专题4.2 三角恒等变换（八大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题4.2 三角恒等变换 目录 一、考纲要求 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力． 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷II卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2021年甲卷（文）第11题，5分 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用． 这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用． 四、考点梳理 考点1 同角三角函数的基本关系式 ：，=， 考点2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 考点3 和角与差角公式 ;; . = (由点的象限决定, ). 考点4 二倍角公式及降幂公式 . . 考点5 三角函数的周期公式 函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期； 函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期. 三角函数的图像： 【解题方法总结】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 重难点题型(一) ：两角和与差的三角函数公式 例1．（2024·江苏镇江·三模）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 例2．（2023·福建三明·高三统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2024·四川达州·二模）（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练2】．（2024·四川资阳·二模）已知，是方程的两个根，则（    ） A． B．2 C． D． 重难点题型(二) ：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例3．（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·安徽·一模）已知，，则 . 【变式训练3】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 重难点题型(三) ：二倍角公式的灵活运用 例5．（2024·四川内江·模拟预测）已知，则 ． 例6．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则 . 例7．（2024·海南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】．（2023·全国·模拟预测）已知，，则 ． 【变式训练6】．（2024·吉林长春·三模）已知，且，则 ． 【变式训练7】．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(四) ：给角求值 例8．（2023·全国·高三专题练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 例9．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则 . 【变式训练9】．（23-24高三上·重庆荣昌·阶段练习）已知，则 . 重难点题型(五) ：给值求值 例10．（2024·辽宁·二模）已知，则 ． 例11．（2023·全国·模拟预测）若，则 ． 例12．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，则______． 【变式训练11】．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型(六) ：给值求角 例13．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________. 例14.（2022·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【变式训练14】．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则 . 重难点题型(七) ：正切恒等式及求非特殊角 例15．（21-22高一·全国·课前预习）计算：＝ . 例16．（2023·江苏南通·高三校考期中）在中，若，则_________. 【变式训练15】．（2023·河南·模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练16】．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型(八) ：三角恒等变换的综合应用 例17．（2018·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，设向量，，． (1)若，求的值； (2)设，，且，求的值． 例18．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角所对的边分别为，在①，②，③中任选一个作为条件解答下列问题. (1)求角； (2)若的面积为为的中点，求的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练17】．（2024·北京西城·三模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练18】．（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ． 6．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 7．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 8．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 9．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 三角恒等变换 目录 一、考纲要求 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力． 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷II卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2021年甲卷（文）第11题，5分 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用． 这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用． 四、考点梳理 考点1 同角三角函数的基本关系式 ：，=， 考点2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 考点3 和角与差角公式 ;; . = (由点的象限决定, ). 考点4 二倍角公式及降幂公式 . . 考点5 三角函数的周期公式 函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期； 函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期. 三角函数的图像： 【解题方法总结】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 重难点题型(一) ：两角和与差的三角函数公式 例1．（2024·江苏镇江·三模）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 例1．（2023·福建三明·高三统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，，即， 故， 故选：A 【变式训练1】．（2024·四川达州·二模）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【变式训练2】．（2024·四川资阳·二模）已知，是方程的两个根，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据根与系数的关系结合两角和正切公式计算即可. 【详解】由题可知，，，则. 故选：C. 重难点题型(二) ：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例3．（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先应用两角和的正弦化简得出，再应用两角差的正弦计算即可. 【详解】， 所以， 所以， 故选:C． 例4．（2024·安徽·一模）已知，，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】把所给式子两边平方相加可求得结果. 【详解】由，可得①， 由，可得②， 所以①+②，可得, 所以，所以. 故答案为：. 【变式训练3】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， 两式相加得， . 故选：C. 【变式训练4】．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出. 【详解】因为， 所以 ， 得， 所以， 则 . 故答案为：. 重难点题型(三) ：二倍角公式的灵活运用 例5．（2024·四川内江·模拟预测）已知，则 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 【分析】由三角函数同角关系及二倍角公式计算即可. 【详解】因为, 所以, 即, 因为，且异号， 所以，即, 所以. 所以. 故答案为：. 例6．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案． 【详解】因为，则. 故答案为：. 例7．（2024·海南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得. 【详解】， 故选：A 【变式训练5】．（2023·全国·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由条件等式求正、余弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先根据二倍角公式化简原方程，然后结合求解出结果. 【详解】因为， 所以， 而，故，， 则， 又，得， 由，知， 故答案为：. 【变式训练6】．（2024·吉林长春·三模）已知，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式 【分析】由同角的三角函数关系和二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式训练7】．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：D． 重难点题型(四) ：给角求值 例8．（2023·全国·高三专题练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 ， 故选：D. 例9．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 所以， 故选：D 【变式训练8】．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用平方关系求出，又，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】，则， ， 因此 . 故答案为：. 【变式训练9】．（23-24高三上·重庆荣昌·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】设，由诱导公式及倍角公式得，求解即可. 【详解】设，则，， 所以. 故答案为： 重难点题型(五) ：给值求值 例10．（2024·辽宁·二模）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函数的和积关系及二倍角公式先得，再将三倍角化为二倍角推导计算得即可. 【详解】由，得即， 两边平方得，得， 所以． 故答案为：． 例11．（2023·全国·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解. 【详解】因为 ， 所以， 所以． 故答案为： 例12．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】解法1：由，得， 得， 得，所以， 所以． 解法2：将 展开得， 整理得， 即， 所以． 故选：A 【变式训练10】．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，则______． 【答案】 【解析】由题意可得， . 故答案为： 【变式训练11】．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】设，则，根据诱导公式及二倍角公式可得，根据诱导公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】设，则，， 所以，， 所以. 故选：D 【变式训练12】．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角恒等变换可得出关于的二次方程，求出的取值范围，求出的值，可求得角的值，代值计算可得出的值. 【详解】因为， 所以，， 因为，则，所以，， 故，所以，，则， 故. 故选：C. 重难点题型(六) ：给值求角 例13．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________. 【答案】 【解析】因为，，且，， 所以，，且， 则， 所以. 故答案为：. 例14.（2022·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解. 【详解】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以， 即； 因为且， 所以且， 解得，， 则， 所以. 故选：C. 【变式训练13】．（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、辅助角公式、给值求角型问题 【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值. 【详解】因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 【变式训练14】．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题 【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果. 【详解】，， ， ， ， ，， ，则. 故答案为：. 重难点题型(七) ：正切恒等式及求非特殊角 例15．（21-22高一·全国·课前预习）计算：＝ . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解. 【详解】由题意． 故答案为：． 例16．（2023·江苏南通·高三校考期中）在中，若，则_________. 【答案】 【解析】因为， 所以，， 由题意可得， 若，则，不妨设为锐角，则， 则，不合乎题意， 所以，，故，因此，. 故答案为：. 【变式训练15】．（2023·河南·模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用正切诱导公式以及两角差正切公式化简即可. 【详解】因为 . 故选：B. 【变式训练16】．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式和二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， ， 故选：A． 重难点题型(八) ：三角恒等变换的综合应用 例17．（2018·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，设向量，，． (1)若，求的值； (2)设，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用数量积的坐标运算转化为两角差的三角函数即可求解； （2）通过向量平行，转化为求解角的大小即可. 【详解】（1）因为，，，则， ， 由可得，即， 解得. （2）因为，所以，则， 由可得， 化简可得，即， 又，则，所以，即. 例18．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角所对的边分别为，在①，②，③中任选一个作为条件解答下列问题. (1)求角； (2)若的面积为为的中点，求的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）①利用正切函数的诱导公式化简求解；②利用正弦定理将边化为角，再利用正弦函数的诱导公式化简求解；③先化简等式再利用余弦定理进行求解. （2）由三角形面积公式求出，然后利用将表示出来，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）选① 由，得， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 选②： 由正弦定理及， 得， 又， 所以， 即，又，所以， 又因为，所以. 选③： 由，得， 即，则由余弦定理得， 又因为，所以. （2）因为， 所以， 则 （当且仅当时等号成立）. 即的最小值为. 【变式训练17】．（2024·北京西城·三模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、根据极值点求参数 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简变形，然后利用周期公式直接求解即可； （2）先由，得，若选①，则，从而可求出m的取值范围，若选②，则当时，函数递增，所以不合题意，若选③，则，从而可求出m的取值范围. 【详解】（1）因为 . 所以的最小正周期为. （2）因为，所以. 选择①，因为在有恰有两个极值点. 所以. 所以. 若选择②，因为当时，函数递增， 所以在不可能单调递减，所以②不符合题意； 选择③，因为在恰好有两个零点. 所以. 所以. 【变式训练18】．（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为 【难度】0.65 【知识点】已知三角函数值求角、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【详解】（1）因为，由，得到， 解得或， 即或，又， 所以或. （2）因为， 令，因为，得到， 由的图象与性质知，，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 4．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 5．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 6．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 7．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 8．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【难度】0.94 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、辅助角公式 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 9．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、已知三角函数值求角、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$