精品解析：重庆市巴蜀科学城中学2024-2025学年高二上学期入学测试数学试题

重庆巴蜀科学城中学校高2026届高二上入学测试 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的坐标表示以及，故可得结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 即直线的倾斜角满足， 又，， 故选：C 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属基础题. 2. 已知椭圆的焦距为2，长轴长为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距和长轴长列式求解，然后求出b，即可求出椭圆方程. 【详解】由已知条件，，即，，那么， 所以椭圆的方程是. 故选：A 3. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用两直线平行可求得的值，然后利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】由于直线与平行，则，解得， 所以，两直线的方程分别为、， 因此，这两条直线的距离为. 故选：C. 4. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：圆的方程整理为标准方程即：， 设AB中点为，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中， 则，即圆心到直线的距离为， 据此可得：，即，解得：或. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即， ，又，所以，． 故选：B． 6. 已知圆与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 7. 已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆与圆的位置关系结合椭圆定义可得的轨迹为椭圆：．即可利用垂直关系，结合椭圆上的点到焦点的距离的最值，即可求解. 【详解】如图， 设圆的半径为，则，， 则， 的轨迹为椭圆，焦点为，， ，即，，． 椭圆方程为：． 由，得，故， ，要使的值最大，则最大， 为椭圆的左焦点，故 即． 故选：D． 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得， 只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长半长、短半轴长，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B正确； 当以椭圆短轴所在直线为轴，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 则椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ） A. B. 所在直线的方程为 C. 四边形的外接圆方程为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】在中利用等面积法得到，即可求出的长度，进而可得，即可判断A选项；求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆C做差，即可得到所在直线的方程，进而判断B选项；根据平面几何知识可得四边形的外接圆是以为直径的圆，进而可以求出圆的方程进行判断；求出的长度，利用面积公式即可求出的面积，从而可判断D选项. 【详解】 因为，所以以为圆心，为半径的圆交圆于两点， 因为, 又因为以为圆心，为半径的圆为， 与相减得 所以所在直线的方程为，故B正确； 连接交于，等面积法可得，即，所以，即，所以，故A错误； 四边形的外接圆是以为直径的圆，故圆心为，半径为的圆，故方程为，即，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】圆的弦长的常用求法： （1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数m的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可． 【详解】解：因为直线与直线平行， 所以， 解得． 故答案为：． 13. 点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理和椭圆的光学性质得到直线平分，可得，即可得到所求值． 【详解】 曲线C的方程为，即，即有，， 由椭圆的定义可得且， 过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得为的角平分线，即有． 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，第15小题13分，16题和17题15分，18题和19题17分） 15. 已知三个顶点坐标分别为，，． （1）试判断的形状； （2）求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 【答案】（1）是以为直角的等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）由（1）可得角的角平分线即为边上的中线，求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 解：因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； 小问2详解】 解：由（1）知是以为直角的等腰直角三角形， 所以角的角平分线即为边上的中线， 易求中点坐标，所以直线的斜率， 故角的角平分线为，化为一般式为． 16. 已知圆和直线. （1）证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； （2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； （3）已知点在圆C上，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点； （2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程； （3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求． 小问1详解】 证明：因为， 所以， 令解得，所以直线l过定点， 而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交； 小问2详解】 解：如图所示，过圆心作于，设所过定点 由图可知圆心到直线的距离，且， 又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小 所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时， 又圆心，所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离， 所以. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． （1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； （2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解. （2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解. 【小问1详解】 由题意圆O：和圆即关于直线l对称． 两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为. 【小问2详解】 圆O：的圆心为，半径为， 若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1， 则圆心到直线的距离等于1， 所以，解得. 18. 已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于两点，若线段中点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的下顶点，如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点差法得到，结合，求出，得到椭圆方程； （2）联立与，得到两根之和，两根之积，设的中点为，则，根据题意得到⊥，从而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，即， 设，若，此时线段中点为，不合要求， 故， 则， 两式相减得， 因为线段中点的坐标为， 所以， 故， 又， 则，即， 又，故， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得， 联立与得， 设，则， 则， 设的中点为，则， 由于都在以为圆心的圆上，则⊥， 故，解得， 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得，用两点间距离公式代入计算即可. （2）（ⅰ）设，，则，把点代入方程可得，，结合斜率，化简即可证明. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，因为，结合（1）的结论可计算，从而可得直线的方程，继而可得，，所以四边形的面积为，利用结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，即，得， 化简得：.所以的方程为. 【小问2详解】 设，，则. （ⅰ）因为在椭圆上，所以，， 即，， 所以， 所以为定值. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0. 因为，所以，因为，所以. 由（ⅰ）得，所以，所以：. 令，得，所以，令，得，所以， 所以四边形的面积为. 因为， 又，即，所以， 当且仅当，时，等号成立. 所以，所以四边形的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆巴蜀科学城中学校高2026届高二上入学测试 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆焦距为2，长轴长为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 3. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 6. 已知圆与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 7. 已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 11. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ） A. B. 所在直线的方程为 C. 四边形的外接圆方程为 D. 的面积为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数m的值为____________ 13. 点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 14. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________ 四､解答题（本题共5小题，第15小题13分，16题和17题15分，18题和19题17分） 15. 已知三个顶点坐标分别为，，． （1）试判断的形状； （2）求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 16 已知圆和直线. （1）证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； （2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； （3）已知点在圆C上，求的最大值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． （1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； （2）若圆O上恰有三个点到直线距离都等于1，求b的值. 18. 已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于两点，若线段中点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的下顶点，如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$