第23章 图形的相似（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第23章 图形的相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段， ， ，，， ， ， 故选：． 2．如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，将选项中给出的比列式进行变形即可，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 故选：． 3．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 4．如图，点P在△ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 6．如图，，，，，那么的长为（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 7．已知两点的坐标分别是和，则下列情况：①两点关于轴对称．②两点关于轴对称．③两点之间距离为．其中都正确的有（    ） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称，两点之间的距离公式，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：关于x轴对称的点的特点是，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称的点的特点是，横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴与是关于y轴对称，故①错误，②正确； 两点之间的距离为：，故③正确； ∴正确的是②③， 故选：A ． 8．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①△ABC与△DEF的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵△ABC与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴△ABC与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 9．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出，结合△ADC的面积为1，即可求出△ABC的面积． 【详解】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， . ∵S△ACD=1， ∴S△ABC=9， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题关键． 10．如图，在△ABC中，，将△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（　 　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论②符合题意；由，，得出，可判断结论①符合题意；由，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，可判断结论③符合题意；即可得出答案． 【详解】将△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE， ，，，， ， ， 平分， ②符合题意； ，， ∴， ①符合题意； ， ， ， ∵， ， ， ③符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个四边形边长为3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是_______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．先求出已知四边形的相似比，再列式求解即可． 【详解】解∶ 两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为4， 则相似比是， 根据相似四边形的周长的比等于相似比，设后一个四边形的周长的长为x， 则， 解得：． 即后一个四边形的周长的长为24． 故答案为∶24． 12．如果在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是______千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据：实际距离图上距离比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，掌握比例尺的定义是解题的关键． 【详解】解：（厘米）（千米），故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与△ABC关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与△ABC关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为;故答案为：． 14．已知△ABC中，D、E、F分别是边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为_______． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形中位线的定义和性质“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半”．利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案． 【详解】解：∵点、、分别是的中点， ∴、、是△ABC的三条中位线， ∴、、， ∵的周长是10， ∴ ∴ ∴△ABC的周长是20．故答案为：20． 15．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据等腰三角形性质可知，，再根据可知，结合，可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：为等边三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16．在△ABC中，是重心，点是的中点，若△ABC的面积为，则的面积_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【详解】解：点是的中点，△ABC的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ∵，，，分别为边、、、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 18．如图，在中，，，垂足为D． (1)证明：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解;(2)的长为 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 根据题意得，和，则，即可证明； 由（1）知，则，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 整理，得，解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 19．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：∵BD，分别是与边上的高， ， ， ∴△ADB∽△AEC， ， 即， ， ． 20．为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴米， 答：的高度为米． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，△ABC中，厘米，厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 【答案】当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是秒或4秒 【分析】此题考查了相似三角形的性质此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用；设运动了，根据题意得：，然后分别从当与当时去分析求解即可求得． 【详解】设运动了，根据题意得： 则 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； ∴当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是秒或4秒． 22．如图，在△ABC与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．若选①，由得，，然后可证，，从而可证；选择②不能证明；若选③，由得，得到，从而可证．根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且△ABC与的位似比为； (2)做出△ABC绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3 【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）如图，为所求． （3）△ABC的面积为：． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在△ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，△PBQ的面积为？ (2)是否存在某一时间，使得和△ABC相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒;(2)秒或秒 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键． （1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解； （2）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴． 设经过秒钟，使的面积为， ∵，，∠B=90°， ∴， ∴， ∴解得：，， ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为． （2）解：设经过秒钟，使和△ABC相似， ∵， 当使时，和△ABC相似， 即， 解得：； 当使时，和相似， 即， 解得：． ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和△ABC相似． 25．已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与△PDA的面积比为，求边的长； 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）由矩形性质和折叠性质知，，得到，根据，得到，即得； （2）设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，得到，，由勾股定理得到，解得，，得到，即得． 【详解】（1）∵矩形中，，，， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 2．如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 4．如图，点P在△ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 6．如图，，，，，那么的长为（   ） A． B． C． D．7 7．已知两点的坐标分别是和，则下列情况：①两点关于轴对称．②两点关于轴对称．③两点之间距离为．其中都正确的有（    ） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 8．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①△ABC与△DEF的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 10．如图，在△ABC中，，将△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（　 　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个四边形边长为3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是_______． 12．如果在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是______千米． 13．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与△ABC关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为_______． 14．已知△ABC中，D、E、F分别是边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为_______． 15．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为_______． 16．在△ABC中，是重心，点是的中点，若△ABC的面积为，则的面积_______． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分． 18．如图，在中，，，垂足为D． (1)证明：； (2)已知，，求的长． 19．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 20．为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，△ABC中，厘米，厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 22．如图，在△ABC与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 23．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形，且△ABC与的位似比为； (2)做出△ABC绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求△ABC的面积． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在△ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，△PBQ的面积为？ (2)是否存在某一时间，使得和△ABC相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 25．已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与△PDA的面积比为，求边的长； ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$