(　　) (3) eq \f(log28,log24) ＝log2 eq \f(8,4) ＝1.(　　) (4)loga b2＝2loga b．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　) A．a2＋b　　　　　 B．b＋2a C．a＋2b D．a＋b2 解析　lg 12＝lg 3＋2lg 2＝b＋2a，故选B. 答案　B 3．计算：2log510＋log50.25＝________． 解析　原式＝log5102＋log50.25＝log525＝2. 答案　2 4．计算log153－log64＋log155－2log63＝________． 解析　原式＝log153＋log155－(log64＋log69) ＝log1515－log636＝－1. 答案　－1 题型一　对数的运算性质简单应用 　(1)计算： ① eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2) ＝________． ②lg 52＋ eq \f(2,3) lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝__________． (2)当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例． ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②loga eq \f(M,N) ＝ eq \f(logaM,logaN) ； ③loga(M＋N)＝logaM＋logaN； ④loga(M－N)＝logaM－logaN. (1)[解析]　① eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2) ＝ eq \f(lg (3×4÷10),lg 1.2) ＝ eq \f(lg 1.2,lg 1.2) ＝1. ②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. [答案]　①1　②3 (2)[解析]　①不成立．如M＝100，N＝10， lg (100×10)＝3≠lg 100·lg 10＝2. ②不成立．如M＝100，N＝10，lg eq \f(100,10) ＝1≠ eq \f(lg 100,lg 10) ＝2. ③不成立．如M＝N＝1，log22＝1≠log21＋log21＝0. ④不成立．如M＝2，N＝1，log2(2－1)＝0≠log22－log21＝1. [素养聚焦]　通过应用对数的运算性质求值，提升了数学运算核心素养． 底数相同的对数式的化简和求值的方法 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). [触类旁通] 1．(多选)若a＞0且a≠1，b＞0，c＞0，n，m∈N＋，n＞1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C.loga eq \r(n,bm) ＝ eq \f(m,n) logab D．logab＝－loga eq \f(1,b) 解析　由对数的运算性质知，只有CD成立，故选CD. 答案　CD 题型二　对数运算性质的综合应用 题点多探 多维探究 角度1　与方程有关的对数问题一题多变 　若2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则 eq \f(y,x) 的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．1或 eq \f(1,4) C．1或4 D． eq \f(1,4) [解析]　因为2lg (x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg (x－2y)2＝lg xy， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,x－2y＞0，,(x－2y)2＝xy，)) 所以x2＋4y2－5xy＝0，所以4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x))) eq \s\up20(2) －5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x))) ＋1＝0. 解得 eq \f(y,x) ＝ eq \f(1,4) ，或 eq \f(y,x) ＝1(舍)，所以 eq \f(y,x) 的值为 eq \f(1,4) . [答案]　D [母题变式] (变条件)将本例改为lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则 eq \f(y,x) 的值为________． 解析　因为lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x－3y>0，,xy＝(2x－3y)2，)) 解得 eq \f(y,x) ＝ eq \f(4,9) 或 eq \f(y,x) ＝1(舍去).所以 eq \f(y,x) ＝ eq \f(4,9) . 答案　 eq \f(4,9) 角度2　实际应用问题 　通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则里氏8.0级地震的最大振幅是里氏5.0级地震最大振幅的________倍． [解析]　由M＝lg A－lg A0可得，M＝lg eq \f(A,A0) ，即 eq \f(A,A0) ＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是 eq \f(A8,A5) ＝ eq \f(A0·108,A0·105) ＝108－5＝1 000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍． 答案　1 000 1．与对数方程有关的问题 利用对数的性质转化为普通方程，通过变形求解，得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义． 2．与对数相关的实际问题 对数可以解决一些比较庞大的数据运算，因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用，首先将实际问题利用对数表示，再利用对数、指数运算解决问题． [触类旁通] 2．(1)化简求值：log2 eq \r(\f(7,48)) ＋log212－ eq \f(1,2) log242＝__________． (2)方程log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212的解x＝______． 解析　(1)原式＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),4\r(3))×12×\f(1,\r(7×6)))) ＝－ eq \f(1,2) . (2)因为方程log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,3－x>0，,(2－x)(3－x)＝12.)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,x2－5x－6＝0，)) 解得x＝－1. 答案　(1)－ eq \f(1,2) 　(2)－1 [缜密思维提能区]　易错辨析 因忽略对数的真数为正而致错 [典例]　解方程lg (x＋1)＋lg x＝lg 6. [错解]　∵lg (x＋1)＋lg x＝lg [x(x＋1)] ＝lg (x2＋x)， ∴lg (x2＋x)＝lg 6， ∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3. [正解]　∵lg (x＋1)＋lg x＝lg [x(x＋1)]＝lg 6， ∴x(x＋1)＝6，解得x＝2或x＝－3， 经检验x＝－3不符合题意， ∴x＝2. [纠错心得]　解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数． 知识落实 技法强化 1．对数的运算性质． 2．对数运算性质的运用． 3．利用对数的运算性质化简、求值． 1．方法归纳：转化法． 2．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则． $$