精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年八年级上学期开学测数学试题

哈工大附中2024－2025学年度八年级数学开学学情检测 一、选择题 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，与，都是方程的解，则k与b的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 若a<b,则下列各式不一定成立的是( ) A. a-1<b-1 B. C. -a>-b D. ac<bc 4. 下列叙述中错误的一项是（     ）． A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段． B. 三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部． C. 只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形． D. 三角形的三条角平分线都在三角形内部． 5. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A 3，4，2 B. 12，5，6 C. 2，5，9 D. 5，2，7 6. 如图，在中，，，平分，交于点E，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中,,,是高和的交点，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 不能确定 8. 如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 9. 不等式的最小整数解是________． 10. 已知关于x，y二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是___________． 11. 已知一组数据，，1，3，6，x的平均数为1，则其数中位数为________． 12. n边形的每个外角都为，则边数n为___________． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长是______． 14. 如图是一副三角尺拼成图案，则的度数为___________． 15. 是中边上的高，已知则的面积等于___________． 16. 如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为___________． 三、解答题（36分） 17. 解二元一次方程组（不等式组） （1） （2） 18. 某中学开展“好书伴我成长”读书活动中，为了解七年级 600 名学生读书情况， 随机调查了七年级 50 名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 （1）这 50 个样本数据的众数为多少、中位数为多少； （2）求这 50 个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估计该校七年级 600 名学生在本次活动中读书多于 2 册人数． 19. 某书店销售甲、乙两种图书，一本乙图书的进价比一本甲图书的进价高20元，经预算，购进600本乙种图书的钱正好可以购进1800本甲种图书． （1）求两种图书的进货单价分别是多少元； （2）若书店购进甲乙两种图书共80本，甲种图书的售价为15元，乙种图书的售价为40元，该书店为使这80本的图书的总利润不超过610元，该书店至少购进甲种图书多少本？（利润售价进价） 20. 如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈工大附中2024－2025学年度八年级数学开学学情检测 一、选择题 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，不符合题意； C、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意； D、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键． 2. 已知，与，都是方程的解，则k与b的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识，把二元一次方程的解代入二元一次方程，组成关于k，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意知：， 解得：， 故选：A． 3. 若a<b,则下列各式不一定成立的是( ) A. a-1<b-1 B. C. -a>-b D. ac<bc 【答案】D 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：A.因为a<b，所以a-1<b-1，故A成立； B. 因为a<b，所以，故B成立； C. 因为a<b，所以-a>-b，故C成立； D. 因为a<b，所以当c＞0时，ac<bc；当c<0时，ac＞bc；当c=0时，ac=bc，故D不成立． 故选D 【点睛】本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 4. 下列叙述中错误的一项是（     ）． A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段． B. 三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部． C. 只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形． D. 三角形的三条角平分线都在三角形内部． 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断． 【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确； B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确； C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误； D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确 故选：C 【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键． 5. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 2，5，9 D. 5，2，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，用两条短边之和是否大于第三边即可判断． 详解】解：A．∵，故能构成三角形，符合题意； B．∵，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，，平分，交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的性质，由三角形内角和定理可得出，由角平分线的定义可得出，最后根据平行线的性质可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，已知中,,,是高和的交点，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件易证△ADC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等即可得BH=AC=4． 【详解】∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴AD=BD，∠ADC=∠BDH=90°， ∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°， ∴∠AHE=∠BHD=∠C， ∴△ADC≌△BDH， ∴BH=AC=4． 故选B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定及性质，证明△ADC≌△BDH是解决本题的关键． 8. 如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定等等：先证明得到，再由等边对等角推出，则，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题 9. 不等式的最小整数解是________． 【答案】3 【解析】 【分析】先解不等式，求得其范围，从而得最小整数解． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 则不等式的最小整数解为3， 故答案是：3． 【点睛】考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解本题的关键． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的知识，根据相反数的定义可得；将其与方程组的②组成方程组，即可解得x和y，进而求得的值． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数 ∴③ 把③代入②得： 解得 ∴ 把，代入①得 即 故答案为：． 11. 已知一组数据，，1，3，6，x的平均数为1，则其数中位数为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求得x的值，再利用中位数的定义可得． 【详解】解：∵，，1，3，6，x的平均数是1， ∴， 解得：， 则这组数据，，1，3，6，1， 按从小到大的顺序排列为：，，1，1，3，6， 所以，这组数据的中位数为：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键熟练掌握中位数和平均数的定义． 12. n边形的每个外角都为，则边数n为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系.，根据多边形外角和都为，除以即可求出答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为10． 故答案为：10． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可． 【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形； 如果等腰三角形三边长分别是、、，，能构成三角形； 那么这时三角形的第三边长为． 所以，这个等腰三角形的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答． 14. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的和差，三角形的内角和定理，理解角的位置关系和角的和差是解题的关键．根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，一副三角尺， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 是中边上的高，已知则的面积等于___________． 【答案】15或5##5或15 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积的计算，分在三角形的内部和在三角形的外部两种情况，进行计算即可． 【详解】解：如图1， ， 是的高，， ， ； 如图2， ， 是的高，， ， ， 综上所述，或5， 故答案为：15或5． 16. 如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质，过C作交延长线于H，则，，结合已知可得，则和，进一步求得，有，即可证明，则，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过C作交延长线于H，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 故答案为：4． 三、解答题（36分） 17. 解二元一次方程组（不等式组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组的知识． （1）按照代入法解二元一次方程组即可． （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 把①式代入②得： ， 解得：， 把代入①式得：， ∴原方程组的解为：． 【小问2详解】 解①式得：， 解②式得：， ∴原不等式组的解集为：． 18. 某中学开展的“好书伴我成长”读书活动中，为了解七年级 600 名学生读书情况， 随机调查了七年级 50 名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 （1）这 50 个样本数据的众数为多少、中位数为多少； （2）求这 50 个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估计该校七年级 600 名学生在本次活动中读书多于 2 册的人数． 【答案】（1）众数为 3，2；（2）50 个样本数据的平均数为 2；（3）估计七年级读书多于 2 册的有 216 人． 【解析】 【分析】（1） 根据众数、中位数的概念求解； （2） 根据平均数的概念求解； （3） 根据样本数据，估计本次活动中读书多于 2 册的人数． 【详解】（1）由题意得，读书册数为 3 的人数最多，即众数为 3， 第 25 人和第 26 人读数厕所的平均值为中位数，及中位数为：=2， （2）平均数为： =2， 即这 50 个样本数据的平均数为 2； （3）600×=216（人）． 答：估计七年级读书多于 2 册的有 216 人． 【点睛】考查了众数、中位数、平均数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键． 19. 某书店销售甲、乙两种图书，一本乙图书的进价比一本甲图书的进价高20元，经预算，购进600本乙种图书的钱正好可以购进1800本甲种图书． （1）求两种图书的进货单价分别是多少元； （2）若书店购进甲乙两种图书共80本，甲种图书的售价为15元，乙种图书的售价为40元，该书店为使这80本的图书的总利润不超过610元，该书店至少购进甲种图书多少本？（利润售价进价） 【答案】（1）甲种图书进价为10元、则乙种图书进价为30元 （2）该书店至少购进甲种图书38本 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用， （1）设甲种图书进价为x元，则乙种图书进价为元，根据题意可列出方程得x即可； （2）设甲种图书y本，乙种图书本，先求得利润，再结合“为使这80本的图书的总利润不超过610元”列出不等式，求解即可． 小问1详解】 解：设甲种图书进价为x元，则乙种图书进价为元 ，解得， 则， 答：甲种图书进价为10元、则乙种图书进价为30元． 【小问2详解】 解：设甲种图书y本，乙种图书本 获利为元， 根据题意得，解得． 答：该书店至少购进甲种图书38本． 20. 如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理、 （1）结合角平分线设，，则，即，利用三角形外角定理得即可； （2）过点O作于点N，于点M，于点K．则有和．即，即可得到点O在的平分线上． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴设，； ∵ ； ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 证明：如图1，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴点O在的平分线上． ∴平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$