第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0　　　　 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 答案　C 2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 解析　∵x＞0，∴y＝3－≤3－2 ＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立． 答案　C 3．(多选)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D．≥4 解析　设a＞0，b＞0， a2＋1－a＝＋＞0，A成立， a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立， (a＋b)＝2＋＋≥4，故C成立， a＋≥2，b＋≥2，故D成立．故选ACD. 答案　ACD 4．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________． 解析　由a＋2b－3ab＝0，有3ab＝a＋2b≥2. 即3≥2， 所以ab≥(当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号)， 所以ab的最小值为. 由a＋2b－3ab＝0，可知＋＝3， 所以a＋b＝· ＝≥(3＋2)＝1＋. 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以a＋b的最小值为1＋. 答案　　1＋ 5．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2. 解析　设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2). 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立． 答案　56 6．若正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值． 解析　因为x＋y＝1，所以(x＋1)＋y＝2. 所以＋＝×＝≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． 所以＋的最小值为. [关键能力·综合提升] 7．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论不正确的是(　　) A．≤　　　　　 B．＋≤1 C．≥2 D．a2＋b2≥8 解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A，C不成立；＋＝＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.故选ABC. 答案　ABC 8．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2 B．若a，b，m为正实数，a＜b，则＜ C．若＞，则a＞b D．当x＞0时，x＋的最小值为2 解析　对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，∴a3＋b3＞a2b＋ab2，故A正确； 对于B，若a，b，m为正实数，a＜b，则－＝＞0， 则＞，故B错误； 对于C，若＞，则a＞b，故C正确； 对于D，当x＞0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，成立，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销集公词从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每1万件产品的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 解析　由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x＝3－， 即t＝－1(1＜x＜3)， 设月利润为y万元， 则y＝x－32x－3－t ＝16x－－3＝16x－＋－3 ＝45.5－≤45.5－2＝37.5， 当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号， 故该公司的最大月利润为37.5万元． 答案　37.5 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) 解析　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2 ＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． [核心价值·探索创新] 11．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．λ＜ B．λ＜1 C．λ＜2 D．λ＜3 解析　∵不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立， ∴λ＜. ∵≥＝＋ ≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ＜2. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$