第2章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章　函 数 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 第2课时　函数奇偶性的应用 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　函 数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 增函数 相同 减函数 相反 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函 数 1 导学　函数的单调性与奇偶性 　从两个偶函数的图象中，能找出偶函数在对称区间上单调性的关系吗？奇函数呢？ [提示]　偶函数在对称区间上的单调性相反．奇函数在对称区间上的单调性相同． ◎结论形成 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为__________(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性________． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为__________(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(　　) (2)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(　　) (3)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数．(　　) (4)若f(x)是奇函数，则f(0)＝0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) <f(－1)<f(2) B．f(2)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) <f(－1) C．f(2)<f(－1)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f(－1)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) <f(2) 解析　因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)， 又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增， 所以f(－2)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) <f(－1)， 即f(2)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) <f(－1). 答案　B 3．已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)＝6－5x，则当x>0时，f(x)＝__________． 解析　由题知，f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)， ∵x<0，f(x)＝6－5x， 则当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝5x＋6， ∵f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝5x＋6. 答案　5x＋6 4．已知函数f(x)＝x3＋2x为增函数，则不等式f(2a－1)＋f(a)>0的解集为________． 解析　∵f(x)＝x3＋2x，∴f(－x)＝(－x)3＋2×(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， 故函数f(x)＝x3＋2x为奇函数，且单调递增， 又f(2a－1)＋f(a)>0，即f(2a－1)>－f(a)＝f(－a)， ∴2a－1>－a，解得a> eq \f(1,3) . 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 题型一　求函数的解析式 一题多变 　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． [解析]　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.)) [母题变式] (变条件、变结论)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式． 解析　当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x＋3， 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． [触类旁通] 1．已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式． 解析　因为当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1). 因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x(x－1)，x∈(－∞，0). 所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(1＋x)，x≥0，,x(x－1)，x<0.)) 题型二　奇偶性与单调性的综合应用 题点多探　多维探究 角度1　比较大小 　已知函数y＝f(x)是偶函数，它在(－∞，0)上单调递增，则f(－3)，f( eq \r(7) )，f(π)的大小关系是(　　) A．f(－3)<f( eq \r(7) )<f(π) B．f(－3)<f(π)<f( eq \r(7) ) C．f(π)<f(－3)<f( eq \r(7) ) D．f( eq \r(7) )<f(－3)<f(π) [解析]　因为函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数y＝f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)， 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且π>3> eq \r(7) ， 所以f(π)<f(3)<f( eq \r(7) )，即f(π)<f(－3)<f( eq \r(7) )，故选C. [答案]　C 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 角度2　解不等式 　已知定义在[－2，2]的函数f(x)在[0，2]单调递减，且f(1－m)<f(m). (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． [解析]　(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2，2]上单调递减， 故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>m，,－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，)) 解得m∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) ， 故m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) . (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0，2]上单调递减，故在[－2，0)上单调递增，由f(1－m)<f(m)得f(|1－m|)<f(|m|)， 故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|1－m|>|m|，,－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，)) 解得m∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) ， 故m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) . [素养聚焦]　直观想象、逻辑推理等核心素养体现在题目的求解过程中． 要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [触类旁通] 2．(1)(多选)已知函数f(x)在[－5，5]上是奇函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(4)<f(2)　　　 B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5) D．f(0)<f(1) (2)定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(m2)＋f(－3－2m)>f(0)，则实数m的取值范围为________． 解析　(1)因为函数f(x)在[－5，5]上是奇函数，所以f(－4)<f(－2)⇒f(4)>f(2).又f(x)在[0，5]上是单调函数，所以f(x)在[－5，5]上单调递增，从而f(－3)<f(5)，f(2)<f(3)，f(0)<f(1). (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在定义域R上是减函数，且f(0)＝0. ∴f(m2)＋f(－3－2m)>f(0)＝0，即f(m2)>－f(－3－2m)＝f(2m＋3)， 故可知m2<2m＋3⇒m2－2m－3<0，即可解得－1<m<3， ∴实数m的取值范围为(－1，3). 答案　(1)BCD　(2)(－1，3) [缜密思维提能区]　易错案例 化归思想在解抽象不等式中的应用 [典例]　已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f(x)为奇函数；②f(x)在定义域上单调递减；③f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围． [解析]　∵f(x)是奇函数， ∴f(1－a2)＝－f(a2－1). ∴f(1－a)＋f(1－a2)<0 ⇒f(1－a)<－f(1－a2) ⇒f(1－a)<f(a2－1). ∵f(x)在定义域(－1，1)内是单调递减的， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a>a2－1，,－1<1－a<1，,－1<a2－1<1，)) 解得0<a<1. ∴a的取值范围为(0，1). [纠错心得]　本题的解答充分体现了化归思想的作用，将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式，从而解决问题．特别注意函数自身定义域对参数的影响． 知识落实 技法强化 1．利用奇偶性求解析式． 2．利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 1．奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心是转化． $$