第4章 1 对数的概念（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第四章　对数运算与对数函数 §1　对数的概念 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 ab＝N 以a为底N的对数 logaN＝b 底 真 常用对数 lg N ln N 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　对数运算与对数函数 1 学业标准 素养目标 1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(难点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质求值．(重点) 1．通过对数概念的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过对数性质的应用，发展数学建模、数学运算等核心素养． 导学1　对数的概念 　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ [提示]　N＝2x；能，x＝log2N. ◎结论形成 1．对数的定义：如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即__________，那么数b叫作__________________，记作_____________．其中a叫作对数的______数，N叫作______数． 2．常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为____________，并将log10N简记为________． 3．自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底数的对数称之为自然对数，并将logeN简记为________． 导学2　对数的性质及对数恒等式 　是不是所有的实数都有对数？为什么？ [提示]　零和负数没有对数，因为ax＝N(a＞0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ [提示]　 设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. 　根据对数的定义，你能推出对数恒等式＝N吗？ [提示]　因为ax＝N，x＝logaN，所以＝N. ◎结论形成 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－3)2＝9，所以log(－3)9＝2.(　　) (2)因为2x＝3，所以log32＝x.(　　) (3)log35＝log53.(　　) (4)ln (ln e)＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．将 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(1,8) 化为对数式正确的是(　　) A．log eq \s\do9(\f(1,2)) 3＝ eq \f(1,8) 　　　　 B．log eq \s\do9(\f(1,2)) eq \f(1,8) ＝3 C．log eq \s\do9(\f(1,8)) eq \f(1,2) ＝3 D．log3 eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,8) 解析　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(1,8) 化为对数式：log eq \s\do9(\f(1,2)) eq \f(1,8) ＝3，选B. 答案　B 3．已知logx16＝2，则x＝(　　) A．4　　 B．±4　　 C．256　　 D．2 解析　∵logx16＝2，∴x2＝16，即x＝±4. 又x＞0且x≠1，故x＝4，选A. 答案　A 4．＝____________． 解析　 答案　8 题型一　对数的概念 　(1)若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　　) A． eq \f(5,4) ≤x＜2　　　　　 B． eq \f(5,2) ＜x＜2 C． eq \f(5,4) ＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3 (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式． ①2－7＝ eq \f(1,128) ；②log eq \s\do9(\f(1,2)) 32＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2. (1)[解析]　依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－5＞0，,x－1＞0，,x－1≠1，)) 解得 eq \f(5,4) ＜x＜2或x＞2.故选C. [答案]　C (2)[解析]　①由2－7＝ eq \f(1,128) ，可得log2 eq \f(1,128) ＝－7. ②由log eq \s\do9(\f(1,2)) 32＝－5，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－5) ＝32. ③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. ④由ln x＝2，可得e2＝x. 指数式与对数式互化的思路 1．指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 提醒：在指数式与对数式互化过程中底数要始终保持不变． [触类旁通] 1．将下列指数式与对数式进行互化． (1)5 eq \s\up16(－\f(1,2)) ＝ eq \f(1,\r(5)) ；(2)log eq \r(2) 4＝4；(3)lg 0.001＝－3. 解析　(1)由5 eq \s\up16(－\f(1,2)) ＝ eq \f(1,\r(5)) ，可得log5 eq \f(1,\r(5)) ＝－ eq \f(1,2) . (2)由log eq \r(2) 4＝4，可得( eq \r(2) )4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 题型二　利用指数式与对数式的关系求值 　求下列各式中x的值． (1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2； (3)log eq \s\do9(\f(2,3)) eq \f(9,4) ＝x；(4)logx27＝ eq \f(3,2) ；(5)lg 0.01＝x. [解析]　(1)∵4x＝5·3x，∴ eq \f(4x,3x) ＝5，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up20(x) ＝5，∴x＝log eq \s\do9(\f(4,3)) 5. (2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. (3)∵log eq \s\do9(\f(2,3)) eq \f(9,4) ＝x，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(x) ＝ eq \f(9,4) ， ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(x) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(－2) ，∴x＝－2. (4)∵logx27＝ eq \f(3,2) ，∴x eq \s\up16(\f(3,2)) ＝27，∴x＝27 eq \s\up16(\f(2,3)) ＝32＝9. (5)∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2. 利用指数与对数的互化求变量值的方法 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值． [触类旁通] 2．求下列各式中的x值． (1)log2x＝ eq \f(1,2) ；(2)log216＝x；(3)logx27＝3. 解析　(1)∵log2x＝ eq \f(1,2) ，∴x＝2 eq \s\up16(\f(1,2)) ，∴x＝ eq \r(2) . (2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4. (3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3. 题型三　利用对数性质和对数恒等式求值 一题多变 　求下列各式中x的值． (1)log3(log2x)＝0； (2) ＝9； (3)已知log5(log3(log2a))＝0，计算的值． [解析]　(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1， ∴x＝21＝2. (2)由＝9得 eq \r(x) ＝9，解得x＝81. (3)因为log5(log3(log2a))＝0， 所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8. [母题变式] 1．(变结论)本例(3)条件不变，试求的值． 解析　由条件知a＝8， 2．(变条件、变结论)已知log eq \s\do9(\f(1,2)) a＝3，试求的值． 解析　因为log eq \s\do9(\f(1,2)) a＝3，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(1,8) ， 所以原式＝a＝ eq \f(1,8) . 3．(变结论)本例(3)条件不变，试求的值． 解析　由条件可知a＝8， [素养聚焦]　通过利用对数性质的求值，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．在对数的运算中，常用对数的基本性质： (1)负数和零没有对数； (2)loga1＝0(a＞0，a≠1)； (3)logaa＝1(a＞0，a≠1)进行对数的化简与求值． 2．对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时，应充分考虑对数恒等式的应用．对数恒等式＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的结构形式：(1)指数中含有对数式；(2)它们是同底的；(3)其值为对数的真数． [触类旁通] 3．求下列各式中x的值． (1)ln (lg x)＝1； (2)log2(log5 x)＝0； 解析　(1)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. (2)∵log2(log5 x)＝0，∴log5 x＝1，∴x＝5. [缜密思维提能区]　易错辨析 因忽视底数的取值范围而致错 [典例]　已知logx＋3(x2＋3x)＝1.求实数x的值． [错解]　由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3. [正解]　由对数的性质知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3x＝x＋3，,x2＋3x>0，,x＋3>0，且x＋3≠1，)) 解得x＝1.故实数x的值为1. [纠错心得]　(1)在对数表达式x＝logaN中，需满足底数a>0，且a≠1，真数N>0. (2)在利用对数式的性质求出a的值后，务必验证底数和真数是否满足对数式的意义． 知识落实 技法强化 1．对数的概念和性质． 2．自然对数、常用对数． 3．对数恒等式． 1．方法归纳：转化法． 2．注意对数式中底数和真数的取值范围． $$