第五单元完美的图形——圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学青岛版

第五单元完美的图形-圆（单元讲义）-六年级数学上册青岛版 思维导图+知识梳理+专项练习 思 维 导 图 知 识 梳 理 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r=d÷2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 １１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。 　二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。　 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r） 　三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 　　圆的半径 　　 = 　　长方形的宽 　　圆的周长的一半　 = 　　长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽 　所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 　即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr 　圆的面积公式：S圆 =πr 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。 S环 = πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　 10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。 11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 S扇=S圆×；S扇环=S环× 求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。 专 项 练 习 一、选择题 1．运用绕绳法测量圆的周长时用到的数学思想方法是（    ）。 A．归纳 B．推理 C．化曲为直 2．在一块长24厘米、宽14厘米的长方形铁皮上，剪出直径为6厘米的圆（不能剪拼），最多可以剪（    ）个。 A．32 B．16 C．8 D．4 3．在一张长9cm、宽2cm的长方形纸上，最多可剪出（    ）个半径是1cm的圆。 A．9 B．5 C．4 D．12 4．我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．圆，一中同长也 B．圆出于方，方出于矩 C．没有规矩不成方圆 D．径一而周三 5．用一个长7厘米,宽6厘米的长方形纸片剪一个最大的圆,这个图形的周长是(     )厘米． A．6π B．7π C．32π D．13π 6．准备一块长、宽之比3∶2，周长是40米的长方形铁片，将其剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），最多可以剪（    ）个。 A．8 B．10 C．11 D．13 二、填空题 7．小明的妈妈在自家的墙根下建了一个半圆形花坛（如图），沿半圆形花坛围一圈篱笆，篱笆长( )米。若将花坛的直径增加2米，那么现在篱笆长( )米。 8．一个圆有( )条对称轴，圆的周长是它半径的( )倍． 9． 圆的直径是( ),圆的半径是( ) 10． 如图，半圆的直径是( )厘米，梯形的上底是( )厘米，梯形的高是( )厘米． 11．一个圆的直径是3cm，半径是( )；一个圆的半径是3dm，它的直径是( )． 12．我们用圆规画一个圆时，圆心确定了圆的( )，而圆的大小是由( )决定的． 13．用圆规画一个直径是36cm的圆，圆规两脚间的距离应是( )cm．画周长是9.42dm的圆，圆规两脚间的距离应是( )dm． 14．圆的周长和直径的( )叫做圆周率． 15．一个半圆的半径是5cm，面积是( )，周长是( )。 三、判断题 16．用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。( ) 17．在一个圆中剪去一个扇形后,剩下的部分仍是扇形．( ) 18．圆的对称轴是它的直径，有无数条。( ) 19．李老师用3米长的绳子在操场上画圆，最大能画出半径是3米的圆。( ) 20．两个圆周长的比是1∶2，它们面积的比是1∶4。( ) 21．圆的半径扩大到原来的2倍,它的周长也扩大到原来的2倍,它的面积也扩大到原来的2倍．( ) 四、作图题 22．在图中长方形内有一个以O为圆心的圆，（如图）O并不在长方形的正中间，请你画出一条直线，使这条直线同时平分长方形和圆．（请简要写出你的想法）． 五、解答题 23．如图是一个等边三角形 ①量出它的边长是　 　厘米； ②分别以A、B、C三个顶点为圆心，以边长的为半径，画出三个圆． 24．我们把大树树干的横截面近似地看作一个圆，一棵大树树干的周长约是157厘米，求大树树干横截面的半径是多少厘米？ 25．学校在一个长方形草坪（如图）里设计一个最大的圆形花坛，使花坛和草坪组成的图形有两条对称轴． 26．一个圆形花台，周长是25.12米，要在它周围修一条2米宽的便道，如果每平方米材料费和人工费要160元钱，政府只给了10000元钱，那么这些钱修这条便道够了吗？ 27．把一个圆转化成近似的长方形，已知长方形的周长比圆的周长多4厘米． （1）请试着把这个圆画出来．     （2）请计算出这个圆的面积． 28．游乐园中有一个近似于圆形的湖，湖心有一个小岛。 （1）这个湖的水面面积是多少平方米？ （2）如果丽丽每分钟步行60米，她绕湖一周大约要用多长时间？（得数保留整数） 29．按要求完成下列各项操作．（每小格的边长是1厘米） （1）画出把图M按2：1的比放大后的图形． （2）画出把图M绕点B逆时针旋转90°后的图形． （3）在A点南偏东45°方向画一个直径为4厘米的圆． 30．正方形的面积是16平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（请把你的思考过程在下面写出来，并解答） 我是这样想的： 解答： 31．两名运动员分别沿着边长为100米的正方形和直径为100米的圆形路线骑车比赛，这样的比赛公平吗？（通过计算说明） 32．如图所示，长方形的长是6厘米，宽是5厘米，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C A A A 1．C 【分析】根据圆的特征，圆是一条曲线围成的封闭图形，在测量圆的周长时，可以把绳绕圆一周，一周的距离等于圆的周长，据此可以测量出圆的周长，这个方法体现了化曲为直的数学思想。据此解答。 【详解】根据分析可知，运用绕绳法测量圆的周长时用到的数学思想方法是化曲为直。 故答案为：C 2．C 【分析】不能剪拼，所以用长方形的长除以圆的直径，可以求出每行最多剪几个圆；用宽除以圆的直径，可以求出最多能剪几行（结果需用“去尾法”取整数值）。用每行圆的个数乘行数，即可求出最多可以剪几个圆。 【详解】24÷6＝4（个） 14÷6≈2（行） 4×2＝8（个） 则最多可以剪8个。 故答案为：C 3．C 【分析】同一个圆内，直径是半径的2倍，在长方形纸上剪圆，相当于剪去边长等于圆直径的正方形，据此分析。 【详解】（9÷2）×（2÷2） ≈4×1 ＝4（个） 故答案为：C 【点睛】关键是熟悉圆的特征。 4．A 【分析】墨子说：“圆，一中同长也。”这里的“同长”是指同一个圆内半径相等。同一个圆内，所有的半径的都相等，据此解答。 【详解】根据分析可知，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是圆，一中同长也。 故答案为：A 5．A 【解析】略 6．A 【分析】先用长方形的周长÷2求出长与宽的和；再把长与宽的和按3∶2分配，分别求出长和宽；然后用半径×2求出圆的直径；最后用长方形的长除以直径求出长里面包含几个圆，用长方形的宽除以直径求出宽里面包含几个圆，二者相乘求出圆的个数。 【详解】长与宽的和：40÷2＝20（米） 3＋2＝5（份） 20÷5＝4（米） 长：4×3＝12（米） 宽：4×2＝8（米） 直径：1.5×2＝3（米） 12÷3＝4（个） 8÷3＝2（个）……2（米） 4×2＝8（个） 所以最多可以剪8个圆。 故答案为：A 【点睛】因为圆不能密铺，所以求圆的个数不能用长方形的面积除以圆的面积。 7． 6.28 9.42 【分析】根据题目可知，这个花坛的直径是4米，由于靠墙，这个篱笆只围了半圆弧的长度，只需要求半圆弧的长度，根据圆的周长公式：C＝πd，把数代入再除以2即可求出需要篱笆的长度；如果直径增加2米，则此时的直径是4＋2＝6米，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2，把数代入公式即可求解。 【详解】3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（米） 3.14×（4＋2）÷2 ＝3.14×6÷2 ＝18.84÷2 ＝9.42（米） 【点睛】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式并灵活运用。 8．无数；2π 【详解】试题分析：（1）根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （2）圆的周长=2πr，据此作答． 解：（1）根据轴对称图形的定义可得：圆有无数条对称轴； （2）因为圆的周长=2πr，所以圆的周长是它的半径的2π倍， 故答案为无数；2π． 点评：考查了圆的周长公式以及轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．同时要熟记一些常见图形的对称轴条数． 9． 4.5 cm　 2.25 cm 【详解】略 10． 8 8 4 【详解】略 11．1.5cm，6dm 【详解】试题分析：依据圆的认识及在同一个圆中半径与直径的关系：在同一个圆内，所有的半径和直径都分别相等，半径的长度是直径的；即可作答． 解：3÷2=1.5（cm）； 3×2=6（dm）； 所以一个圆的直径是3cm，半径是1.5cm；一个圆的半径是3dm，它的直径是6dm． 故答案为1.5cm，6dm． 点评：此题主要考查在同一个圆中半径与直径的关系． 12．位置，圆的半径 【详解】试题分析：根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”进行解答即可． 解：我们用圆规画一个圆时，圆心确定了圆的位置，而圆的大小是由半径决定； 故答案为位置，圆的半径． 点评：此题考查了圆的基础知识，注意对基础知识的积累和理解． 13．18，1.5 【详解】试题分析：（1）根据画圆的步骤可知，圆规两脚间的距离应取36÷2=18cm； （2）圆规画圆，圆规两脚之间的距离是圆的半径长度，由圆周长÷π÷2可求得半圆的半径，据此解答． 解：（1）圆规两脚间的距离：36÷2=18（cm）， （2）9.42÷3.14÷2 =3÷2， =1.5（dm）； 答：用圆规画一个直径是36cm的圆，圆规两脚间的距离应是18cm．画周长是9.42dm的圆，圆规两脚间的距离应是1.5分米． 故答案为18，1.5． 点评：此题主要考查的是如何根据圆的直径或周长确定圆的半径． 14．比 【详解】略 15． 39.25cm2 25.7cm 【分析】半圆的面积等于圆面积的一半，半圆的周长等于圆周长的一半＋直径；代入数据计算即可。 【详解】3.14×52÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 3.14×5×2÷2＋5×2 ＝3.14×5＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 【点睛】本题主要考查圆的周长、面积公式，解题时注意半圆的周长＝圆周长的一半＋直径。 16．√ 【分析】半径决定圆的大小，一个整圆的圆心角是360°，所以用4个半径相等且圆心角是90°的扇形可以拼成一个圆。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 因为4个扇形的半径相等，且圆心角都是90°，所以可以拼成一个圆。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查扇形和圆心角，明确半径决定圆的大小是解题的关键。 17．√ 【详解】略 18．× 【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，因为对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，据此解答。 【详解】由分析得， 圆的对称轴是它的直径，有无数条。此说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】题主要考查轴对称图形的定义。 19．√ 【分析】从固定点到圆上的点之间拉紧的绳子长，也就是圆的半径，依此填空即可。 【详解】由分析可知： 李老师用3米长的绳子在操场上画圆，最大能画出半径是3米的圆。原题干说法正确。 故答案为：√ 20．√ 【分析】圆的周长＝2×π×半径，圆的面积＝π×半径2，所以周长比等于半径比，而面积比等于半径平方的比。 【详解】两个圆的周长比是1∶2，那么这两个圆的半径比也是1∶2，面积比是12∶22＝1∶4。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了圆的周长和面积以及比，灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。 21．错 【详解】略 22． 【详解】试题分析：先连接长方形的对角线，两条对角线的交点为p点，然后通过圆的圆心及p点的直线即可． 解：根据分析，作图如下： 直线MN即所求直线． 【点评】此题考查了图形的划分，明确通过长方形对角线交点和圆的圆心的直线即所求直线，是解答此题的关键． 23．2 【详解】试题分析：①用直尺测量出一条边的长度即可； ②以边长的为半径，即半径为2÷2=1厘米，根据画圆的方法画圆． 解：①量出它的边长是2厘米； ②如图所示：，三个圆即为所求． 故答案为2． 点评：此题主要考查圆的画法，要先确定圆心和半径． 24．25厘米 【详解】157÷3.14÷2=25（厘米） 25．如图 【详解】试题分析：这个长方形内最大的圆是以这个长方形的宽为直径的圆，根据轴对称图形的定义可知，圆的对称轴有无数条、长方形的对称轴有2条，要使画出的这个组合图形有2条对称轴，那么这个圆的圆心应在长方形的中心处． 解：以长方形的中心为圆心，以长方形的宽为直径画出这个圆，并画出这个图形的2条对称轴如图所示： 点评：抓住长方形内最大圆的特点以及组合图形的对称轴的确定方法，是解决此类问题的关键． 26．不够 【分析】根据题目可知圆形花台周长是25.12米，可以求出半径是25.12÷3.14÷2＝4（米），因为在圆形花台周围修一条2米宽的便道，那么可以知道这个便道是一个圆环，这个大圆的半径是4＋2＝6（米），小圆半径是4米，利用圆环面积公式：π×（R2－r2）代入数即可，求出圆环的面积后再乘160得出的结果和10000元比较下，看是否足够。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 4＋2＝6（米） 3.14×（6×6－4×4）×160 ＝3.14×（36－16）×160 ＝3.14×20×160 ＝62.8×160 ＝10048（元） 10048＞10000 答：政府给的这些钱不够修这条便道。 【点睛】本题主要考查圆环的面积公式，熟练掌握圆环的面积公式并灵活运用。 27．如图，面积是12.56平方厘米 【分析】由圆的面积公式的推导过程可知，长方形的周长比圆的周长多2个圆的半径，由“长方形的周长比圆的周长多4厘米”即可求出圆的半径；以任意一点为圆心，以求出的半径为半径即可画出需要的圆，进而依据圆的面积公式即可求解． 【详解】4÷2=2（厘米）， 以O为圆心，以2厘米为半径画圆（如下图）； 3.14×22=12.56（平方厘米）； 答：这个圆的面积是12.56平方厘米． 28．（1）18840平方米 （2）9分 【分析】（1）由图示及题意可知：这个近似于圆形的湖的半径可表示为：60＋40÷2，湖心的小岛的半径可表示为：40÷2，则要求湖水的面积可套用环形面积公式来计算：3.14×（40÷2＋60）2－3.14×（40 ÷2）2； （2）因为圆形的湖的半径可表示为60＋40÷2，所以可直接套用圆的周长公式来计算湖的周长，再除以丽丽的步行速度，可得时间：2×3.14×（60＋40÷2）÷60，记得得数要用进一法保留整数。 【详解】（1）3.14×（40÷2＋60）2－3.14×（40÷2）2 ＝3.14×802－3.14×202 ＝3.14×6000 ＝18840（平方米） 答：这个湖的水面面积是18840平方米。 （2）2×3.14×（60＋40÷2）÷60 ＝3.14×160÷60 ＝ ≈9（分） 答：她绕湖一周大约要用9分。 【点睛】（1）我们需要将图示的信息加工成可以利用的条件，再套用公式计算； （2）如果用“去尾法”保留整数，是不可能按时走完湖的一周的，所以要用“进一法”。 29．如图 【详解】试题分析：（1）画出把图M按2：1的比放大后的图形，就是把图M的各边的长度扩大到原来的2倍，然后以扩大后的边长为边长画出图N； （2）画出把图M绕点B逆时针旋转90°后的图形，点B的位置不变，把图M的各边均绕点B逆时针旋转90°，即可画出，如图M′； （3）在A点南偏东45°方向画一个直径为4厘米的圆，先在点A的东南（东偏南45°）方向上确定圆心O，然后以点O为圆心，以4厘米为直径画圆． 解：画图如下： 故答案为 点评：本题考查的知识点有：图形的放大与缩小、作旋转一定角度后的图形、根据方向和距离确定圆心、根据直径画圆等． 30．我是这样想的：把原图转化成圆是正方形内接圆，由空白小正方形的面积求出大正方形的面积，正方形的边长就是圆的直径，根据圆的面积公式求出圆的面积，阴影部分的面积占圆的面积的，根据分数乘法的意义求出阴影部分的面积； 37.68平方厘米 【分析】把原图转化成下面图形（如图所示），圆是正方形内接圆，空白部分正方形面积是16平方厘米，则大正方形的面积是16×4＝64平方厘米，大正方形的边长即是圆的直径，长8厘米，圆的半径是8÷2＝4厘米。圆的面积：3.14×42＝50.24平方厘米，阴影部分的面积：50.24×＝37.68平方厘米；据此解答。 【详解】把原图转化成圆是正方形内接圆，由空白小正方形的面积求出大正方形的面积，正方形的边长就是圆的直径，根据圆的面积公式求出圆的面积，阴影部分的面积占圆的面积的，根据分数乘法的意义求出阴影部分的面积。 大正方形的面积：16×4＝64（平方厘米）， 8×8＝64（平方厘米），即大正方形的边长（圆的直径）是8厘米， 3.14×（8÷2）2× ＝3.14×16× ＝37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是求出圆的半径，再根据圆的面积公式解答。 31．不公平 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长＝πd，分别求出正方形和圆形的周长路线，再比较即可。 【详解】100×4＝400（米） 3.14×100＝314（米） 400＞314 答：不公平因为直径为100米的圆形周长小于边长为100米的正方形周长，路线不相等。 【点睛】本题考查了正方形周长公式和圆周长公式的灵活应用。 32．17.885平方厘米 【详解】试题分析：把阴影分为三部分，第一部阴影的面积分半径为6厘米的个圆的面积减去等腰直角三角形底是6厘米，高是6厘米的三角形的面积，第二部分阴影的面积为半径为5厘米的个的圆的面积减去三角形的面积，三角形的底和高都为5厘米，第三部分阴影的面积底是6﹣5=1厘米，高是6﹣5=1厘米的三角形的面积．据此解答即可． 解：第一部阴影的面积： 3.14×62×﹣6×6×， =28.26﹣18， =10.26（平方厘米）， 第二部分阴影的面积： 3.14×52×﹣5×5×， =19.625﹣12.5， =7.125（平方厘米）， 第三部分阴影的面积：1×1÷2=0.5（平方厘米）， 阴影的面积：10.26+7.125+0.5=17.885（平方厘米）． 答：阴影部分面积17.885平方厘米． 点评：此题考查组合图形的面积，解决此题的关键是把阴影分为三部分，然后把三部分和在一起． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$