精品解析：安徽省芜湖市荟萃中学2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题

荟萃中学2024-2025学年度第一学期初二开学素质测试 数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分: 100分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法正确的是（ ） A. ，，都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数是开方开不尽的数 D. 无理数都是实数 2. 已知数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）． A. B. 3 C. D. 3. 若，则整式4x+(3x-5y)-2(7x-y)的值为（ ）． A -22 B. -20 C. 20 D. 22 4. 如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 35° D. 50° 5. 如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 第33届夏季奥运会于2024年7月26 日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若, 则 B. 若，则 C. 若, 则 D. 若, 则 8. 为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了30 名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于全面调查 B. 1000 名学生是总体 C. 样本容量是 30 D. 被抽取的每一名学生称为个体 9. 如图，动点从出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 (本题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知x、y满足方程组，则的值为__________． 12. 已知， 则的值为_________. 13. 如图，两根木条的长度分别为6cm和10cm．在它们的中点处各打一个小孔M、N (小孔大小忽略不计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN= _________cm． 14. 一根长的绳子，第一次截去一半，第二次截去剩下的，第三次截去剩下的如此下去，直到截去剩下的 则剩下的绳子长为__________. 15. 不等边三角形ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，则它的长为____________. 16. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______． 三、计算题 (本大题共2小题，共10分) 17. 解方程组： 18. 解不等式组并把解集表示在数轴上. 四、解答题(本题共5小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19. 在平面直角坐标系中， 三个顶点的位置如图所示，其中 现将 沿 的方向平移，使得点A平移至图中的 的位置. （1）在图中画出 写出点 的坐标为 ，点 的坐为 . （2）求线段扫过的面积. （3）直接写出线段与y轴交点坐标是 . 20. 为了抵制手机诱惑，减少手机影响，七年级各班召开了“放下手机，让我们读书吧”主题班会，号召全体同学每周读一本好书从自然科学、文学艺术、社会百科和小说四类书籍中选一本，一周后，班学习委员对全班同学所读书籍进行统计并绘制成两幅不完整统计图表．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题： 频率分布表 书籍类型 频数 频率 自然科学 文学艺术 社会百科 小说 （1）该班总人数为______人． （2）如表中______，______并将如图补充完整． （3）七年级共有学生人，按班统计结果估算，全年级大约有______人阅读的书籍是自然科学类． 21. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 22. 对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． （1）已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 23. 已知直线与直线，分别交于点、两点，和角平分线交于点，且 （1）如图1，求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点，求的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转后停止．设它们同时转动秒，问？为多少时，射线 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荟萃中学2024-2025学年度第一学期初二开学素质测试 数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分: 100分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法正确的是（ ） A. ，，都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数是开方开不尽的数 D. 无理数都是实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】是有理数，故选项A和B错误； π是无理数但不是开方开不尽的数，故选项C错误； 无理数都是实数，故选项D正确． 故答案为：D． 2. 已知数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴确定a的范围，再根据加减法法则判断与的正负，最后利用绝对值的性质，化简多项式计算结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，以及整式的加减等知识点．判断与的正负是解决本题的关键． 3. 若，则整式4x+(3x-5y)-2(7x-y)值为（ ）． A. -22 B. -20 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值与平方的非负性解得x、y的值，再计算整式的加减，最后代入值计算即可． 【详解】解：｜x＋3︱＋(y-)=0， 4x+(3x-5y)-2(7x-y) 当时， 原式 故选：C． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及绝对值与平方的非负性等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 35° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数． 【详解】解：由题意得，AB∥DE， 如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=180°-125°=55°， ∴∠DCF=75°-55°=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 5. 如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，设点B的坐标为（m，3），则OC=3，BC=m，根据题意可知，则，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作BC⊥y轴于C， 由题意得可知点B的纵坐标为3， 设点B的坐标为（m，3）， ∴OC=3，BC=m， ∵线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确作出辅助线构造梯形OABC是解题的关键． 6. 第33届夏季奥运会于2024年7月26 日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若, 则 B. 若，则 C. 若, 则 D. 若, 则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：若,可能小于，也可能大于，故A选项说法错误； 若，则，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，即，故B选项说法正确； 若, 则，故C选项说法错误； 若, 当时，，当时，，故D选项说法错误； 故选B． 8. 为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了30 名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于全面调查 B. 1000 名学生是总体 C. 样本容量是 30 D. 被抽取的每一名学生称为个体 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．此题主要考查了总体、个体、样本．正确理解总体、个体、样本的概念是解决本题的关键． 【详解】解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意； B、1000名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意； C、样本容量是30，故此选项符合题意； D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意． 故选：C 9. 如图，动点从出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，，则第33次碰到长方形边上的点的坐标与第3次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：观察图1可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，第2次碰到长方形边上的点的坐标为，第3次碰到长方形边上的点的坐标为，第4次碰到长方形边上的点的坐标为，第5次碰到长方形边上的点的坐标为，第6次碰到长方形边上的点的坐标为，第7次碰到长方形边上的点的坐标为， 所以每碰撞6次回到起始点， 因为， 所以第33次碰到长方形边上的点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查图形规律探究，通过分析观察，总结出图形变化规律是解题的关键． 10. 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解析：（已知） （两直线平行，同旁内角互补） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴ ∴即平分 ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴ ，，所以④错误； 故答案为：C． 二、填空题 (本题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知x、y满足方程组，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先解方程组求解，从而可得答案． 【详解】解： ①得： ③ ③－②得： 把代入①： 所以方程组的解是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 12. 已知， 则的值为_________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式整体求值，把移项后利用整体思想求值． 【详解】将移项后化简得， 解得：． 故答案为：5． 13. 如图，两根木条的长度分别为6cm和10cm．在它们的中点处各打一个小孔M、N (小孔大小忽略不计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN= _________cm． 【答案】2或8 【解析】 【分析】如图，设短的木条为AB，长的木条为CD，然后分B、C两点重合与A、C两点重合两种情况进一步分析求解即可. 【详解】如图，设短的木条为AB，长的木条为CD， 则：，， ①当B、C两点重合时， 此时； ②当A、C两点重合时， 此时； 综上所述，MN的长度为或， 故答案为：2或8. 【点睛】本题主要考查了线段的中点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 14. 一根长的绳子，第一次截去一半，第二次截去剩下的，第三次截去剩下的如此下去，直到截去剩下的 则剩下的绳子长为__________. 【答案】1米 【解析】 【分析】根据题意得到算式，先计算括号里面的减法，再约分计算即可求解．考查了有理数的混合运算，本题关键是得到算式． 【详解】解： （米． 答：剩下的小绳子为1米． 故答案为：1米 15. 不等边三角形ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，则它的长为____________. 【答案】5 【解析】 【分析】设△ABC的面积为S，第三条高的长为x，根据三角形的面积公式即可求出三角形的三边，然后根据三角形的三边关系即可列出不等式，从而求出x的取值范围，最后根据第三条高的长也是整数和不等边三角形ABC，即可求出x的值. 【详解】解：设△ABC的面积为S，第三条高的长为x ∴这个三角形的三边分别为 ∴ 将不等式的两边同时除以2S，得 整理，得 ∵第三条高的长也是整数， ∴x的值为4或5 ∵△ABC为不等边三角形，已知中的一条高4 ∴x≠4 ∴x=5. 故答案为：5. 【点睛】此题考查的是根据不等边三角形的两条高，求第三条高，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键. 16. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中． 三、计算题 (本大题共2小题，共10分) 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解. 试题解析： ①+②得：，所以 . 把代入①得：. 所以，该方程组的解为 18. 解不等式组并把解集表示在数轴上. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分别解两个不等式，再在数轴上表示，找出两个解集的公共部分即可． 【详解】， 解不等式①，得 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式①②的解集，如图： 所以不等式组的解集为 四、解答题(本题共5小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点的位置如图所示，其中 现将 沿 的方向平移，使得点A平移至图中的 的位置. （1）在图中画出 写出点 的坐标为 ，点 的坐为 . （2）求线段扫过的面积. （3）直接写出线段与y轴交点坐标是 . 【答案】（1）， （2）22 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识． （1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）利用分割法求四边形面积． （3）设交y轴于F，连接，．利用面积法求出的长即可． 【小问1详解】 如图，,即为所求，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为，． 【小问2详解】 线段扫过的面积， 故答案为：22． 【小问3详解】 设交y轴于F，连接，． ∵， ∴， ∴． 20. 为了抵制手机诱惑，减少手机影响，七年级各班召开了“放下手机，让我们读书吧”主题班会，号召全体同学每周读一本好书从自然科学、文学艺术、社会百科和小说四类书籍中选一本，一周后，班学习委员对全班同学所读书籍进行统计并绘制成两幅不完整统计图表．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题： 频率分布表 书籍类型 频数 频率 自然科学 文学艺术 社会百科 小说 （1）该班总人数为______人． （2）如表中______，______并将如图补充完整． （3）七年级共有学生人，按班统计结果估算，全年级大约有______人阅读的书籍是自然科学类． 【答案】（1）50 （2）10，0.24，图见解析 （3）172 【解析】 【分析】（1）根据文学艺术的频数和频率可以计算出该班的总人数； （2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出a、b的值，并把直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全年级大约有多少人阅读的书籍是自然科学类． 【小问1详解】 解：该班总人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 故答案为：10，0.24； 【小问3详解】 解：（人）， 即全年级大约有人阅读的书籍是自然科学， 故答案为：． 【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 【答案】（1）每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元 （2）共有3种购买方案：方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”：方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”；方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝” 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组解决实际问题，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组与一元一次不等式组的综合运用是解题的关键． （1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意得：， 解得：， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； 【小问2详解】 解：设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意可得：， 解得：， ∵m是正整数， ∴m可取30，31，32， ∴共有3种购买方案： 方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”： 方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”； 方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝”． 22. 对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． （1）已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【小问1详解】 解：①，， 解得： ，． ②由①得：， 解得： ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ， ． 小问2详解】 解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值， 解得： ， ∴该定值为． 23. 已知直线与直线，分别交于点、两点，和的角平分线交于点，且 （1）如图1，求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点，求的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转后停止．设它们同时转动秒，问？为多少时，射线 【答案】（1）见解析 （2） （3）5或15 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键． （1）由角平分线的定义，可知，，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，由角平分线的定义可分别求，，则可求，，，再由三角形内角和可得； （3）分两种情况讨论：时，，，则；时，，，则，分别求出即可． 【小问1详解】 证明：和的角平分线交于点， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， 平分， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 【小问3详解】 解：如图1，时， ，， ，， ，， ， ， ， ； 如图2，时， ，， ， ， ， ； 综上所述：当或15时，射线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$