第23章 图形的相似（考点专练，15考点）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第23章 图形的相似（考点专练） 考点一 成比例线段（共4题） 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为_______． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 考点二 比例的性质（共4题） 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据比例的性质得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．据此对各选项分析即可． 【详解】解：A．由得，故不符合题意； B．由得，故不符合题意； C．由得，符合题意； D．由得，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选：D． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 【答案】(1)1；(2) 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，代入化简即可； （2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值． 【详解】（1）∵， ∴设，代入，得 ； （2）∵， ∴设，代入，得 ，解得， ∴． 考点三 黄金分割（共4题） 1．（2024·贵州贵阳·一模）一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（     ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 4．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则___________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值”，结合题意列方程解题即可． 【详解】解：设，则， 根据黄金分割点的定义得到， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为． 考点四 平行线分线段成比例（共4题） 1．（22-23八年级下·吉林长春·期末）已知，如图，直线，，，，则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例． 根据得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵直线，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 3．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为． 4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 考点五 相似图形及相似多边形的性质（共4题） 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图， 则，，， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 考点六 相似三角形的判定（共4题） 1．（2024·上海·模拟预测）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B．△BDC C． D．△BAD 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形， ， 又∵∠ABD=∠DBF， ， 与相似的三角形是△BAD， 故选：D． 2．（2023·山东济宁·一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，不能判定，故本选项符合题意； B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 考点七 利用相似三角形的性质求解（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，，和分别是△ABC和的高，若，，则△ABC与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵， 和分别是△ABC和的高，，， 其相似比为：， 与的面积的比为； 故选：． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为_______． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意可得相似三角形的相似比，再根据周长比等于相似比即可解题． 【详解】解：一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3， 又， ， 的的周长， 故答案为：11． 3．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，已知△ABC中，，在中，，且，，则_______时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当时，当时，然后利用比例性质求出对应的的长即可． 【详解】解：，，，， ， 当时， ，即， ； 当时， ，即， ， 故答案为：或． 4．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析；(2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，则，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，然后再结合已知条件代入数据即可解答． 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴． 考点八 证明相似三角形对应线段成比例（共4题） 1．（12-13九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 【答案】见解析 【详解】分析：利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行证明∠A=∠C和∠ADF=∠E，进而证明△ADF∽△CED，再利用相似的性质：对应边的比值相等可得比例式，再把相等的线段代换即可． 详解： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠E， ∴△ADF∽△CED， ∴AD：AF=EC：DC， 又∵AB=CD， ∴AD：AF=CE：AB． 点评：考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADF∽△CED得到AD：AF=EC：DC，再运用等量代换得出结论． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 3．（16-17九年级上·四川乐山·期末）如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 【答案】(1)详见解析;(2)3. 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长． 【详解】证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， 即； ∵； ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质. 4．（18-19九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． 【详解】解：证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD． ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB． ∴BC=CE． ∵BE∥CD， ∴， 又∵BC=CE， ∴． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质． 考点九 相似三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，根据题意可证，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是延长线上一点， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故选：C ． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在平行四边形中，E是边上的点，连接，交于点F，若，则的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，再由三角形相似的判定和性质得出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故答案为：3． 3．（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在△ABC中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 【答案】(1)3；(2)见解析 【分析】（1）连接，，证明，得到，即可求解． （2）证明，得到，又，所以，再证明，得到，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：作交延长线于G，如图2， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 考点十 重心的有关性质（共4题） 1．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，点是△ABC的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点． 点是的重心， ，， ， ． ． 又， ． 又， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是△BCF，△CDF的重心，若，则线段的长为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质以及相似三角形的性质，依据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：，即可得到，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，则点在上，点在上，   ，分别是△BCF，△CDF的重心， ∴， 连接，，则， ∴． 正六边形的边长为， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点F是△ABC的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据三角形重心的性质得到，根据平行线性质得到，根据相似三角形性质得到． 【详解】解：∵点F是△ABC的重心， ∴点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是△ABC的重心，求的值． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是△ABC的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十一 相似三角形动点问题（共4题） 1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为________． 【答案】或2或10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法，根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验符合题意， 若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验，符合题意， 综上所述，的长度为或2或10， 故答案为：或2或10． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，_______． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 3．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】(1)；(2)；(3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【答案】(1)、；(2)、2；(3)、 【分析】（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【详解】（1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ∴△APE∽△ABC， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点十二 相似三角形的实际应用（共4题） 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________cm． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．证明与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 又， ∴ 由相似三角形的性质得到：． 解得，． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：10． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为________ 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可求解． 【详解】解：依据题意,得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    【答案】米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴，即， 即， ∴（米）， ∴古塔的高度为16.2米． 4．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米；(2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 考点十三 中位线（共4题） 1．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知△ABC中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则△ABC的周长为______． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形中位线的定义和性质“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半”．利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案． 【详解】解：∵点、、分别是的中点， ∴、、是△ABC的三条中位线， ∴、、， ∵的周长是10， ∴ ∴ ∴△ABC的周长是20． 故答案为：20． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，两点分别是，的中点， 是△ABC的中位线， ， ， ， 故答案为： 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，、是△ABC两条中线，则_______． 【答案】 【分析】根据、是△ABC两条中线，得到，得到，根据性质，得到，继而解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵根据、是△ABC两条中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，于点D，点E是边的中点，过A作交的延长线于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是矩形． (2)如图2，当时，取中点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形面积一半的平行四边形． 【答案】(1)见解析；(2)；；； 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由，推出又推出四边形是平行四边形，只要证明，即可推出四边形是矩形． （2）先证明四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，再证明它们的面积为矩形面积一半即可． 【详解】（1）证明： ∵E是中点， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是矩形，且点E为对角线交点， ∴点E是边的中点， ∵G是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴ ∴四边形是平行四边形； 同理可证线段、线段都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可证，四边形、四边形都是平行四边形， 在中， ∴ ∴ 在矩形中， ∴即 同理可得；；的面积为矩形面积一半 考点十四 位似图形（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（　　） A．9 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形的面积，解题的关键是正确理解如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方． 【详解】∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为，则 ∴四边形的面积是，故选： 2．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是△ABC的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：是△ABC的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ，故选：B． 3．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形．已知△ABC的面积为3，，则的面积为______． 【答案】27 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∵△ABC的面积为3， ∴的面积为：27．故答案为：27． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为． (1)在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为； (2)写出△ABC面积=______；面积=______． 【答案】(1)见详解；(2)4；1 【分析】本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及相似三角形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：根据图象可得， ∵与△ABC的相似比为， ∴与△ABC的面积比为， ∴面积．故答案为：4；1． 考点十五 图形的变化与坐标（共4题） 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在中国象棋棋盘的部分示意图上建立如图所示的平面直角坐标系，“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点，先确定坐标系的原点和每一格的单位长度，根据坐标系可直接得到答案． 【详解】解：∵“車”所在位置的坐标为， ∴确定点O是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1， ∴“炮”所在位置的坐标为． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE．已知点，，则△ABC与△BDE的面积比是_______，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将△ABC放大后得到△BDE．点， ∴△ABC与△BDE的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵△ABC与△BDE的相似比为， 则△ABC与△BDE的面积比是，故答案为：；． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到． (1)画出平移后的图形； (2)请写出平移后的各个顶点的坐标． (3)三角形的面积是 　　． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】本题主要考查图象的平移， （1）根据平移的规则先将对应的点进行平移，再顺次连接即可； （2）根据图象中点的位置和题目给定的平移规则进行求解即可； （3）利用网格特点，结合割补法进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：由图可得，． （3）解：三角形ABC的面积为． 故答案为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似（考点专练） 考点一 成比例线段（共4题） 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为_______． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 考点二 比例的性质（共4题） 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 考点三 黄金分割（共4题） 1．（2024·贵州贵阳·一模）一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（     ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则___________（结果保留根号）． 考点四 平行线分线段成比例（共4题） 1．（22-23八年级下·吉林长春·期末）已知，如图，直线，，，，则的长（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为_______． 4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 考点五 相似图形及相似多边形的性质（共4题） 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为_________． 4．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则__________． 考点六 相似三角形的判定（共4题） 1．（2024·上海·模拟预测）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B．△BDC C． D．△BAD 2．（2023·山东济宁·一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 4．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 考点七 利用相似三角形的性质求解（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，，和分别是△ABC和的高，若，，则△ABC与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为_______． 3．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，已知△ABC中，，在中，，且，，则_______时，图中的两个直角三角形相似． 4．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． (1)求证：． (2)若，求． 考点八 证明相似三角形对应线段成比例（共4题） 1．（12-13九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 3．（16-17九年级上·四川乐山·期末）如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 4．（18-19九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 考点九 相似三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在平行四边形中，E是边上的点，连接，交于点F，若，则的值是________． 3．（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在△ABC中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 4．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 考点十 重心的有关性质（共4题） 1．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，点是△ABC的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是△BCF，△CDF的重心，若，则线段的长为_______．    3．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点F是△ABC的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为________． 4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是△ABC的重心，求的值． 考点十一 相似三角形动点问题（共4题） 1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为_________． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，_______． 3．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 考点十二 相似三角形的实际应用（共4题） 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________cm． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为________ 3．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    4．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 考点十三 中位线（共4题） 1．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知△ABC中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则△ABC的周长为______． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______．    3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，、是△ABC两条中线，则_______． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，于点D，点E是边的中点，过A作交的延长线于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是矩形． (2)如图2，当时，取中点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形面积一半的平行四边形． 考点十四 位似图形（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（　　） A．9 B．1 C．2 D．4 2．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是△ABC的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形．已知△ABC的面积为3，，则的面积为______． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为． (1)在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为； (2)写出△ABC面积=______；面积=______． 考点十五 图形的变化与坐标（共4题） 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在中国象棋棋盘的部分示意图上建立如图所示的平面直角坐标系，“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点关于x轴对称的点的坐标是______． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE．已知点，，则△ABC与△BDE的面积比是_______，点的坐标是______． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到． (1)画出平移后的图形； (2)请写出平移后的各个顶点的坐标． (3)三角形的面积是 　　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$