[新知预习衔接]完美的图形——圆(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学青岛版

完美的图形-圆 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 模块一 知识梳理 知识点1．圆、圆环的面积 【知识点归纳】 圆的面积公式： S=πr2 圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式： S=πr22-πr12=π（r22-r12） 知识点2．圆、圆环的周长 【知识点归纳】 圆的周长=πd=2πr， 半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即； 半圆周长=πr+2r． 圆环的周长等于两个圆的周长，即： 圆环的周长=πd1+πd2=2πr1+2πr2． 知识点3．圆及其性质 【知识点归纳】 1、 定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。 性质： 1、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 2．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 3、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。 知识点4．扇形的认识 【知识点归纳】 一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。 扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。 弧长=圆心角度数/360°×2×圆周率×半径 知识点5．画圆 【知识点归纳】 圆规画圆步骤： 1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离； 2、把有针尖的一只脚固定在一点上； 3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周． 知识点6．不规则图形周长求解 【知识点归纳】 一个图形一周的长度叫做周长。 1：针对规则图形，根据长方形周长公式计算。 2：针对不规则图形，如果每个边都能计算出来，我们就把每个边逐个相加。 3：针对不规则图形，也可以通过线段的平移转化为规则图形，或者每个边都能计算的图形。 【注意事项】 对于不规则图形求周长，没有固定的公式可以用，有些可以分割成几个规则图形，更多的是需要用到平移的方法。有不少不规则的图形经过平移后，大家会发现变成了规则的长方形或正方形直接套用周长公式即可。当然有些会复杂一些，平移之后，有些会比正常的规则图形还多出来一部分，这个要特别留意。 模块二 典例分析 【典例1】有一张圆桌，直径是12分米。现在要给这张圆桌配上一块桌布，圆桌铺上桌布后，四周要均匀垂下3分米，这块桌布的面积是多少平方分米？ 【答案】 254.34平方分米 【分析】由题意可知：桌布的直径比圆桌的直径长3＋3＝6分米，由此得出桌布的直径，带入圆的面积公式即可求出桌布的面积。 【详解】12＋3＋3＝18（分米） 3.14×（18÷2）2 ＝3.14×81 ＝254.34（平方分米） 答：这块桌布的面积是254.34平方分米。 【点评】本题主要考查圆的面积公式的实际应用，求出桌布的直径是解题的关键。 【典例2】游乐园中有一个近似于圆形的湖，如图。如果丽丽每分钟步行60米，她绕湖一周大约用多长时间？ 【答案】9.42分 【分析】圆的周长＝2πr，据此求出湖的周长，再除以丽丽的速度即可求出她绕湖一周大约用多长时间。 【详解】90×2×3.14÷60 ＝565.2÷60 ＝9.42（分） 答：她绕湖一周大约用9.42分。 【点评】根据圆的周长公式求出湖的周长，即是丽丽绕湖一周所走的路程。 时间＝路程÷速度。 【典例3】在花卉博览会上，把一个直径为10米的圆形展区的半径向外延伸2米变成一个新的圆形展区（如图）。 （1）新展区的面积比原来增加了多少平方米？ （2）新展区圆周外围每隔3.14米安装1盏装饰灯，需要多少盏装饰灯？ 【答案】（1）75.36平方米； （2）14盏 【分析】（1）依据圆的面积公式，先求出扩宽后大圆的面积；接下来用大圆面积减去小圆面积，即可求出圆环面积； （2）根据在封闭图形上的植树问题，栽树的棵数＝间隔数，用新展区圆周外围周长除以3.14求得一共需要安装多少盏装饰灯。 【详解】（1）10÷2＝5（米） 3.14×（5＋2）2－3.14×52 ＝3.14×49－3.14×25 ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：新展区的面积比原来增加了75.36平方米。 （2）3.14×（10＋2＋2）÷3.14 ＝3.14×14÷3.14 ＝14（盏） 答：需要14盏装饰灯。 【点评】本题考查了圆环面积的计算以及在封闭图形上的植树问题，知识点是：“环形的面积＝大圆的面积－小圆的面积”，“栽树的棵数＝间隔数”。 【典例4】如下图，地面上平躺着一个半径为0.5米的球。如果要将这个球滚到墙边，需要转动几圈？ 【答案】5圈 【分析】根据圆的周长＝2πr，求出球的周长，用滚动距离÷周长即可。 【详解】（16.2－0.5）÷（2×3.14×0.5） ＝15.7÷3.14 ＝5（圈） 答：需要转动5圈。 【点评】明确滚动的总路程是（16.2－0.5）米是解决本题的关键。 【典例5】光明小学计划将原来操场的水泥跑道改成塑胶跑道，已知相关的跑道数据（如图）。请你算一算要铺设的塑胶跑道面积是多少？ 【答案】4112平方米 【分析】由图可知，跑道的面积就是一个圆环的面积与两个长方形的面积之和；其中圆环内圆半径是35米，外圆的半径是35＋10＝45（米），长方形的长是80米，宽是10米，据此解答。 【详解】 ＝2025×3.14－1225×3.14＋1600 ＝2512＋1600 ＝4112（平方米） 答：铺设的塑胶跑道面积是4112平方米。 【点评】此题考查了组合图形的面积计算，找出所求面积包含哪几个部分是解题关键。 模块三 高频考题 1．小明的妈妈是一名设计师，有一天在家中设计了下面的一幅图。图被小明发现了，于是妈妈想考考小明。妈妈说：“图中圆与长方形的面积相等。长方形的长是6.28米，阴影部分的面积你知道是多少吗？” 2．下图是光明小学操场的跑道，内圈直径为73米，跑道宽为1米。 （1）跑道的内圈一周是多少米？ （2）王冰和张奇参加200米短跑比赛，且只跑一个弯道，两人起跑位置如图所示。请思考并计算，王冰的起跑线应在张奇起跑线前多少米？ 3．“五育并举”学校趣味运动会开始啦！其中滚铁环是小朋友特别喜欢玩的项目。六年级一班的墩墩和融融正在比赛滚铁环，已知铁环半径15厘米，如果铁环滚出50米，至少需要滚多少圈？ 4．如图是双人花样滑冰运动员中男运动员拉着女运动员做圆周运动的精彩画面。女运动员的冰鞋滑过一周是多少米？所画圆的面积是多少平方米？ 5．“围树座椅”是一种个保卫树的休闲改施，可以给市民提供休闲和娱乐的场所。白浪河公园有一种“围树座椅”，形状如图： （1）这种“围树座椅”的面积是多少平方米？ （2）如果游人沿座椅外沿落座，每人约占50厘米，这个座椅大约能坐几人？（结果保留整数） 6．一个依墙而建的鸡舍成半圆形，其直径为5米。 （1）需要多长的篱笆？ （2）如果将鸡舍的直径增加2米，需要增加多长的篱笆？ 7．元旦期间，张红用圆规画了心形祝福卡设计图（如下图），她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线。现有35厘米长的金丝线，贴一圈够用吗？ 8．王庄村修建了一个圆形水池，并在水池外沿铺了一条宽1米的石子小路，然后在小路外沿一周种了20棵树，每两棵树间隔3.14米，这个水池的半径是多少米？石子小路占地多少平方米？ 9．富华游乐园新建了一个圆形旋转木马，旋转木马设施的直径是12米，在周边还要留出1米宽的小路，并在小路外侧围上一圈栏杆。 （1）这条小路的面积是多少平方米？ （2）这圈围栏的长度是多少米？ 10．某新建小区内有一个直径6米的圆形花坛（如图），花坛周围有一条宽1米的甬路。物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花。三种花的种植面积各是多少？ 11．节假日里，小华在小区的广场坚持长跑，广场中央的圆形喷水池的直径是20米，在水池的周围修一条宽10米的环形水泥路（如下图）。如果在水泥路的外边上每隔31.4米设置供游人休息的椅子，需要设置几个？ 12．李明同学经过细心观察，发现不同车上的雨刷形状并不都是一样的。某款车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，李明测量了一下，这款车上雨刷摆臂长度50厘米，胶条长度30厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 13．5G网络是第五代移动通信网络，5G技术为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革。一个5G基站的覆盖面近似一个圆，覆盖半径大约为0.5千米。 结合上面信息，请提出一个数学问题，并解答。 所提问题： 解答： 14．画一画，写一写。 （1）用圆规在下面的正方形里面画一个最大的圆，并写出画圆的主要步骤。（正方形边长2厘米） 步骤： （2）根据画好后的图形，请提出两个与圆和正方形相关的结论。 结论1： 结论2： 15．丽丽家钟表的时针长12厘米，分针长18厘米。 （1）爸爸工作了8小时，时针扫过的面积是多少？ （2）丽丽是光明小学六（一）班学生，她上一节课，分针尖端走过的路程的是多少厘米？（一节课40分钟） 16．北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，它是一道圆形的围墙，墙体坚硬光滑，是声波的良好反射体，又因圆周曲率准确，声波可沿墙内面连续反射，向前传播，它的圆形围墙直径大约为66米，请你算一算它的面积是多少。（π取3.1） 17．“中国天眼”是目前世界上最大的单口径球面射电望远镜，它为人类探索宇宙奥秘迈进了坚实的一步。为了更好地接收外太空信号，科学家在“中国天眼”中心外侧600米直径的圆周上，建造了6座均匀布置的不同高度的馈源塔，每两座馈源塔之间的弧线距离为多少米？ 18．太极图是中华文化的象征，它展现了一种互相转化，相对统一的形式美后来又发展成中国民族图案所特有的“美”的结构。你能根据图中的信息求出阴影部分的面积吗？ 19．李家村为了灌溉农田的需要，修建了一个直径是8米的圆形水池，并在水池外沿铺了一条宽1米的石子路。    （1）石子小路占地多少平方米？ （2）在小路的外沿一周种柳树，每两棵树之间的间隔是3.14米，能够种多少棵柳树？ 20．妈妈骑自行车上班，车轮的直径是0.6米，如果平均每分钟转100周，妈妈从家到单位的路程是9千米。照这样的速度，50分钟能骑到单位吗？ 21．有一栋底面呈长方形的建筑物（如图），墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。栓狗的绳长6m，和建筑物宽相等，请在图上以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），并计算出面积。      22．小迪想知道餐厅巨柱的横截面积，于是用一根绳子，在巨柱上绕了1圈，量得绳长62.8米。巨柱的横截面积是多少平方米？    23．为美化环境、准备在公园半径是8米的圆形花坛外围铺一条2米宽的环形小路。 （1）这条小路的面积是多少平方米？ （2）沿小路的外围铺一圈鹅卵石，大约是多少米？ 24．游乐园中有一个近似于圆形的人工湖，湖心有一个圆形的小岛（如下图）。                             （1）这个湖的水面面积是多少平方米？ （2）如果乐乐每分钟步行60米，他绕湖一周需要多少分钟？ 25．广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路。 （1）这条水泥路的面积是多少平方米？ （2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 26．有一个直径20米的圆形水池，扩建后半径增加了2米。扩建后这个水池的面积增加了多少平方米？ 27．学校中心广场有一个直径是6米的圆形花坛。为美化校园，把这个花坛进行了扩建，扩建后花坛的直径与原来的比是5∶3，扩建后花坛的面积是多少？ 28．两名运动员分别沿着边长为100米的正方形和直径为100米的圆形路线骑车比赛，这样的比赛公平吗？（通过计算说明） 29．如图，一个正方形的花坛，边长是10米，阴影部分是一座假山，现在想要在假山的周围建造一层篱笆，求篱笆的长度是多少米？ 30．同学们，本学期我们学习了圆的周长计算方法，请你把探究的过程描述出来。在探究的过程中运用了什么数学思想方法？ 31．有一块菜地由一个正方形和一个半圆形组成（如图），求这块菜地的面积和外围一周的周长。 32．青岛中山公园有一个圆形喷水池，直径是18米。水池的周围铺了一条2米宽的石子小路，这条小路的面积是多少平方米？ 33．一头小牛被主人用10米长的绳子拴在一块长25米，宽20米的长方形草地中央的木桩上。小牛看着茂盛的草地想：“太好了，我一定要把草吃完。”小牛真可以吃到草地上所有草吗？如果吃不完所有的草，小牛还差多少平方米草吃不到呢？ 34．小丽家的餐桌是圆形的，小丽妈妈给餐桌配上一块圆形桌布，桌布对折一次后，量得直边长1.6米，已知桌子面的直径是1.2米，这块桌布铺在桌子上（桌面被桌布全部盖住），垂在桌面外部的部分的面积有多大？ 35．为了美化校园，需要在墙上画一幅画，画的边框需要装饰条。（如下图） （1）需要装饰条多少米？ （2）这幅画的面积是多少平方米？ 36．王大爷家的养鸡场，一面靠墙，另一面用篱笆围成一个半圆，篱笆长62.8米。占用了多少长度的墙体？ 37．一辆自行车轮胎的外直径约是75厘米，如果平均每分钟转100周。通过一座长1000米的桥，大约需要几分钟？（得数保留整数） 38．一个圆形花坛的周长是25.12米。绕它周围在外沿修一条宽1米的小路。求小路的面积。 39．给一个直径是7.5分米的水缸做一个木盖，木盖的直径比水缸直径大5厘米，木盖的面积是多少平方厘米？如果给木盖的外沿，钉上一条宽1厘米的铁皮，铁皮的面积是多少平方厘米？ 40．公园里有一个圆形荷花池，直径为16米。在它的周围建一条1米宽的环形石子路。 （1）这条环形石子路外沿的周长是多少米？ （2）这条石子路的面积是多少平方米？ 41．一个环形机器零件，外圆半径为10厘米，内圆半径为8厘米，这个环形机器零件的面积是多少平方厘米？ 42．王伯伯承包了一个半径为50米的圆形鱼塘，鱼塘中心有一个直径为20米的圆形小岛。 （1）这个鱼塘能够养鱼的水面面积是多少平方米？ （2）王伯伯每分钟步行50米，他绕鱼塘一周要用多长时间？ 43．校园里有一个半径为10米的圆形景观喷水池，要在外围修一条宽1米的环形花带。这条花带的面积是多少平方米？（得数保留整数）如果每平方米种花30株，每株花的成本是5元。修这条花带共需要投资多少元？ 44．如图，将一个圆等分成许多份，再改拼成一个近似的长方形，已知这个长方形的周长比圆的周长大6分米，这个圆的面积是多少平方分米？ 45．如图，新阳小区为了方便居民活动，在小区圆形喷水池的四周围修建了一条宽5米的小路。这条小路的面积是多少平方米？ 46．潍坊市某十字路口修一个直径为30m的圆形转盘，修好后要在转盘的空地上进行绿化，分割区域如下图。 其中，在中心处划分出一个半径为5m的圆，用来种月季，内圆之外又被分成了四部分，A和D两部分种万寿菊，B和C两部分种矮牵牛。 （1）种月季的面积是多少平方米？ （2）种万寿菊的面积是多少平方米？ 47．如图，王伯伯靠墙用篱笆围了一个直径为6米的半圆形鸡舍。由于扩大了养鸡规模，他想把鸡舍的直径增加2米，鸡舍的面积将比之前增加多少平方米？ 48．福建土楼是中国传统民居建筑，2008年被列为《世界文化遗产》。其中最有特色的是圆形“土楼”。楼顶近似环形，如图所示，已知土楼内侧直径为20米，楼顶宽10米。 （1）如果要重新装修楼顶，需要多少平方米的砖瓦？ （2）为了迎接新年，要在楼顶外边缘每隔3.14米挂一个灯笼，一共需要多少个灯笼？ 49．我国建筑中经常能见到“外圆内方”的设计。下图中圆的直径是4米，你能求出圆和正方形之间空白部分的面积吗？ 50．一个底面是圆形的蒙古包，量得它的底面直径是8米，它的占地面积是多少平方米？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 模块四 答案分析 1．9.42平方米 【分析】观察图形可知，圆的半径等于长方形的宽。图中圆与长方形的面积相等，设圆的半径是r米，根据圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽，可得：3.14r2＝6.28r，根据等式的性质解出方程，求出圆的半径和长方形的宽。阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积÷4，据此解答。 【详解】解：设圆的半径是r米。 3.14r2＝6.28r 3.14r2÷r＝6.28r÷r 3.14r＝6.28 r＝6.28÷3.14 r＝2 6.28×2－3.14×22÷4 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方米） 答：阴影部分的面积是9.42平方米。 2．（1）400米 （2）6.28米 【分析】（1）看图可知，两侧弯道可以拼成一个完整的圆，跑道内圈包括一个完整的圆和长方形的两条长，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式解答。 （2）直道长度一样，求出弯道的长度差就是两人起跑线的差距，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×73＋85.39×2 ＝229.22＋170.78 ＝400（米） 答：跑道的内圈一周是400米。 （2）73＋1×2 ＝73＋2 ＝75（米） 3.14×75－3.14×73 ＝3.14×（75－73） ＝3.14×2 ＝6.28（米） 答：王冰的起跑线应在张奇起跑线前6.28米。 3．54圈 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出铁环滚1圈的距离，根据1米＝100厘米，统一单位，滚出的距离÷滚1圈的距离＝滚的圈数，结果用进一法保留近似数，据此列式解答。 【详解】（厘米）   50米厘米   （圈） 答：至少需要滚54圈。 4．9.42米；7.065平方米 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】2×3.14×1.5＝9.42（米） 3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 答：女运动员的冰鞋滑过一周是9.42米，所画圆的面积是7.065平方米。 5．（1）9.42平方米 （2）25人 【分析】（1）这种“围树座椅”的面积是直径4米的大圆面积减去直径2米的小圆的面积，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），据此解答。 （2）用直径4米的大圆的周长除以每人占用的长度即可算出这个座椅能坐几人，根据实际情况，结果采用去尾法，保留整数，注意计算前先统一单位。 【详解】（1）大圆的半径：4÷2＝2（米） 小圆的半径：2÷2＝1（米） “围树座椅”的面积： 3.14×（22－12） ＝3.14×3 ＝9.42（平方米） 答：这种“围树座椅”的面积是9.42平方米。 （2）50厘米＝0.5米 3.14×4÷0.5 ＝12.56÷0.5 ≈25（人） 答：这个座椅大约能坐25人。 6．（1）7.85米 （2）3.14米 【分析】（1）根据题意，依墙而建的鸡舍围成的半圆，所用的篱笆的长度即为直径是5米的圆的周长一半，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，求出周长再除以2，即可求出需要的篱笆，代入数据，即可解答； （2）如果将鸡舍的直径增加2米，直径变为5＋2＝7米，再根据圆的周长公式，求出直径增加2米后圆的周长，再除以2，求出需要篱笆的长度，再减去直径是5米的鸡舍需要篱笆的长度，即可解答。 【详解】（1）3.14×5÷2 ＝15.7÷2 ＝7.85（米） 答：需要7.85米篱笆。 （2）3.14×（5＋2）÷2－7.85 ＝3.14×7÷2－7.85 ＝21.98÷2－7.85 ＝10.99－7.85 ＝3.14（米） 答：需要增加3.14米的篱笆。 7．不够 【分析】观察图形可知，“心形”边线的周长等于2个半径为3厘米圆的周长；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出“心形”边线的周长，再与35厘米比较大小，得出结论。 【详解】3×2＝6（厘米） 3.14×6×2＝37.68（厘米） 35＜37.68 答：贴一圈不够用。 8．9米；59.66平方米 【分析】在封闭曲线上植树，间隔数＝棵数，用两棵树间隔乘种树的棵数，求出小路的外圆的周长；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出外圆的半径，再用外圆半径减去石子小路的宽，即可求出这个水池的半径； 求石子小路占地面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】3.14×20÷3.14÷2 ＝62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 10－1＝9（米） 3.14×（102－92） ＝3.14×（100－81） ＝3.14×19 ＝59.66（平方米） 答：这个水池的半径是9米，石子小路占地59.66平方米。 9．（1）40.82平方米 （2）43.96米 【分析】（1）求小路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答； （2）求这圈围栏的长度，就是求这个大圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）12÷2＝6（米）   6＋1＝7（米） ＝3.14×（72－62） ＝3.14×（49－36） ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 答：这条小路的面积是40.82平方米。 （2）3.14×7×2 ＝21.98×2 ＝43.96（米） 答：这圈围栏的长度是43.96米。 10．6.28平方米；9.42平方米；12.56平方米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出花坛的面积；物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花，即种植野菊的面积占花坛的面积的，种植郁金香的面积占花坛的面积的，种植月季的面积占花坛的面积的，然后根据分数乘法的意义，分别求出三种花的种植面积各是多少。 【详解】 ＝ ＝ ＝28.26（平方米） ＝ ＝6.28（平方米） ＝ ＝9.42（平方米） ＝ ＝12.56（平方米） 答：野菊、郁金香和月季种植面积分别是6.28平方米、9.42平方米和12.56平方米。 11．4个 【分析】先根据，用20÷2求出圆形水池的半径（内圆半径）为10米；再用内圆半径加环宽求出外圆半径，即10＋10＝20（米）；再根据，用2×3.14×20求出水泥路的外边的长是125.6米。 在一条首尾相接的封闭曲线上植树问题的规律：棵数＝间隔数＝总距离÷株距。据此用水泥路的外边的长除以两个椅子间的长度，可求出需要设置的椅子的个数，列式为125.6÷31.4。 【详解】内圆半径：20÷2＝10（米） 外圆半径：10＋10＝20（米） 2×3.14×20＝125.6（米） 125.6÷31.4＝4（个） 答：需要设置4个。 12．3297平方厘米 【分析】由图可知，内圆半径是50－30＝20（厘米），外圆半径为50厘米，整个圆环的面积为3.14×（502－202），再除以2即可解答。 【详解】50－30＝20（厘米） 3.14×（502－202）÷2 ＝3.14×（2500－400）÷2 ＝3.14×2100÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是3297平方厘米。 13．一个5G基站的覆盖面积大约是多少平方千米？0.785平方千米 【分析】根据题意，一个5G基站的覆盖面近似一个圆，覆盖半径大约为0.5千米。可以提一个数学问题，这个5G的基站的覆盖面积大约多少平方千米（答案不唯一）？再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】一个5G基站的覆盖面积大约是多少平方千米？ 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方千米） 答：一个5G基站的覆盖面积大约是0.785平方千米。 14．见详解 【分析】（1）先画出正方形的两条对角线，找出相交的点（即圆心）；然后将圆规在圆心处固定，以正方形边长的一半长为半径画圆即可； （2）由（1）可知，圆的直径相当于正方形的边长；根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，据此分别求出正方形和圆的面积，进而求得正方形的面积与圆的面积的比。 【详解】（1）如图： 步骤：先画出正方形的两条对角线，找出相交的点（即圆心）；然后将圆规在圆心处固定，以正方形边长的一半长为半径画圆即可。 （2）结论1：圆的直径等于正方形的边长； 结论2：2×2＝4（平方厘米） （2÷2）2π ＝12π ＝π（平方厘米） 则正方形的面积与圆的面积比为4∶π。 15．（1）301.44平方厘米 （2）75.36厘米 【分析】（1）时针走一圈是12小时，则爸爸工作了8小时，时针扫过的面积是半径为12厘米圆的面积的8÷12＝，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆的面积，再乘即可； （2）分针走一圈是60分，一节课的时间是40分，则一节课的时间分针尖端走过的路程是半径为18厘米圆的周长的40÷60＝，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的周长，再乘即可。 【详解】（1）3.14×122×（8÷12） ＝3.14×144× ＝452.16× ＝301.44（平方厘米） 答：时针扫过的面积是301.44平方厘米。 （2）3.14×18×2×（40÷60） ＝56.52×2× ＝113.04× ＝75.36（厘米） 答：分针尖端走过的路程的是75.36厘米。 16．3375.9平方米 【分析】根据圆的半径＝直径÷2，求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】（米） ＝3.1×1089 ＝3375.9（平方米） 答：它的面积是3375.9平方米。 17．314米 【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×600即可求出“中国天眼”中心外侧的圆周长，圆周上建造了6座均匀布置的不同高度的馈源塔，也就是把圆周长平均分成6份，求每份的长度是多少，用3.14×600÷6即可求出每两座馈源塔之间的弧线距离。 【详解】3.14×600÷6＝314（米） 答：每两座馈源塔之间的弧线距离为314米。 18．0.1413平方米 【分析】图中整体是一个直径为0.6米的圆，其中阴影部分和空白部分形状相同、面积相等，即阴影部分面积是圆面积的一半，先求出圆的面积再除以2即可。 【详解】半径：0.6÷2＝0.3（米） 圆面积：3.14× ＝3.14×0.09 ＝0.2826（平方米） 阴影部分面积：0.2826÷2＝0.1413（平方米） 答：阴影部分的面积是0.1413平方米。 19．（1）28.26平方米； （2）10棵 【分析】（1）石子路是一个大圆半径是（8÷2＋1）米、小圆半径是（8÷2）米的圆环，根据圆环的面积“”，即可求出石子路的面积。 （2）根据圆的周长公式为：，计算出小路外沿一周的长度，又：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，棵数＝间隔数＝总长度÷间隔长度；据此解题即可。 【详解】（1）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：石子小路占地28.26平方米。 （2）3.14×5×2÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（棵） 答：能够种10棵柳树。 【点评】本题考查了圆环面积公式的应用、植树问题的解题方法，关键是熟记公式。 20．能 【分析】车轮转动一周行驶的路程等于车轮的周长，利用“”求出车轮每分钟行驶的路程，再根据“路程＝速度×时间”求出50分钟行驶的路程，最后和9千米比较大小，据此解答。 【详解】3.14×0.6×100 ＝1.884×100 ＝188.4（米） 188.4×50＝9420（米） 9千米＝9000米 因为9420米＞9000米，所以50分钟能到单位。 答：50分钟能骑到单位。 【点评】掌握圆的周长计算公式和路程、时间、速度之间的关系是解答题目的关键。 21．图见详解；84.78平方米 【分析】以点A为圆心，这个长方形的宽为半径画圆；狗的活动面积是以A为圆心，以6米为半径的圆的面积；再再根据圆的面积公式：，解题即可。 【详解】以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），如下：    3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝84.78（平方米） 答：这只狗的活动区域的面积是84.78平方米。 【点评】此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键。 22．314平方米 【分析】绳长62.8米，即圆的周长为62.8米，根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据求出巨柱的横截面积。 【详解】62.8÷2÷3.14＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×10×10 ＝314（平方米） 答：巨柱的横截面积是314平方米。 【点评】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式求解。 23．（1）113.04平方米；（2）62.8米 【分析】（1）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），用[（8＋2）2－82]×3.14即可求出小路的面积即可； （2）根据圆周长公式：C＝2πr，用2×3.14×（8＋2）即可求出铺一圈鹅卵石的长度。 【详解】（1）[（8＋2）2－82]×3.14 ＝[102－82]×3.14 ＝[100－64]×3.14 ＝36×3.14 ＝113.04（平方米） 答：这条小路的面积是113.04平方米。 （2）2×3.14×（8＋2） ＝2×3.14×10 ＝62.8（米） 答：沿小路的外围铺一圈鹅卵石，大约是62.8米。 【点评】本题考查的是圆环的面积公式和圆周长公式的应用，明确大圆和小圆的半径是解题的关键。 24．（1）18840平方米；（2）分钟 【分析】（1）湖的水面面积相当于一个圆环的面积，圆环的内圆直径是40米，内圆半径是40÷2＝20米，外圆半径＝内圆半径＋环宽＝20＋60＝80米，圆环的面积＝πR2－πr2。 （2）先求出人工湖的周长，圆的周长＝2πr，再用周长除以他每分钟的速度即可求出绕湖一周的时间。 【详解】（1）40÷2＝20（米） 20＋60＝80（米） 3.14×802－3.14×202 ＝3.14×（6400－400） ＝3.14×6000 ＝18840（平方米） 答：这个湖水的面积是18840平方米。 （2）2×3.14×80÷60 ＝6.28×80÷60 ＝502.4÷60 ＝ （分钟） 答：乐乐绕湖一周需要分钟。 【点评】此题考查圆环的面积公式以及圆的周长的求法，明确大圆半径和小圆半径的关系是解题的关键。 25．（1）942平方米 （2）4把 【分析】（1）求水泥路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可； （2）根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出水泥路外沿的长度，则根据植树问题，椅子的把数＝水泥路外沿的长度÷间隔长度，据此解答即可。 【详解】（1）3.14×[（20÷2＋10）2－（20÷2）2] ＝3.14×[400－100] ＝3.14×300 ＝942（平方米） 答：这条水泥路的面积是942平方米。 （2）3.14×（20＋10×2）÷31.4 ＝3.14×40÷31.4 ＝125.6÷31.4 ＝4（把） 答：需要4把椅子。 【点评】本题考查圆环的面积和圆的周长，熟记公式是解题的关键。 26．138.16平方米 【分析】先根据：圆的面积＝πr2，求出原来的水池面积，再求出扩建后的面积，用扩建后的面积减原来的面积即可。 【详解】原来的半径：20÷2＝10（米） 扩建后的半径：10＋2＝12（米） 12×12×3.14－10×10×3.14 ＝144×3.14－100×3.14 ＝（144－100）×3.14 ＝44×3.14 ＝138.16（平方米） 答：扩建后这个水池的面积增加了138.16平方米。 【点评】此题考查了圆的面积计算，关键熟记公式。 27．78.5平方米 【分析】由“扩建后花坛的直径与原来的比是5∶3”可知：扩建后的直径是原来直径的，用原来的直径乘从而可以求出扩建后的直径，再利用圆的面积公式进而可以求出扩建前后花坛的面积。 【详解】6×＝10（米） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：扩建后花坛的面积是78.5平方米。 【点评】解答此题的关键是利用直径比求出扩建后的直径后，再通过圆的面积公式得解。 28．不公平 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长＝πd，分别求出正方形和圆形的周长路线，再比较即可。 【详解】100×4＝400（米） 3.14×100＝314（米） 400＞314 答：不公平因为直径为100米的圆形周长小于边长为100米的正方形周长，路线不相等。 【点评】本题考查了正方形周长公式和圆周长公式的灵活应用。 29．31.4米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长是由2条半径是10米的圆周长的，根据圆周长公式：C＝2πr，用2×3.14×10××2即可求出阴影部分的周长。 【详解】2×3.14×10××2 ＝3.14×10 ＝31.4（米） 答：篱笆的长度是31.4米。 【点评】本题考查了圆周长公式的灵活应用，关键是判断阴影部分的周长是由哪部分组成。 30．过程见详解；转化 【分析】圆的周长是围成圆的曲线的长度，先用滚动法把曲线转化为直线，再测量出线段的长度，根据测量结果分析出圆的周长与直径的关系，最后得出圆的周长公式为“”或“”，据此解答。 【详解】 如图所示，找一些圆形的物品，把圆形物品在直尺上滚动一圈，量出直尺上起点和终点之间的距离就是圆的周长，分别量出圆形物品的周长和直径，测量发现，圆的周长的大小与圆的直径有关，直径越大周长越大，直径越小周长越小，计算出周长和直径的比值，分析计算结果可知，一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母表示，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，如果用C表示圆的周长，那么圆的周长公式为“”或“”，此探究过程运用了转化的思想方法。 【点评】本题主要考查圆的周长计算公式，理解圆的周长与直径之间的关系是解答题目的关键。 31．面积：89.12平方米；周长：36.56米 【分析】（1）先根据圆的面积求出圆的面积，用圆的面积÷2求出半圆的面积；再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出正方形的面积；最后用“半圆的面积＋正方形的面积”求出这块菜地的面积。 （2）先根据圆的周长求出圆的周长，用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再用“圆周长的一半＋正方形的3条边长”求出这块菜地的周长。 【详解】面积：3.14×（8÷2）2÷2＋8×8 ＝3.14×42÷2＋64 ＝3.14×16÷2＋64 ＝50.24÷2＋64 ＝25.12＋64 ＝89.12（平方米） 周长：3.14×8÷2＋8×3 ＝25.12÷2＋24 ＝12.56＋24 ＝36.56（米） 答：这块菜地的面积是89.12平方米，外围一周的周长是36.56米。 【点评】明确圆的面积和周长计算公式是解决此题的关键。 32．125.6平方米 【分析】小路的形状是个圆环，确定大圆和小圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式解答即可。 【详解】18÷2＝9（米） 9＋2＝11（米） 3.14×（112－92） ＝3.14×（121－81） ＝3.14×40 ＝125.6（平方米） 答：这条小路的面积是125.6平方米。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 33．不能；186平方米 【分析】 如图，阴影部分的面积是小牛能吃到的面积，根据圆面积公式，用3.14×102即可求出小牛能吃到的面积，已知长方形草地的长25米，宽20米，根据长方形的面积公式，用25×20即可求出总草地的面积，再用长方形草地的面积减去小牛吃到的面积，即可求出没吃到的面积。 【详解】25×20＝500（平方米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314＜500 500－314＝186（平方米） 答：小牛不可以吃到草地上所有草；小牛还差186平方米草吃不到。 【点评】本题考查了圆面积公式的灵活应用。 34．0.8792平方米 【分析】垂在桌面外部的形状是个圆环，确定大圆和小圆的半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式计算即可。 【详解】1.6÷2＝0.8（米） 1.2÷2＝0.6（米） 3.14×（0.82－0.62） ＝3.14×（0.64－0.36） ＝3.14×0.28 ＝0.8792（平方米） 答：垂在桌面外部的部分的面积有0.8792平方米。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 35．（1）15.14米 （2）11.57平方米 【分析】（1）先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半。求装饰条的长度即求这幅画的周长，这幅画的周长＝圆周长的一半＋长方形的两条长＋长方形的一条宽。 （2）这幅画的面积＝半圆的面积＋长方形的面积。先根据圆的面积求出圆的面积，用圆的面积÷2求出半圆的面积；再根据“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的面积；最后把两者相加即可求出这幅画的面积。 【详解】（1）3.14×2÷2＋5×2＋2 ＝6.28÷2＋10＋2 ＝3.14＋10＋2 ＝15.14（米） 答：需要装饰条15.14米。 （2） ＝10＋3.14×÷2 ＝10＋3.14×1÷2 ＝10＋3.14÷2 ＝10＋1.57 ＝11.57（平方米） 答：这幅画的面积是11.57平方米。 【点评】计算组合图形的周长和面积时，要根据已知条件对图形进行分割，转化成已学过的简单图形。 36．40米 【分析】由于篱笆长62.8米，相当于半圆弧的长度，根据半圆弧的公式：C＝πd÷2，把数代入即可求出直径，也就是墙体的长度。 【详解】62.8×2÷3.14 ＝125.6÷3.14 ＝40（米） 答：占用了40米的墙体。 【点评】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 37．4分钟 【分析】先根据圆的周长求出自行车轮子的周长，即自行车轮子转1周走的长度；再求出转100周走的长度，即每分钟走的长度；最后再根据“路程÷速度＝时间”求出走1000米所用的时间。 【详解】75厘米＝0.75米 3.14×0.75＝2.355（米） 2.355×100＝235.5（米） 1000÷235.5≈4（分钟） 答：大约需要4分钟。 【点评】明确自行车轮子的周长就是轮子转1圈走的路程是解决此题的关键。 38．28.26平方米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，用25.12÷2÷3.14即可求出圆形花坛的半径，进而求出小路外圆的半径，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），求出小路的面积即可。 【详解】25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这条小路的面积是28.26平方米。 【点评】本题考查的是圆周长公式和圆环的面积公式的应用，明确大圆和小圆的半径是解题的关键。 39．5024平方厘米；254.34平方厘米 【分析】（1）根据题意，水缸的直径加上5厘米，就是木盖的直径，木盖是圆形，根据公式：S＝（d÷2）2π，代入数据计算出结果即可； （2）铁皮是一个环形，环宽是1厘米，小圆的半径是木盖的半径，大圆的半径是木盖的半径加环宽，根据公式：环形面积＝（R2－r2）π，将数据代入公式计算即可。 【详解】7.5分米＝75厘米 （75＋5）÷2 ＝80÷2 ＝40（厘米） 402×3.14 ＝1600×3.14 ＝5024（平方厘米） [（40＋1）2－402]×3.14 ＝[1681－1600] ×3.14 ＝81×3.14 ＝254.34（平方厘米） 答：木盖的面积是5024平方厘米，铁皮的面积是254.34平方厘米。 【点评】此题考查了圆形的面积以及环形的面积计算，关键熟记公式。 40．（1）56.52米； （2）53.38平方米 【分析】（1）先求出小圆的半径，大圆半径＝小圆半径＋环宽，再利用“”求出大圆的周长； （2）求石子路的面积就是求环形的面积，利用“”求出这条石子路的面积，据此解答。 【详解】（1）16÷2＝8（米） 2×3.14×（8＋1） ＝2×3.14×9 ＝6.28×9 ＝56.52（米） 答：这条环形石子路外沿的周长是56.52米。 （2）3.14×[（8＋1）2－82] ＝3.14×[92－82] ＝3.14×17 ＝53.38（平方米） 答：这条石子路的面积是53.38平方米。 【点评】掌握圆的周长和环形的面积计算公式是解答题目的关键。 41．113.04平方厘米 【分析】根据圆环面积＝π（R2－r2），列式解答即可。 【详解】3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 答：这个环形机器零件的面积是113.04平方厘米。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 42．（1）7536平方米； （2）6.28分钟 【分析】（1）根据题意，鱼塘能够养鱼的水面面积就是环形的面积。环形的外圆半径是50米，内圆半径是20÷2＝10（米），根据环形的面积＝π（R2－r2），代入数据计算即可解答。 （2）圆的周长＝2πr，据此求出王伯伯绕鱼塘一周要走多少米，再根据“路程÷速度＝时间”，用鱼塘的周长除以50即可求出他绕鱼塘一周要用多长时间。 【详解】（1）20÷2＝10（米） 3.14×（502－102） ＝3.14×2400 ＝7536（平方米） 答：这个鱼塘能够养鱼的水面面积是7536平方米。 （2）50×2×3.14÷50 ＝314÷50 ＝6.28（分钟） 答：他绕鱼塘一周要用6.28分钟。 【点评】本题考查了环形的面积、圆的周长和行程问题的应用。熟练掌握环形面积和圆的周长公式是解题的关键。 43．66平方米；9900元 【分析】根据求环形面积的公式，外圆面积－内圆面积＝环形面积，已知内圆半径是10米，环宽是1米，先求出外圆半径，再利用环形面积公式解答，然后用环形花带的面积每平方米的投资，就是问题的答案。 【详解】10＋1＝11（米） ＝3.14×121－3.14×100 ＝379.94－314 ≈66（平方米） 66×30×5 ＝1980×5 ＝9900（元） 答：这条花带的面积是66平方米；修这条花带共需要投资9900元。 【点评】此题主要考查学生对圆环面积的理解与实际应用，根据公式，代数解答即可。 44．28.26平方分米 【分析】观察图形可知，拼成的长方形的2条长等于圆的周长，则长方形的周长比圆的周长多了2条宽，也就是圆的2条半径，据此用6除以2即可求出圆的半径。圆的面积＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】6÷2＝3（分米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 答：这个圆的面积是28.26平方分米。 【点评】理解“长方形的周长比圆的周长多圆的2条半径”，据此求出圆的半径是解题的关键。 45．392.5平方米 【分析】先分别求出外圆和内圆的半径，然后根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），求出小路的面积即可。 【详解】r：20÷2＝10（米） R：10＋5＝15（米） 3.14×（152－102） ＝3.14×（225－100） ＝3.14×125 ＝392.5（平方米） 答：这条小路的面积是392.5平方米。 【点评】本题考查的是圆环的面积公式的应用，明确大圆和小圆的半径是解题的关键。 46．（1）78.5平方米 （2）314平方米 【分析】（1）种月季的部分是个圆，根据圆的面积＝πr2，列式解答即可。 （2）A和D两部分是圆环面积的一半，根据圆环面积＝π（R2－r2），求出圆环面积，除以2即可。 【详解】（1） （平方米） 答：种月季的面积是78.5平方米。 （2）30÷2＝15（m）                      ＝ ＝ ＝314（平方米） 答：种万寿菊的面积是314平方米。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆和圆环面积公式。 47．10.99平方米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此分别求出直径是6米和（6＋2）米的半圆的面积，再用扩大后的面积减去扩大前的面积即可解答。 【详解】3.14×[（6＋2）÷2]2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 25.12－14.13＝10.99（平方米） 答：鸡舍的面积将比之前增加10.99平方米。 【点评】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 48．（1）942平方米； （2）40个 【分析】（1）要求装修楼顶，需要多少平方米的砖瓦，即是求楼顶圆环的面积，先用20÷2＝10（米）求出内侧小圆的半径，再用小圆半径加10米求出大圆的半径，分别带入圆的面积公式，然后再用大圆面积减去小圆面积即可； （2）先求出外侧大圆的周长，再用大圆周长除以3.14求出一共需要多少个灯笼即可。 【详解】（1）20÷2＝10（米） 10＋10＝20（米） 3.14×20×20－3.14×10×10 ＝1256－314 ＝942（平方米） 答：如果要重新装修楼顶，需要942平方米的砖瓦。 （2）3.14×20×2÷3.14 ＝125.6÷3.14 ＝40（个） 答：一共需要40个灯笼。 【点评】灵活运用圆的周长和面积公式是解答本题的关键。 49．4.56平方米 【分析】连接正方形的对角线，把正方形的面积转化为两个等腰直角三角形的面积之和，圆和正方形之间空白部分的面积＝圆的面积－等腰直角三角形的面积×2，据此解答。 【详解】 3.14×（4÷2）2－4×（4÷2）÷2×2 ＝3.14×4－4×2÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方米） 答：圆和正方形之间空白部分的面积是4.56平方米。 【点评】掌握圆和三角形的面积计算公式，利用三角形的面积公式求出正方形的面积是解答题目的关键。 50．50.24平方米 【分析】蒙古包的底面是一个圆形，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：它的占地面积是50.24平方米。 【点评】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$