4.2.1 对数的运算性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数的运算性质核心知识点，从指数与对数的逆运算关系切入，通过具体对数式观察引导猜想，系统梳理logₐ(M·N)=logₐM+logₐN等三大性质及应用条件，构建“猜想-验证-应用”的学习支架。 资料以问题驱动培养数学抽象，通过多样题型（对数运算、已知对数求值、对数方程）强化数学运算，总结通性通法助学生形成解题策略。课中辅助教师引导探究，课后学生可借例题解析查漏补缺，提升知识应用能力。

2.1　对数的运算性质 课标要求 理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算（数学抽象、数学运算）. 　　大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？ 【问题】　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？ （1）log2（2×4）＝log22＋log24＝3； （2）log3（3×9）＝log33＋log39＝3； （3）log2（4×8）＝log24＋log28＝5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　对数的运算性质 若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，b∈R，那么： （1）loga（M·N）＝　logaM＋logaN　； （2）loga＝　logaM－logaN　； （3）logaMb＝　blogaM　. 提醒：（1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N＋. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）log2x2＝2log2x.（　×　） （2）loga[（－2）×（－3）]＝loga（－2）＋loga（－3）.（　×　） （3）loga（xy）＝logax·logay.（　×　） 2.2log510＋log50.25＝（　　） A.0　　　 　B.1 C.2　　　　 D.4 解析：C　原式＝log5（100×0.25）＝log525＝2.故选C. 3.若lg a－2lg 2＝1，则a＝（　　） A.4　　　　 B.10 C.20　　 　　D.40 解析：D　∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D. 4.计算：（1）lg ＋lg ＝　　； （2）log345－log35＝　2　； （3）log2（23×45）＝　13　. 解析：（1）lg ＋lg ＝lg（×）＝lg＝lg 1＝. （2）log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. （3）log2（23×45）＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5log222＝3＋5×2＝13. 题型一　对数式的运算 〔一题多解〕计算下列各式的值： （1）log2＋log224－log284； 解：法一　原式＝log2＝log2＝－. 法二　原式＝log2＋log2（23×3）－log2（22×3×7）＝log27－log2（25×3）＋3＋log23－1－log23－log27＝－×5－log23＋2＋log23＝－＋2＝－. （2）lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2； 解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（1＋lg 2）＋（lg 2）2 ＝2（lg 5＋lg 2）＋lg 5＋lg 2（lg 5＋lg 2） ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. （3）. 解：原式＝＝＝. 通性通法 对数式化简与求值的基本原则和方法 （1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； （2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. 　计算：（1）log3＋lg 25＋lg 4＋＋（－9.8）0； 解：原式＝log3＋lg 52＋lg 22＋＋1＝＋2lg 5＋2lg 2＋＝3＋2（lg 5＋lg 2）＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5. （2）2log32－log3＋log38－. 解：原式＝2log32－（log325－log332）＋log323－ ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7. 题型二　用已知对数式求值 用logax，logay，logaz表示下列各式： （1）loga（x2yz）；（2）loga；（3）loga. 解：（1）loga（x2yz）＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz. （2）loga＝logax2－loga（yz）＝2logax－（logay＋logaz）＝2logax－logay－logaz. （3）loga＝loga－loga（y2z）＝logax－2logay－logaz. 通性通法 　　用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形. 　若a＝log32，则3a＋3－a的值为（　　） A. B. C. D.－ 解析：A　由a＝log32，得3a＝2，所以3a＋3－a＝3a＋（3a）－1＝2＋＝.故选A. 题型三　对数方程 方程log2（9x－5）＝2＋log2（3x－2）的解为x＝　1　. 解析：原方程可化为log2（9x－5）＝log2[4（3x－2）]， ∴9x－5＝4（3x－2）＞0，3x＞2，∴（3x）2－4×3x＋3＝0，∴（3x－3）（3x－1）＝0， ∵3x＞2，∴3x＝3，即x＝1. 【母题探究】 1.（变条件）本例条件变为“log2（9－2x）＝3－x”，求x的值. 解：∵log2（9－2x）＝3－x，∴log2（9－2x）＝log223－x，∴9－2x＝23－x，可化简为9－2x＝， 令2x＝t（t＞0），可得9－t＝，化简为t（9－t）＝8， 即t2－9t＋8＝0，∴（t－1）（t－8）＝0，解得t1＝1，t2＝8，∴2x＝1或8，解得x＝0或3. 2.（变条件）本例条件变为“＝9”，求x的值. 解：∵＝9，∴＝9，且2x－1＞0， ∴（2x－1）2＝9，∴2x－1＝3（2x－1＝－3舍去），解得x＝2. 通性通法 对数方程的类型及一般解法 （1）logaf（x）＝logag（x）：可利用对数性质化为一般方程f（x）＝g（x）＞0求解； （2）p（logax）2＋qlogax＋r＝0：利用换元法，设t＝logax，化为一元二次方程pt2＋qt＋r＝0求解. 解下列对数方程： （1）lg x2－lg（x＋2）＝0； 解：原方程可化为lg x2＝lg（x＋2）， 故解得x＝－1或x＝2. 所以方程lg x2－lg（x＋2）＝0的解是x＝－1或x＝2. （2）1＋log2x＝log2（x2－3）； 解：由1＋log2x＝log2（x2－3）可得log2（2x）＝log2（x2－3）， 所以x2－3＝2x，即（x－3）（x＋1）＝0，解得x＝3或x＝－1. 因为x＞0且x2－3＞0，所以x＝3. 所以方程1＋log2x＝log2（x2－3）的解为x＝3. （3）ln2x＋（ln 4＋ln 3）ln x＋2ln 2·ln 3＝0； 解：由ln2x＋（ln 4＋ln 3）ln x＋2ln 2·ln 3＝0， 得（ln x＋ln 3）（ln x＋ln 4）＝0， 所以ln x＝－ln 3或ln x＝－ln 4， 即x＝或x＝. （4）log5[log2（4lg x）]＝0. 解：由log5[log2（4lg x）]＝0，得log2（4lg x）＝50＝1，所以4lg x＝21＝2， 即22lg x＝2，所以2lg x＝1，lg x＝，所以x＝1＝. 1.计算2log63＋log64＝（　　） A.2 B.log62 C.log63 D.3 解析：A　2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2. 2.若lg x＝1－lg 5，则x＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　因为lg x＝1－lg 5，所以lg x＋lg 5＝lg 5x＝1，即5x＝10，解得x＝2.故选B. 3.若lg 2＝m，则lg 5＝（　　） A.m B. C.1－m D. 解析：C　lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－m. 4.若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则＝　4　. 解析：因为lg x＋lg y＝2lg（x－2y），所以xy＝（x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y，所以＝1或＝4.由已知等式知，x＞0，y＞0，x－2y＞0，而在此条件下，当＝1时，x－2y＜0，此时lg（x－2y）无意义，所以＝1不符合题意，应舍去；当＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以＝4. 5.求下列各式的值： （1）ln e2； （2）log3e＋log3 ； （3）lg 50－lg 5. 解：（1）ln e2＝2ln e＝2. （2）log3e＋log3 ＝log3（e·）＝log33＝1. （3）lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1. 1.lg 8＋3lg 5＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析：D　lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3（lg 2＋lg 5）＝3. 2.计算（log64＋log63）（log312－2log32）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：B　log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1. 3.方程log3（x2－10）＝1＋log3x的解是（　　） A.－2 B.－2或5 C.5 D.3 解析：C　原方程可化为log3（x2－10）＝log3（3x），所以x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5.经检验知x＝5. 4.〔多选〕以下运算错误的是（　　） A.lg 2×lg 3＝lg 6 B.（lg 2）2＝lg 4 C.lg 2＋lg 3＝lg 5 D.lg 4－lg 2＝lg 2 解析：ABC　根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A、C都错误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从而判断D正确.故选A、B、C. 5.〔多选〕设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是（　　） A.a＋b＝1 B.log32＝b－a C.log6＝－2a D.log624＝1＋b2 解析：AC　a＋b＝log63＋log62＝log66＝1，故A正确；b－a＝log62－log63＝log6≠log32，故B错误；－2a＝－2log63＝log63－2＝log6，故C正确；log624＝1＋log64＝1＋2log62＝1＋2b，故D错误. 6.设alog34＝2，则4－a＝　　. 解析：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则4－a＝＝. 7.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg 15＝　1.176 1　，lg ＝　0.826 6　.（结果保留四位小数） 解析：lg 15＝lg ＝lg 30－lg 2＝1＋lg 3－lg 2≈1＋0.477 1－0.301 0＝1.176 1. lg ＝lg 45＝lg ＝（lg 9＋lg 10－lg 2）＝（2lg 3＋1－lg 2）＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－×0.301 0＝0.826 6. 8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg ，则x＝　0　. 解析：lg（10m）＋lg ＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0. 9.〔一题多解〕计算：（1）lg 14－2lg＋lg 7－lg 18； （2）（lg 5）2＋3lg 2＋2lg 5＋lg 2×lg 5； （3）（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log6－log62）. 解：（1）法一（直接运算）　原式＝lg 14－lg（）2＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0. 法二（拆项后运算）　原式＝lg（2×7）－2（lg 7－lg 3）＋lg 7－lg（32×2）＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. （2）原式＝lg 5×（lg 5＋lg 2）＋2（lg 2＋lg 5）＋lg 2＝lg 5×1＋2×1＋lg 2＝2＋（lg 5＋lg 2）＝3. （3）原式＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×log6＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×log6＝（log62）2＋（log63）2＋2log62×log63＝（log62＋log63）2＝1. 10.若12a＝3b＝m，且－＝2，则m＝（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：B　因为12a＝m，所以（12a＝，所以12＝，同理3＝，所以lg 12＝lg m，lg 3＝lg m，所以＝，＝，又－＝2，所以－＝2，所以lg 12－lg 3＝2lg m，解得＝2. 11.〔多选〕设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（　　） A.f（xy）＝f（x）f（y） B.f（xy）＝f（x）＋f（y） C.f＝ D.f＝f（x）－f（y） 解析：BD　由对数运算法则f（xy）＝loga（xy）＝logax＋logay.所以f（xy）＝f（x）＋f（y）.f＝loga＝logax－logay，所以f＝f（x）－f（y）. 12.设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），若f（x1x2…x2 026）＝4，则f（）＋f（）＋…＋f（）＝　8　. 解析：∵函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），∴f（x1x2…x2 026）＝loga（x1x2…x2 026）＝4.∴f（）＋f（）＋…＋f（）＝loga（…）＝loga（x1x2…x2 026）2＝2loga（x1x2…x2 026）＝2×4＝8. 13.解方程（lg x－lg 3）＝lg 5－lg（x－10）. 解：由已知得，x＞0且x＞10，则方程变形为lg ＝2lg 5－lg（x－10），即lg ＝lg . ∴＝，即x（x－10）－75＝0，（x－15）（x＋5）＝0， ∴x＝15或x＝－5.又x＞10，∴x＝15是原方程的解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $