九年级数学第一次月考卷（苏科版，九年级上册第1章-第2章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。 5．难度系数：0.8。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 第3题 第5题 4．已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将沿弦折叠，点C在上，点D在上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的顶点B，C，D在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 7．关于y的方程的解是 ． 8．当时，关于的方程根的情况是 ． 9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 10．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 第10题 第12题 第13题 11．已知的半径为2，内接于，，则 ． 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 13．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ． 14．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 15．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 第15题 第16题 16．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ． 三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本小题5分）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    19．（本小题5分）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 20．（本小题6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 21．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 22．（本小题4分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23．（本小题6分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 24．（本小题6分）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 25．（本小题6分）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 26．（本小题12分） 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。 5．难度系数：0.8。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 第3题 第5题 4．已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将沿弦折叠，点C在上，点D在上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的顶点B，C，D在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 7．关于y的方程的解是 ． 8．当时，关于的方程根的情况是 ． 9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 10．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 第10题 第12题 第13题 11．已知的半径为2，内接于，，则 ． 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 13．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ． 14．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 15．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 第15题 第16题 16．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ． 三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本小题5分）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    19．（本小题5分）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 20．（本小题6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 21．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 22．（本小题4分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23．（本小题6分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 24．（本小题6分）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 25．（本小题6分）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 26．（本小题12分） 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。 5．难度系数：0.8。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、方程是二元二次方程，故本选项错误； B、方程是分式方程，故本选项错误； C、方程是一元二次方程，故本选项正确； D、方程是一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 配方得：， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：连接， ∵以为直径作，线段的中点为P， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 4．已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．， ∴，结论A正确，符合题意； B、∵、是关于的方程的两根， ∴， ∵的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵、是关于的方程的两根， ∴，结论C错误，不符合题意； D、∵， ∴、异号，结论D错误，不符合题意． 故选：A． 5．如图，将沿弦折叠，点C在上，点D在上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作所对的圆周角，如图， ， ， 沿弦折叠，点在上，点在上， ． 故选：A 6．如图，菱形的顶点B，C，D在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：连接、， 是菱形， ， ，， ， ， 与相切， ， ， 即，点在上， 与相切． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 7．关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 8．当时，关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：关于的方程， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【详解】解：解得：，， ∵一个三角形的两边长分别为3和6， ∴设第三边长为，则，即， ∵第三边是方程的一个根， ∴， ∴这个三角形的周长是， 故答案为：． 10．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 11．已知的半径为2，内接于，，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当点C在优弧上时， ∴， 当点C在劣弧上时，记为， ∴， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， 即的长为， 故答案为：． 13．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示． 点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 14．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， 此时有， 解得：， 紫砂壶的壶口半径r的长为， 故答案为：． 15．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 16．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵， ∴的外接圆半径为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以，．……………………3分 （2）， ， ， 或， 所以，．……………………6分 18．（本小题5分）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【详解】证明：， ，，……………………4分 是等边三角形．……………………5分 19．（本小题5分）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【详解】解：设每辆轮椅降价元，由题意， 得．……………………2分 解得，．……………………3分 ， ． （不合题意，舍去）．……………………4分 （辆）． 所以，这天售出了64辆轮椅．……………………5分 20．（本小题6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，    ∴，……………………1分 ∵， ∴， ∴，，……………………2分 ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴；……………………3分 （2）∵，   ∴是圆的直径， ∵，    ∴， ∴是等边三角形，……………………4分 ∴， ∴，    ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴，……………………5分 ∵， ∴， ∴圆的半径是4．……………………6分 21．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴．……………………3分 （2）证明：连接 ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴……………………6分 22．（本小题4分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；……………………2分 （2）解：∵是方程的一个实数根，则，则， 又，即， 解得：（舍去）或． 故的值为．……………………4分 23．（本小题6分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【详解】（1）解：根据损矩形直径的定义，可得线段是损矩形的直径， 故答案为：；……………………2分 （2）解：如图，作线段的垂直平分线，交于P，连接，以P为圆心，为半径作圆即可， 点P为中点， ． ， ， ， 点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上．……………………6分 24．（本小题6分）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②；……………………3分 （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ．……………………6分 25．（本小题6分）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①；……………………3分 （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或．……………………6分 26．（本小题12分） 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， ，， 的面积等于， ， ， 解得：，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于；……………………3分 （2）解：的形状是直角三角形， 理由如下： 当秒时，，， ，， 在中， ， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ， ， 是直角三角形；……………………6分 （3）解：①存在； （ⅰ）由题意可知与、不相切；……………………7分 （ⅱ）如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合， ， ， ， 为的切线；……………………8分 （iii）当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：，（舍去）， 综上，当或时，与四边形的一边相切；……………………9分 ②（i）当时，与四边形有两个公共点；……………………10分 （ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点； 由题意知：，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，与四边形有三个公共点．……………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 C A C A A B 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 7．，， 8．有两个不相等的实数根 9．13 10． 11．或 12．4 13． 14．10 15．或 16． 三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以，．……………………3分 （2）， ， ， 或， 所以，．……………………6分 18．（本小题5分） 【详解】证明：， ，，……………………4分 是等边三角形．……………………5分 19．（本小题5分） 【详解】解：设每辆轮椅降价元，由题意， 得．……………………2分 解得，．……………………3分 ， ． （不合题意，舍去）．……………………4分 （辆）． 所以，这天售出了64辆轮椅．……………………5分 20．（本小题6分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，    ∴，……………………1分 ∵， ∴， ∴，，……………………2分 ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴；……………………3分 （2）∵，   ∴是圆的直径， ∵，    ∴， ∴是等边三角形，……………………4分 ∴， ∴，    ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴，……………………5分 ∵， ∴， ∴圆的半径是4．……………………6分 21．（本小题6分） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴．……………………3分 （2）证明：连接 ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴……………………6分 22．（本小题4分） 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；……………………2分 （2）解：∵是方程的一个实数根，则，则， 又，即， 解得：（舍去）或． 故的值为．……………………4分 23．（本小题6分） 【详解】（1）解：根据损矩形直径的定义，可得线段是损矩形的直径， 故答案为：；……………………2分 （2）解：如图，作线段的垂直平分线，交于P，连接，以P为圆心，为半径作圆即可， 点P为中点， ． ， ， ， 点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上．……………………6分 24．（本小题6分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②；……………………3分 （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ．……………………6分 25．（本小题6分） 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①；……………………3分 （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或．……………………6分 26．（本小题12分） 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， ，， 的面积等于， ， ， 解得：，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于；……………………3分 （2）解：的形状是直角三角形， 理由如下： 当秒时，，， ，， 在中， ， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ， ， 是直角三角形；……………………6分 （3）解：①存在； （ⅰ）由题意可知与、不相切；……………………7分 （ⅱ）如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合， ， ， ， 为的切线；……………………8分 （iii）当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：，（舍去）， 综上，当或时，与四边形的一边相切；……………………9分 ②（i）当时，与四边形有两个公共点；……………………10分 （ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点； 由题意知：，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，与四边形有三个公共点．……………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学第一次月考卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 4 0 分） 7 ． __________ 8 ． __________ 9 ． ________ 1 0 ． _________ 11. 1 2 ． _________ 1 3 ． _________ 1 4 ． ________ 15 ． _________ 16 ． _______ _____ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 62 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（6分） 解下列方程： (1) ； (2) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ． （ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 6 分） 2 1 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 4 分） 23 ． （ 6 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（ 6 分） （1） ， ； （2） 25．（ 6 分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ．（ 12 分） （1） （2） （3） ① ② ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学第一次月考卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（6 分） 21．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分） 7．__________ 8．__________9．________ 10．_________11. 12．_________13．_________14．________15．_________16．____________ 三、解答题：本题共 10 小题，共 62分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（6 分）解下列方程： (1) 2 2 4 0x x   ； (2)  3 3x x x   ． 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（4 分） 23．（6 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） （1） ， ； （2） 25．（6 分） （1） （2） （3） 26．（12 分） （1） （2） （3） ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！