精品解析：江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期开学第一次考试数学试题

如东中学2023级高二数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 2. 已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论： ①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 ②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③ D. ① 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D 直线过定点 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 圆与圆位置关系为______. 13. 经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______. 14. 已知圆O：圆：，则下列结论正确的是______． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： （1）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； （2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 17. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 18 已知圆过点，且与圆关于直线对称． （1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由； （2）过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和否平行？请说明理由． 19. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为. （1）若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （2）若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 如东中学2023级高二数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2. 已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 4. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 5. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A. 6. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论： ①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 ②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③ D. ① 【答案】B 【解析】 【分析】①根据曲线特征，分别令，，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和等腰三角形的面积比较；②将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到，时，曲线经过的点即可；③由时，利用基本不等式求解. 【详解】①由方程，令，得，令，得， 如图所示： 由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，， x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积， ， 所以曲线C所围成的 “心形”区域的面积大于2+2=3，故正确； ②由方程，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称， 令，得，即曲线C经过， 当时，方程变为，由，解得， 所以，此时，解得或，则曲线经过， 再由对称性知，曲线经过，所以曲线一共经过6个整点，故错误； ③当时，方程，则，即（当且仅当时等号成立）， 所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确. 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 圆与圆的位置关系为______. 【答案】外离 【解析】 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 13. 经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知圆O：圆：，则下列结论正确的是______． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： （1）已知以点为圆心圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； （2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分直线 l 的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，然后利用弦长公式求解即可； （2）分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可. 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或所求方程． 【小问2详解】 两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得， 所以直线过定点； 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. 【小问2详解】 如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； 【小问3详解】 如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 18. 已知圆过点，且与圆关于直线对称． （1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由； （2）过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】（1）圆与圆外切，理由见解析 （2）①最大值为；②平行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程，从而求出圆心距，即可判断两圆的位置关系； （2）①方法一：令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； 方法二：分类讨论直线与中有一条直线的斜率不存在和直线与斜率都存在，且互为倒数，两种情况下的值，最后综合讨论结果得到答案. ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【小问1详解】 由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． 【小问2详解】 方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形， 所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ， 由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 19. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为. （1）若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （2）若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 【答案】（1）应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功. （2）米 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理求得，即可得到答案； （2）以所在直线为轴，建平面直角坐标系，设，求得，得到点的轨迹，结合圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：，可得， 因为为锐角，所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功. 【小问2详解】 解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$