第1章 预备知识 章末达标检测1（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[时间120分钟，满分150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x＞1}　　　　　 B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 解析　由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}． 答案　D 2．满足{1}⊆X{1，2，3，4}的集合X有(　　) A．4个　　 B．5个　　 C．6个　　 D．7个 解析　集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个． 答案　D 3．已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　∵m＝8－n，m＞0，n＞0，∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16，当且仅当m＝n＝4时取等号．则mn的最大值为16.故选C. 答案　C 4．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是(　　) A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2＜1 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D. 答案　D 5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，“攻破楼兰”不能推出“返回家乡”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选A. 答案　A 6．已知(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是(　　) A．a＜－或a＞1 B．－＜a＜1 C．－＜a≤1或a＝－1 D．－＜a≤1 解析　a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2＜1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)＜0，解得－＜a＜1.综上可知－＜a≤1. 答案　D 7．已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　a＞0，b＞0，且a＋2b＝8， 则ab＝a·2b≤＝×16＝8. 当且仅当a＝2b＝4，取得等号，则ab的最大值为8.故选B. 答案　B 8．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0).当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析　由新定义运算知，x⊗y＝， (2y)⊗x＝. 因为x＞0，y＞0， 所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立，所以x⊗y＋(2y)⊗x的最小值是. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列结论不正确的是(　　) A．＜ B．ac2＜bc2 C．＞ D．a2＞ab＞b2 解析　对于A，令a＝－2，b＝－1，则＝－，＝－1，故A错误； 对于B，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故B错误； 对于C，令b＝－1，a＝－2，则＜，故C错误； 对于D，∵a＜b＜0，∴a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故D正确． 答案　ABC 10．下列命题正确的是(　　) A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析　若＜1，则a＞1或a＜0，则“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x∈(0，＋∞), ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 11．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法，其中正确的选项有(　　) A.0是任何数域的元素 B．若数域G有非零元素，则2 023∈G C．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域 D．任何一个数域的元素个数必为奇数 解析　当a＝b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a－b∈G，即0∈G，故A是真命题； 当a＝b≠0时，由数域的定义可知，a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1＋1＝2∈G，则2＋1＝3∈G，……，则1＋2 022＝2 023∈G，故B是真命题； 对于C，显然2∈P，4∈P，但＝∉P，故P不是一个数域，故C是假命题； ∵0∈G，当b∈G且b≠0时，则－b∈G，因此只要这个数不为0，就一定成对出现，所以数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“∀x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的范围是________． 解析　命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1；∴a≤1. 答案　(－∞，1] 13．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________． 解析　令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系，则C(2t，0)，A(1，)，B(－t，0)，＝＝4－≥4－2， 当且仅当t＋1＝，即BD＝－1时取等号． 答案　－1 14．已知x＞0，y＞0，求z＝(x＋2y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲：z＝(x＋2y)＝2＋＋＋8≥18； 乙：z＝(x＋2y)≥2·2＝16. ①你认为甲、乙两人解法正确的是________． ②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确：________． 答案　①甲 ②答案不唯一． 如：已知x＞0，y＞0，求z＝(a＋b)的最小值． 甲：z＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4， 乙：z＝(a＋b)≥2·2＝4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知全集U＝{x|－6≤x≤5}，M＝{x|－3＜x≤2}，N＝{x|0＜x＜2}． (1)求M∩(∁UN)； (2)若C＝{x|a≤x≤2a－1}且C⊆(∁UM)，求a的取值范围． 解析　(1)全集U＝{x|－6≤x≤5}， M＝{x|－3＜x≤2}， N＝{x|0＜x＜2}， 所以∁UN＝{x|－6≤x≤0或2≤x≤5}； 所以M∩(∁UN)＝{x|－3＜x≤0或x＝2}． (2)因为C＝{x|a≤x≤2a－1}，∁UM＝{x|－6≤x≤－3或2＜x≤5}，且C⊆(∁UM)， 当C＝∅时，a＞2a－1，解得a＜1； 当C≠∅且C⊆(∁UM)时， 或 解得2＜a≤3. 综上所述：a的取值范围是(－∞，1)∪(2，3]. 16．(15分)请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)中． 已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}， B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}． (1)求集合A，B； (2)若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析　(1)由x2－4x－12≤0得－2≤x≤6， 故集合A＝{x|－2≤x≤6}， 由x2－2x＋1－m2＝0得x1＝1－m，x2＝1＋m， 因为m＞0，故集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}； (2)若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有解得m≥5， 所以，实数m的取值范围是[5，＋∞). 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有解得0＜m≤3， 所以实数m的取值范围是(0，3]. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B， 则有方程组无解， 所以不存在满足条件的实数m. 17．(15分)已知函数y＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数(x＞0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式y≤a成立，试求a的取值范围． 解析　(1)依题意得＝＝x＋－4. 因为x＞0，所以x＋≥2. 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 所以≥－2. 故当x＝1时，的最小值为－2. (2)因为y－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对于任意的x∈[0，2]，不等式y≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”． 不妨设z＝x2－2ax－1， 则只要z≤0在[0，2]上恒成立． 所以 解得a≥. 所以a的取值范围是. 18．(17分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解析　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解， 由于＋x≥2＝10， 当且仅当＝，即x＝30时等号成立， 所以a≥10.2. 当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．19.(17分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)>0，其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 解析　(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝. (2)由(1)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时等号成立，所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，此时A＝{x|－4<x<4}， 故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$