精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题

哈尔滨德强学校2024-2025学年度上学期 七年级假期验收数学试题 一．选择题(每题3分，共30分) 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，即只含有2个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程，直接进行判断． 【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，正确； B、未知数的最高次数是2，错误； C、未知数的最高次数是2，错误； D、是分式方程，不符合二元一次方程的定义． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的概念，要求掌握二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程． 2. 用不等式表示图中的解集，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，向右画；向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此可得答案 【详解】解：由数轴可知，表示的不等式的解集是， 故选：B． 3. 若是方程的解，则a的值是（　　） A. 4 B. －1 C. 1 D. －4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为关于的一元一次方程．将代入方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把 代入方程， 得：，即， ， 故选：B． 4. 如果，那么下列结论中错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，基本性质1：不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． 【详解】解：．∵，∴，原式正确，故该选项不符合题意； ．∵，∴，原式正确，故该选项不符合题意； ．∵，∴ ，原式错误，故该选项符合题意； ．∵，∴，原式正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，确定出第三根木棒长度的取值范围，即可确定三角形的周长的范围，结合选项即可得出答案． 【详解】解：设第三根木棒长， ∵两根木棒的长分别为、， ∴，即， ∵该三角形的周长 ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 6. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故选：C． 7. 甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑和，则可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键在于明确题意，此题是追及问题，等量关系是：甲的行程=乙的行程．乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙，则；甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，则． 【详解】解：设甲，乙每秒分别跑和， 则可列出的方程组是， 故选：A． 8. 如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用．根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的， 所以可以利用“”作出完全一样的三角形． 故选：A． 9. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件证明，从而得证，最后根据全等三角形性质和平行的性质即可求解． 详解】和中，， ， ，，，，①正确， ，， ，③正确， ，④正确， ， ，②正确 综上所述，正确的共有4个， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，等式的性质的运用，三角形的内角和定理的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二．填空题(每题3分，共24分) 11. 已知，用含x的代数式表示y，则y=______________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了等式性质的应用，解题的关键是将x看做已知数，然后利用一元一次方程的解法求解．把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. “y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，正确理解题目中的关键词“不小于”是解题的关键．不小于表示大于或等于,根据题意即可得出答案． 【详解】“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为． 故答案为：． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集为得，求解即可. 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：； 故答案为：. 14. 已知一组数据：8， 4， 5， 4， a， 7的平均数为5， 则这组数据的中位数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求一组数据的未知数据，求中位数，先根据平均数的计算公式求出a的值，再由中位数的定义求解即可． 【详解】解；∵一组数据：8， 4， 5， 4， a， 7的平均数为5， ∴， ∴， ∴把这组数据从小到大排列为2，4，4，5，7，8， ∴这组数据的中位数为， 故答案：． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝___． 【答案】38° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据翻折变换的性质求出∠CED的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDE． 【详解】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED=∠A， ∵∠ACB=90°，∠B=26°， ∴∠A=64°， ∴∠CED=64°， ∴∠BDE=64°-26°=38°； 故答案为：38°． 【点睛】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键． 16. 如图，为的中线，为的中线， 为的中线，…，按此规律，为的中线．若的面积为64，则的面积为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：为的中线， ， 同理， ， ， 面积为． 故答案为：2． 17. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 18. 如图，在中，是中线，于点E，交延长线于点C，，交于点P，且，若的面积为5，则长为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．利用证明，推出，设，得到，，再证明，利用三角形的面积公式用表示出和，再在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为5， ∴，， ∴，， 在中，，即， 整理得， 解得（舍去负值），经检验，是方程的解， ∴长为1． 故答案为：1． 三．解答题 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）用加减消化法解二元一次方程组即可． （2）用加减消化法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得， ∴原不等式组的解为： 【小问2详解】 原方程组变形为：， 由得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原不等式组的解为： 20. 不等式或不等式组： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和不等式组． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤即可解出答案； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的性质合并解集． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：． 21. 如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． （1）画出中边上的高； （2）用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； （3）画一个格点三角形，使之与全等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （2）根据三角形中线的性质求解即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求； 【小问3详解】 如图所示， 【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键． 22. 为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这个班共有男生______________人，共有女生______________人； （2）求初二1班女生体育成绩的众数是______________分，男生体育成绩的平均数是______________分． （3）若全年级有540名学生，体育测试9分及以上成绩为优秀，试估计全年级体育测试成绩优秀的有多少名学生? 【答案】（1）20，25 （2）8，7.9； （3）204名 【解析】 【分析】（1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数； （2）根据平均数和众数定义可得； （3）用540乘以体育测试9分及以上成绩人数所占的比例即可． 本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需数据，并熟练掌握平均数和众数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：这个班共有男生（人）， 共有女生（人）， 故答案为20、25； 【小问2详解】 解：∵女生的8分占比为，是最多的 ∴女生的众数为8分， 男生的平均分为（分）， 故答案为：8，7.9； 【小问3详解】 女生：（人）， 男生：（人）， （人）． ∴估计全年级体育测试成绩优秀的有204名学生 23. 阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【小问1详解】 解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． 【小问2详解】 解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 24. 某商店欲购进A，B两种商品，已知购进A种商品3件和B种商品2件，共需170元；若购进A种商品4件和B种商品6件，共需310元． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元? （2）若该商店每件A种商品售价是45元，每件B种商品售价为28元，且商店将购进A，B共50件的商品全部售出后，要获得的利润不低于210元，问A种商品至少购进多少件? 【答案】（1）种商品每件的进价为40元，种商品每件的进价为25元 （2）30件 【解析】 【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，根据“购进A种商品3件和B种商品2件，共需170元；若购进A种商品4件和B种商品6件，共需310元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据总利润每件商品的利润销售数量（购进数量）结合总利润不低于210元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：种商品每件的进价为40元，种商品每件的进价为25元． 【小问2详解】 解：设购进种商品件，则购进种商品件， 依题意，得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为30． 答：种商品至少购进30件． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，中，，其中； （1）如图1，求出点A和点B的坐标； （2）如图2，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接，设的面积为S，用含有t的式子表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段上时，过点B作于点B，连接，且；当时．求的面积 【答案】（1）； （2） （3）39 【解析】 【分析】（1）利用非负数的和为零的性质及解二元一次方程组，即可求得m与n的值，从而求得两点的坐标； （2）分点P在线段上与原点左边两种情况考虑，利用三角形面积即可求解； （3）过点C作轴于D，则可证明，得，；由可求得；由得，由长方形面积减去面积的和，即可得所示结果三角形的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 当点P在线段上时，即，此时； 则， ∴； 当点P在原点左边时，此时； 则， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：如图，过点C作轴于D， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∴； ∵， ∴； ∵，且， ∴； ∴ ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 26. 如图，中，，点在延长线上，，，连接交与点，且． （1）如图，求证：； （2）如图，过点作于点，，连接，求证：平分； （3）如图，在（）的条件下，过点作的垂线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质得，，再由，，得，再证明即可； （）直接证明，根据全等三角形三角形的性质即可； （）由（）得：，，，通过角度和差得，证明，则，，然后证明，则，，设，则，，，然后根据面积公式即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 由（）得：，，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（）得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强学校2024-2025学年度上学期 七年级假期验收数学试题 一．选择题(每题3分，共30分) 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用不等式表示图中的解集，正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的解，则a的值是（　　） A. 4 B. －1 C. 1 D. －4 4. 如果，那么下列结论中错误的是（ ） A B. C. D. 5. 嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑和，则可列出的方程组是（ ） A B. C. D. 8. 如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题(每题3分，共24分) 11. 已知，用含x代数式表示y，则y=______________ 12. “y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为______________． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 14. 已知一组数据：8， 4， 5， 4， a， 7的平均数为5， 则这组数据的中位数是_______． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝___． 16. 如图，为的中线，为的中线， 为的中线，…，按此规律，为的中线．若的面积为64，则的面积为______________． 17. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 18. 如图，在中，是中线，于点E，交延长线于点C，，交于点P，且，若的面积为5，则长为______________． 三．解答题 19. 解方程组： （1） （2） 20. 不等式或不等式组： （1）； （2） 21. 如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． （1）画出中边上的高； （2）用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； （3）画一个格点三角形，使之与全等． 22. 为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这个班共有男生______________人，共有女生______________人； （2）求初二1班女生体育成绩的众数是______________分，男生体育成绩的平均数是______________分． （3）若全年级有540名学生，体育测试9分及以上成绩为优秀，试估计全年级体育测试成绩优秀的有多少名学生? 23. 阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： （1）； （2）． 24. 某商店欲购进A，B两种商品，已知购进A种商品3件和B种商品2件，共需170元；若购进A种商品4件和B种商品6件，共需310元． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元? （2）若该商店每件A种商品售价是45元，每件B种商品售价为28元，且商店将购进A，B共50件的商品全部售出后，要获得的利润不低于210元，问A种商品至少购进多少件? 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，中，，其中； （1）如图1，求出点A和点B的坐标； （2）如图2，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接，设的面积为S，用含有t的式子表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段上时，过点B作于点B，连接，且；当时．求的面积 26. 如图，中，，点延长线上，，，连接交与点，且． （1）如图，求证：； （2）如图，过点作于点，，连接，求证：平分； （3）如图，在（）的条件下，过点作的垂线交的延长线于点，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $