精品解析：四川省广安市友谊中学2023-2024学年九年级下学期期中检测数学试题

四川省广安友谊中学2023—2024学年度下期 初2021级第二次质量检测试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列幂的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，贵州省2023年国庆假期累计接待旅客4708万人次，实现旅游收入亿元，请将4708万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ） A. 众数为6 B. 平均数为5 C. 中位数为5 D. 方差为1 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则弦的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于，两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 若，是抛物线上的两个点，则．其中正确的是（ ） A. ② ③ B. ① ② ④ C. ③ ④ ⑤ D. ① ④ ⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是________条． 13. 阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则根与系数之间有如下的关系：x1＋x2＝﹣，x1x2＝．根据上述材料计算：已知m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则m2＋n2的值为_______． 14. 若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为_____． 15. 如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为___________． 16. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为______． 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算： 18. 先化简分式，再代入求值：​，其中为满足的整数． 19. 如图，在中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 20. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 四、实践应用（本大题共4小题，第21题6分，第22、23、24小题个8分，共30分） 21. 为调查班级学生最喜爱的贺岁电影：A.《热辣滚烫》、B.《第二十一条》、C.《飞驰人生》、D.《熊出没逆转时空》。每名学生从中选择一种最喜欢的电影，班级就最喜欢的电影对学生进行了调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为 ； （3）本次调查中，在最喜欢《熊出没逆转时空》的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学，若从这四位同学中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率． 22. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔．此塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下而上逐层收敛．某数学社团打算运用“解直角三角形”的知识来计算玲珑塔的高度，如图，先将无人机竖直上升至高的点处，在点处测得玲珑塔顶端的俯角为，将无人机沿水平方向继续飞行到达点，在点处测得塔底端的俯角为．求玲珑塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：） 24. 下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴． 五、推理论证（9分） 25. 如图，中，，在边上取一点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于点、，连接、，． （1）求证：是的切线； （2）若， ，求线段的长和的面积． 六、拓展探究（10分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学2023—2024学年度下期 初2021级第二次质量检测试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 2. 下列幂的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐一计算判断即可 【详解】∵， ∴A项计算正确； ∴B项计算正确； ∵， ∴C项计算错误； ∵， ∴D项计算错误； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 3. 根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，贵州省2023年国庆假期累计接待旅客4708万人次，实现旅游收入亿元，请将4708万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4708万用科学计数法表示为， 故选：D． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键．根据所给的三视图逐一判断即可． 【详解】解：由几何体的三视图看，主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，不难看出这个几何体是三棱柱， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且． 故选：D． 6. 学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ） A. 众数为6 B. 平均数为5 C. 中位数为5 D. 方差为1 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，根据定义求出对应数值分别判断，即可得到答案． 【详解】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意； B、 ，故该项描述正确，不符合题意； C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意； D、方差为，故该项描述错误；符合题意， 故选：D． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入，分别算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴把分别代入 ∴ ∴ 故选：B 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则弦的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，含30度角直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，由，求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，由，求出而，得到即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于，两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 若，是抛物线上的两个点，则．其中正确的是（ ） A. ② ③ B. ① ② ④ C. ③ ④ ⑤ D. ① ④ ⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的性质，二次函数解析式系数表示的意义以及函数图象是解决问题的关键． 【详解】解：① 二次函数的图象与y轴正半轴交于点C， ， 二次函数图象对称轴为，根据图象可知对称轴在正半轴， ，又， ， ，故① 符合题意． ② 二次函数图象顶点纵坐标为，根据图象可知顶点位于轴正半轴， ，又， ，故② 不符合题意． ③ ，， ，故③不符合题意． ④ 的图象与x轴分别交于，，对应一元二次方程的解，， ， ，故④ 符合题意． ⑤ 二次函数的对称轴为， 点，距离对称轴的距离为，点距离对称轴的距离为，， 又，抛物线开口向下， ．故⑤ 符合题意． 综上：① ④ ⑤ 符合题意． 故选：D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0． 故答案为：x≥-1且x≠0． 【点睛】考点：函数自变量的取值范围． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是________条． 【答案】3 【解析】 【分析】设多边形的边数为n，由题意列方程，求解n的值，再根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，由题意可得， ， 解得， ∴这个多边形从一个顶点引对角线的条数是， 故答案为：3． 【点睛】本题考查多边形内角和公式和外角和公式及对角线，熟练掌握多边形内角和和外角和公式是解题的关键． 13. 阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则根与系数之间有如下的关系：x1＋x2＝﹣，x1x2＝．根据上述材料计算：已知m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则m2＋n2的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n＝，mn＝﹣，再将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中即可求出m2+n2的值． 【详解】解：∵m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键． 14. 若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，算术平方根，将代入得到根据加减消元法，即可求解． 【详解】解：将代入得到 ①-②得，， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】沿折叠点落在边上的点处， 的周长 故答案为5． 16. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半， 当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数， 因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数幂的意义，以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 根据零指数幂、负整数幂的意义，以及特殊角的三角函数值化简，再算加减即可． 【详解】解： . 18. 先化简分式，再代入求值：​，其中为满足的整数． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意取值时要使分式有意义．运用分式的加减乘除运算法则化简，再代入求值就可得解． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质得出，进而利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象和性质，即可． （1）根据，求出点的坐标；再根据，求出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数；根据，轴，点在一次函数的图象上，求出点的坐标，把点代入反比例函数，即可； （2）根据，则一次函数的图象在反比例函数的图象上，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵， ∴点， ∵轴，垂足为， ∴点的横坐标为：， ∴， ∴点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵当一次函数的图象在反比例函数的图象时，， ∴当时，， 当时，的解集为：． 四、实践应用（本大题共4小题，第21题6分，第22、23、24小题个8分，共30分） 21. 为调查班级学生最喜爱的贺岁电影：A.《热辣滚烫》、B.《第二十一条》、C.《飞驰人生》、D.《熊出没逆转时空》。每名学生从中选择一种最喜欢的电影，班级就最喜欢的电影对学生进行了调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为 ； （3）本次调查中，在最喜欢《熊出没逆转时空》的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学，若从这四位同学中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）； 补全统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的圆心角，列表法或画树状图求概率． （1）根据C组有10人，占可求出本次调查的人数，进而可求得B组的人数，从而补全条形统计图； （2）先计算D组的百分比，再乘以即可解答； （3）画出树状图，得到所有等可能的情况结果，再找出满足要求的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：人， ∴B组的人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为：； 故答案为： 【小问3详解】 解：画树形图如下： 共有种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有种情况， ∴选出两人恰好是甲和乙的概率为． 22. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： ，解得：． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当x＝15时，w取得最大值50． ∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 23. 鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔．此塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下而上逐层收敛．某数学社团打算运用“解直角三角形”的知识来计算玲珑塔的高度，如图，先将无人机竖直上升至高的点处，在点处测得玲珑塔顶端的俯角为，将无人机沿水平方向继续飞行到达点，在点处测得塔底端的俯角为．求玲珑塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：） 【答案】玲珑塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长，交的延长线于点，根据题意得出，进而解得出，根据，即可求解． 【详解】解：延长，交的延长线于点，如解图所示，则． 由题意，可知． 在中， ， ． ． 在中， ， ． ． 答：玲珑塔的高度约为． 24. 下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴． 【答案】如图，、 【解析】 【分析】先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】略 五、推理论证（9分） 25. 如图，中，，在边上取一点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于点、，连接、，． （1）求证：是的切线； （2）若， ，求线段的长和的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）作于点，则，由，证明，而，所以，可证明，则，因为，所以，则，由，得，设，得出，再根据勾股定理列式，计算出，则，所以，则，，求得． 【小问1详解】 证明：连接， ∵ ， ∵， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：作于点，则， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 则 ∵ ∴ 则 在中， ∴ 解得（负值已舍去） ∴， ， ， ， ，， ， 的面积为10． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 六、拓展探究（10分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P（，）时，S四边形APCD最大=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标． 试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5， （2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0）， 设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5）， ∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x， ∴当x=时， ∴S四边形APCD最大=， （3）如图， 过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1， ∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8， ∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2 ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）， 当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）， 考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $