第01讲 整式（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第01讲 整式 课程标准 学习目标 ①单项式 ②多项式 ③整式 1. 掌握单项式的概念，单项式的系数、次数，并在题目中熟练对其进行应用。 2. 掌握多项式的概念，多项式的项、多项式的次数，并在解决题目时能够熟练的应用。 3. 掌握整式的概念，并能够熟练的判断。 知识点01 单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 。里面只有 运算。 2. 单项式的系数： 单项式中的 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 。特别的，单个的字母的系数为 。 3. 单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 的和叫做单项式的次数。单项式的次数是几次则就叫做 。没有字母的单项式次数是 。 【即学即练1】 1．给出下列式子：，3a，π，，1，3a2+1，1+y．其中单项式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】 2．单项式﹣5ab的系数是　 　，次数是　 　． 【即学即练3】 3．已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　 　． 知识点02 多项式 1. 1．多项式的概念： 几个 叫做多项式。 2. 多项式的项： 组成多项式的每一个 叫做多项式的项。包含单项式前面的 。 3. 多项式的次数： 组成多项式的项中，次数 的项的次数即为多项式的次数。 4. 多项式的命名： 根据多项式的 把多项式命名为几次几项式。 【即学即练1】 4．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（　　） A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5 【即学即练2】 5．多项式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是一个（　　） A．四次三项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．三次四项式 【即学即练3】 6．如果多项式（a﹣2）ya﹣yb+x﹣1是关于y的三次多项式，则（　　） A．a＝0，b＝3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝l 【即学即练4】 7．多项式1+2xy﹣3xy2的次数及最高次项的系数分别是（　　） A．3，﹣3 B．2，﹣3 C．5，﹣3 D．3，1 知识点03 整式 1. 整式的概念： 和 统称为整式。简单理解：即分母中不含 的式子叫做整式。 【即学即练1】 8．式子x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，x2+，5x中整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子中，是单项式的是（　　） A． B．﹣xyz2 C． D．p﹣q 【变式1】在式子：，m﹣3，﹣13，﹣，2πb2中，单项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】整式中单项式的个数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 题型02 整式的判断 【典例1】在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2+中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式2】下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 　 　个． 题型03 单项式的系数与次数的判断 【典例1】单项式﹣xy2z3的系数及次数分别是（　　） A．系数是0，次数是5 B．系数是1，次数是6 C．系数是﹣1，次数是5 D．系数是﹣1，次数是6 【变式1】单项式﹣xy3z4的系数及次数分别是（　　） A．系数是0，次数是7 B．系数是1，次数是8 C．系数是﹣1，次数是7 D．系数是﹣1，次数是8 【变式2】若单项式的系数、次数分别是a、b，则（　　） A．a＝，b＝6 B．a＝﹣，b＝6 C．a＝，b＝7 D．a＝﹣，b＝7 【变式3】单项式﹣系数是 　 　，次数是 　 　． 题型04 多项式的项（项数）以及次数的判断 【典例1】多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（　　） A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1 C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1 【变式1】关于多项式x2﹣2x+1的项数及次数，下列说法正确的是（　　） A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是3 C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是3 【变式2】下列关于多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的说法中，正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它是四次两项式 C．它的最高次项是﹣2a2bc D．它的常数项是1 【变式3】对于多项式﹣3x+2xy2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是3 B．最高次项是2xy2 C．常数项是1 D．是四次三项式 题型05 根据单项式的名称求值 【典例1】已知关于x、y的单项式23πx|m+1|y是3次单项式，则m的值为 　 　． 【变式1】已知（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，则m＝　 　． 【变式2】已知（a﹣5）xy|a﹣1|是关于x，y的五次单项式，则这个单项式是 　 　． 【变式3】已知（m+4）4y|m|﹣1是关于x，y的七次单项式，求m2+2m﹣6＝　 　． 题型06 根据多项式的名称求值 【典例1】（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 【变式1】多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次三项式，则m的值是（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．4或﹣4 【变式2】若多项式是关于x的三次三项式，则m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．3或﹣3 【变式3】如果（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣6是关于字母x的三次二项式，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．0 【变式4】若（n+3）x3y2+（m﹣2）x2y|m|+2是关于x，y的4次多项式，则m3﹣mn+n2＝（　　） A．﹣5 B．7 C．11 D．23 题型07 对式子进行升幂或降幂排列 【典例1】将代数式4a2b+3ab2﹣2b3+a3按a的升幂排列的是（　　） A．﹣2b3+3ab2+4a2b+a3 B．a3+4a2b+3ab2﹣2b3 C．4a2b+3ab2﹣2b3+a3 D．4a2b+3ab2+a3﹣2b3 【变式1】将代数式3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3按y的降幂排列是（　　） A．﹣5x3+3x2y+5xy2﹣3y3 B．﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3 C．﹣5x3﹣3y3+3x2y+5xy2 D．3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3 【变式2】把多项式3x2y﹣2xy2+5x3y3﹣y4按字母x的降幂排列是　 　． 【变式3】把2xy3﹣x2y﹣x3y2﹣3按字母y的升幂排列后，其中的第二项是（　　） A．﹣x2y B．2xy3 C．﹣x3y2 D．﹣3 【变式4】把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列． （1）按a升幂排列； （2）按a降幂排列． 1．在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，，5x中，整式有（　　） A．3个 B．1个 C．5个 D．6个 2．对于单项式﹣2πr2的系数、次数分别为（　　） A．﹣2，2 B．﹣2，3 C．﹣2π，2 D．﹣2π，3 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4 B．﹣1是整式 C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1 D．2πR+πR2是三次二项式 4．下列语句中正确的是（　　） A．数字0不是单项式 B．单项式﹣a的系数与次数都是1 C．是二次单项式 D．的系数是 5．下列关于多项式﹣3a2b+ab﹣2的说法中，正确的是（　　） A．最高次数是5 B．最高次项是﹣3a2b C．是二次三项式 D．二次项系数是0 6．关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次四项式 B．四次项的系数是7 C．常数项是1 D．按y降幂排列为﹣7xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1 7．下列说法错误的是（　　） A．多项式1﹣x3+x2是三次三项式 B．﹣x2y3z是六次单项式 C．﹣3x2y+4x﹣1的常数项是﹣1 D．单项式的系数为2 8．如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n的值取（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．若多项式3x|m|+（m+2）x﹣7是关于x的二次三项式，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．以上答案均不对 10．对于多项式a﹣b﹣c+d+e，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：a﹣（﹣b）﹣c+（﹣d）+e＝a+b﹣c﹣d+e．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（　　） ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a﹣b﹣c﹣d﹣e； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式． A．0 B．1 C．2 D．3 11．单项式的系数是　 　，次数是　 　． 12．多项式﹣x2y+x4y2﹣x﹣2的次数是 　次，常数项是 　 　． 13．多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x3项和x2项，则ab＝　 　． 14．单项式﹣amb的次数与多项式a4+2a3﹣1的次数相同，则m的值为 　 　． 15．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是　3n+1　（用含n的代数式表示） 16．如果关于x的多项式mx4+4x2﹣与多项式3xn+5x的次数相同，求n3﹣2n2+3n﹣4的值． 17．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当x＝，y＝﹣1时，求此多项式的值． 18．已知多项式3x2﹣y3﹣5xy2﹣x3﹣1； （1）按x的降幂排列； （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求该多项式的值． 19．观察右边一组单项式：x，﹣3x2，9x3，﹣27x4，… （1）你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律写出第8个单项式； （3）当x＝1和x＝﹣1时分别求出前8项的和． 20．定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”． （1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由； （2）请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝　 　（不多于四项）； （3）如果f1（a，b）和f2（b，a）均为“对称多项式”，那么f1（a，b）+f2（a，b）一定是“对称多项式”吗？如果一定，请说明理由，如果不一定，请举例说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 整式 课程标准 学习目标 ①单项式 ②多项式 ③整式 1. 掌握单项式的概念，单项式的系数、次数，并在题目中熟练对其进行应用。 2. 掌握多项式的概念，多项式的项、多项式的次数，并在解决题目时能够熟练的应用。 3. 掌握整式的概念，并能够熟练的判断。 知识点01 单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 积 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 单项式 。里面只有 乘法 运算。 2. 单项式的系数： 单项式中的 数字因数 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 符号 。特别的，单个的字母的系数为 1或﹣1 。 3. 单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 次数 的和叫做单项式的次数。单项式的次数是几次则就叫做 几次单项式 。没有字母的单项式次数是 0 。 【即学即练1】 1．给出下列式子：，3a，π，，1，3a2+1，1+y．其中单项式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式可得答案． 【解答】解：，3a，π，1是单项式，共4个， 故选：D． 【即学即练2】 2．单项式﹣5ab的系数是　﹣5　，次数是　2　． 【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案． 【解答】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，次数是2， 故答案为：﹣5，2． 【即学即练3】 3．已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　﹣3　． 【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0， 解得，m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 知识点02 多项式 1. 1．多项式的概念： 几个 单项式的和 叫做多项式。 2. 多项式的项： 组成多项式的每一个 单项式 叫做多项式的项。包含单项式前面的 符号 。 3. 多项式的次数： 组成多项式的项中，次数 最高 的项的次数即为多项式的次数。 4. 多项式的命名： 根据多项式的 次数与项数 把多项式命名为几次几项式。 【即学即练1】 4．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（　　） A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5 【分析】根据多项式的定义进行判断即可． 【解答】解：多项式3x2﹣2x+5的各项分别是3x2，﹣2x，5， 故选：A． 【即学即练2】 5．多项式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是一个（　　） A．四次三项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．三次四项式 【分析】利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而分别分析得出答案． 【解答】解：多项式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是一个：四次四项式． 故选：C． 【即学即练3】 6．如果多项式（a﹣2）ya﹣yb+x﹣1是关于y的三次多项式，则（　　） A．a＝0，b＝3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝l 【分析】根据多项式及多项式的次数的定义求解．由于多项式是几个单项式的和，那么此多项式中的每一项都必须是单项式，而整式中的字母可以取任意数，0的0次幂无意义，所以a、b均为正数；又由于多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三次多项式是指次数为3的多项式，则a、b均不大于3；又此多项式中另外的项的次数都小于3，故a、b中至少有一个是3．即a、b的取值都是正整数，且a、b中至少有一个是3．据此选择即可． 【解答】解：A、a＝0时，如果y＝0，那么ya无意义，故错误； B、a＝﹣1时，ya是分式，此时（a﹣2）ya﹣yb+x﹣1不是多项式，故错误； C、正确； D、a＝2，b＝l时，多项式（a﹣2）ya﹣yb+x﹣1是关于y的一次多项式，故错误； 故选：C． 【即学即练4】 7．多项式1+2xy﹣3xy2的次数及最高次项的系数分别是（　　） A．3，﹣3 B．2，﹣3 C．5，﹣3 D．3，1 【分析】根据多项式的相关定义解答即可． 【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，最高次项的系数是﹣3． 故选：A． 知识点03 整式 1. 整式的概念： 单项式 和 多项式 统称为整式。简单理解：即分母中不含 字母 的式子叫做整式。 【即学即练1】 8．式子x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，x2+，5x中整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据单项式与多项式统称为整式，可得答案． 【解答】解：x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，5x是整式， 故选：C． 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子中，是单项式的是（　　） A． B．﹣xyz2 C． D．p﹣q 【分析】根据单项式的概念判断即可． 【解答】解：A、是多项式，不是单项式，故此选项不符合题意； B、﹣xyz2是单项式，故此选项符合题意； C、不是单项式，故此选项不符合题意； D、p﹣q是多项式，不是单项式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】在式子：，m﹣3，﹣13，﹣，2πb2中，单项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用单项式的定义得出答案即可． 【解答】解：，m﹣3，﹣13，﹣，2πb2中， 单项式有：﹣13，﹣，2πb2，共3个． 故选：C． 【变式2】整式中单项式的个数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【解答】解：整式中单项式有：﹣4x2y，0，ab，﹣m， 故单项式的个数是：4． 故选：C． 题型02 整式的判断 【典例1】在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2+中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据整式的定义进行解答． 【解答】解：和分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式． 故选：B． 【变式1】下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案． 【解答】解：整式有﹣mn，m，8，x2+2x+6，，， 故选：C． 【变式2】下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 　5　个． 【分析】根据单项式和多项式统称为整式，从而可以解答此题． 【解答】解：下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x， 属于整式的有：． ，是分式，不是整式． 故答案为：5． 题型03 单项式的系数与次数的判断 【典例1】单项式﹣xy2z3的系数及次数分别是（　　） A．系数是0，次数是5 B．系数是1，次数是6 C．系数是﹣1，次数是5 D．系数是﹣1，次数是6 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义可知： 单项式﹣xy2z3的系数是﹣1，次数是1+2+3＝6． 故选：D． 【变式1】单项式﹣xy3z4的系数及次数分别是（　　） A．系数是0，次数是7 B．系数是1，次数是8 C．系数是﹣1，次数是7 D．系数是﹣1，次数是8 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：单项式﹣xy3z4的系数是﹣1，次数1+3+4＝8， 故选：D． 【变式2】若单项式的系数、次数分别是a、b，则（　　） A．a＝，b＝6 B．a＝﹣，b＝6 C．a＝，b＝7 D．a＝﹣，b＝7 【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，分别得出答案． 【解答】解：单项式的系数、次数分别是a、b， 则a＝﹣，b＝6． 故选：B． 【变式3】单项式﹣系数是 　﹣　，次数是 　4　． 【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法分析得出答案． 【解答】解：单项式﹣系数是﹣，次数是4． 故答案为：﹣，4． 题型04 多项式的项（项数）以及次数的判断 【典例1】多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（　　） A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1 C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1 【分析】根据多项式项的定义求解． 【解答】解：多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是：3x2，﹣2x，﹣1． 故选：D． 【变式1】关于多项式x2﹣2x+1的项数及次数，下列说法正确的是（　　） A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是3 C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是3 【分析】根据多项式的项数和次数的定义判断即可． 【解答】解：多项式x2﹣2x+1的项数是3，次数是2， 故选：C． 【变式2】下列关于多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的说法中，正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它是四次两项式 C．它的最高次项是﹣2a2bc D．它的常数项是1 【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．据此作答即可． 【解答】解：多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的次数是4，有3项，是四次三项式，故A、B错误； 它的最高次项是﹣2a2bc，故C正确； 它常数项是﹣1，故D错误． 故选：C． 【变式3】对于多项式﹣3x+2xy2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是3 B．最高次项是2xy2 C．常数项是1 D．是四次三项式 【分析】根据多项式的项和次数的定义进行判断． 【解答】解：多项式﹣3x+2xy2﹣1， A、一次项系数是﹣3，故此选项错误； B、最高次项是2xy2，此选项正确； C、常数项是﹣1，故此选项错误； D、是三次三项式，故此选项错误． 故选：B． 题型05 根据单项式的名称求值 【典例1】已知关于x、y的单项式23πx|m+1|y是3次单项式，则m的值为 　﹣3或1　． 【分析】根据单项式的次数的概念列式计算即可． 【解答】解：∵单项式23πx|m+1|y是3次单项式， ∴|m+1|+1＝3， 解得：m＝﹣3或1， 故答案为：﹣3或1． 【变式1】已知（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，则m＝　﹣2　． 【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可． 【解答】解：∵（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式， ∴|m|+1+3＝6且m﹣2≠0， ∴m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式2】已知（a﹣5）xy|a﹣1|是关于x，y的五次单项式，则这个单项式是 　﹣8xy4　． 【分析】根据单项式的定义列出方程求出a的值，再代入求解即可． 【解答】解：∵是关于x，y的五次单项式， ∴|a﹣1|+1＝5，且a﹣5≠0， 整理得：a﹣1＝±4且a≠5， 解得：a＝﹣3，a＝5（舍）， 把a＝﹣3代入单项式中， ∴单项式为：﹣8xy4． 故答案为：﹣8xy4． 【变式3】已知（m+4）4y|m|﹣1是关于x，y的七次单项式，求m2+2m﹣6＝　18　． 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵（m+4）4y|m|﹣1是关于x，y的七次单项式， ∴4+|m|﹣1＝7且m+4≠0， 解得：m＝4， ∴m2+2m﹣6＝16+8﹣6＝18． 故答案为：18． 题型06 根据多项式的名称求值 【典例1】（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 【分析】根据多项式的次数的定义来解题．要先找到题中的等量关系，然后列出方程求解． 【解答】解：∵（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式， ∴不含x3项，即|k|﹣2＝0且k﹣2≠0， 解得：k＝﹣2； 故k的值是﹣2． 故选：B． 【变式1】多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次三项式，则m的值是（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．4或﹣4 【分析】根据多项式的定义以及性质即可求出m的值． 【解答】解：∵多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次三项式， ∴， 解得m＝﹣4， 故选：C． 【变式2】若多项式是关于x的三次三项式，则m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．3或﹣3 【分析】根据多项式的概念可列出关于m的方程，从而可求出m的值． 【解答】解：由题意可知：|m|＝3且m﹣3≠0， ∴m＝±3且m≠3， ∴m＝﹣3， 故选：B． 【变式3】如果（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣6是关于字母x的三次二项式，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．0 【分析】根据多项式及其次数的定义、绝对值解决此题． 【解答】解：由题意得：k﹣2≠0且|k|﹣2＝0． ∴k≠2且k＝±2． ∴k＝﹣2． 故选：B． 【变式4】若（n+3）x3y2+（m﹣2）x2y|m|+2是关于x，y的4次多项式，则m3﹣mn+n2＝（　　） A．﹣5 B．7 C．11 D．23 【分析】依据题意，利用多项式的次数为4与系数不为零构造方程，解方程即可． 【解答】解：（n+3）x3y2+（m﹣2）x2y|m|+2是关于x，y的4次多项式， ∴． 解得， ∴m3﹣mn+n2＝（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣3）+（﹣3）2＝﹣8﹣6+9＝﹣5， 故选：A． 题型07 对式子进行升幂或降幂排列 【典例1】将代数式4a2b+3ab2﹣2b3+a3按a的升幂排列的是（　　） A．﹣2b3+3ab2+4a2b+a3 B．a3+4a2b+3ab2﹣2b3 C．4a2b+3ab2﹣2b3+a3 D．4a2b+3ab2+a3﹣2b3 【分析】根据多项式的项的定义，可知本多项式的项为4a2b，3ab2，﹣2b3，a3，再由加法的交换律及多项式的升幂排列得出结果． 【解答】解：多项式4a2b+3ab2﹣2b3+a3的各项为4a2b，3ab2，﹣2b3，a3． 按字母a升幂排列为：﹣2b3+3ab2+4a2b+a3． 故选：A． 【变式1】将代数式3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3按y的降幂排列是（　　） A．﹣5x3+3x2y+5xy2﹣3y3 B．﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3 C．﹣5x3﹣3y3+3x2y+5xy2 D．3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3 【分析】根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来． 【解答】解：3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3＝﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3． 故选：B． 【变式2】把多项式3x2y﹣2xy2+5x3y3﹣y4按字母x的降幂排列是　5x3y3+3x2y﹣2xy2﹣y4　． 【分析】根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从大到小的顺序排列起来即可． 【解答】解：多项式3x2y﹣2xy2+5x3y3﹣y4按字母x的降幂排列是5x3y3+3x2y﹣2xy2﹣y4． 故答案为：5x3y3+3x2y﹣2xy2﹣y4． 【变式3】把2xy3﹣x2y﹣x3y2﹣3按字母y的升幂排列后，其中的第二项是（　　） A．﹣x2y B．2xy3 C．﹣x3y2 D．﹣3 【分析】把2xy3﹣x2y﹣x3y2﹣3按字母y的升幂排列后，即可解答． 【解答】解：把2xy3﹣x2y﹣x3y2﹣3按字母y的升幂排列后， 即为：﹣3﹣x2y﹣x3y2+2xy3， 其中的第二项是﹣x2y， 故选：A． 【变式4】把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列． （1）按a升幂排列； （2）按a降幂排列． 【分析】根据多项式升幂排列是字母的指数逐渐增大，降幂排列是字母的指数逐渐减小，可得答案． 【解答】解：（1）多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的升幂排列是﹣b3+3ab2﹣3a2b+a3； （2）按a的降幂排列的是a3﹣3a2b+3ab2﹣b3． 1．在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，，5x中，整式有（　　） A．3个 B．1个 C．5个 D．6个 【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式．据此解答． 【解答】解：代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，，5x中， 整式有：x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，5x，共5个， 故选：C． 2．对于单项式﹣2πr2的系数、次数分别为（　　） A．﹣2，2 B．﹣2，3 C．﹣2π，2 D．﹣2π，3 【分析】根据单项式的系数是值单项式的数字因数，是﹣2π；单项式的次数是指单项式中所含字母的指数的和，是2． 【解答】解：单项式﹣2πr2的系数是﹣2π，次数是2， 故选：C． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4 B．﹣1是整式 C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1 D．2πR+πR2是三次二项式 【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A，根据整式的定义，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D． 【解答】解：A、﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4，故A正确； B、﹣1是整式，故B正确； C、6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1，故C正确； D、2πR+πR2是二次二项式，故D错误； 故选：D． 4．下列语句中正确的是（　　） A．数字0不是单项式 B．单项式﹣a的系数与次数都是1 C．是二次单项式 D．的系数是 【分析】根据单项式系数、次数的定义求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，单独一个数字也是单项式． 【解答】解：A、数字0是单项式，说法不正确的，不符合题意． B、单项式﹣a的系数是﹣1，次数是1，说法不正确，不符合题意． C、是二次单项式，说法正确，符合题意． D、的系数是，说法不正确，不符合题意． 故选：C． 5．下列关于多项式﹣3a2b+ab﹣2的说法中，正确的是（　　） A．最高次数是5 B．最高次项是﹣3a2b C．是二次三项式 D．二次项系数是0 【分析】直接利用多项式的相关定义进而分析得出答案． 【解答】解：A、多项式﹣3a2b+ab﹣2次数是3，故此选项错误； B、最高次项是﹣3a2b，故此选项正确； C、是三次三项式，故此选项错误； D、二次项系数是1，故此选项错误； 故选：B． 6．关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次四项式 B．四次项的系数是7 C．常数项是1 D．按y降幂排列为﹣7xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1 【分析】根据多项式的概念即可求出答案． 【解答】解：该多项式四次项是﹣7xy3，其系数为﹣7， 故选：B． 7．下列说法错误的是（　　） A．多项式1﹣x3+x2是三次三项式 B．﹣x2y3z是六次单项式 C．﹣3x2y+4x﹣1的常数项是﹣1 D．单项式的系数为2 【分析】直接利用多项式以及单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【解答】解：A、多项式1﹣x3+x2是三次三项式，正确，不合题意； B、﹣x2y3z是六次单项式，正确，不合题意； C、﹣3x2y+4x﹣1的常数项是﹣1，正确，不合题意； D、单项式的系数为：﹣，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n的值取（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出n的值即可． 【解答】解：∵单项式2anb2c是六次单项式， ∴n+2+1＝6， 解得：n＝3， 故n的值取3． 故选：D． 9．若多项式3x|m|+（m+2）x﹣7是关于x的二次三项式，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．以上答案均不对 【分析】根据多项式次数及项数的定义，可得|m|＝2，m+2≠0，解出即可． 【解答】解：∵多项式3x|m|+（m+2）x﹣7是关于x的二次三项式， ∴， 解得：m＝2． 故选：A． 10．对于多项式a﹣b﹣c+d+e，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：a﹣（﹣b）﹣c+（﹣d）+e＝a+b﹣c﹣d+e．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（　　） ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a﹣b﹣c﹣d﹣e； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由题目给出的概念：“加负运算”，即可求解． 【解答】解：①乙同学第一次对a，d“加负运算”得到﹣a﹣b﹣c﹣d+e，第二次对a，e“加负运算”得到a﹣b﹣c﹣d﹣e，正确，故①符合题意； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，正确，故②符合题意； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到4+3+2+1＝10个不同的代数式，故③不符合题意． 故选：C． 11．单项式的系数是　　，次数是　3　． 【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，次数是所有字母的指数和从而可得出答案． 【解答】解：单项式的系数是：﹣，次数是3． 故答案为：﹣，3． 12．多项式﹣x2y+x4y2﹣x﹣2的次数是 　6　次，常数项是 　﹣2　． 【分析】先根据多项式次数和常数项的定义，找出多项式各项的次数，然后判断多项式的次数和常数项即可． 【解答】解：∵多项式﹣x2y+x4y2﹣x﹣2共有四项组成，的次数是3，的次数是6，﹣x的次数为1， ∴多项式﹣x2y+x4y2﹣x﹣2的次数是6次，常数项为﹣2， 故答案为：6，﹣2． 13．多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x3项和x2项，则ab＝　﹣2　． 【分析】多项式中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，列出关于a，b等式，求出后再求代数式值． 【解答】解：∵多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x2、x3项， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣1，b＝2． ∴ab＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．单项式﹣amb的次数与多项式a4+2a3﹣1的次数相同，则m的值为 　3　． 【分析】由单项式的次数为所有字母的指数和，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数得出m+1＝4，求出m的值即可． 【解答】解：∵单项式﹣amb的次数与多项式a4+2a3﹣1的次数相同， ∴m+1＝4， ∴m＝3． 故答案为：3． 15．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是　3n+1　（用含n的代数式表示） 【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律． 【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”， ∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1 故答案为：3n+1 16．如果关于x的多项式mx4+4x2﹣与多项式3xn+5x的次数相同，求n3﹣2n2+3n﹣4的值． 【分析】分别利用当m≠0，n＝4，以及当m＝0，n＝2，进而求出即可． 【解答】解：∵关于x的多项式mx4+4x2﹣与多项式3xn+5x的次数相同， ∴当m≠0，n＝4，故n3﹣2n2+3n﹣4＝8， 当m＝0，n＝2，故n3﹣2n2+3n﹣4＝﹣2， 综上所述：n3﹣2n2+3n﹣4的值为8或﹣2． 17．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当x＝，y＝﹣1时，求此多项式的值． 【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将x，y的值代入求出答案． 【解答】解：（1）∵多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于xy四次三项式， ∴|m|﹣2+3＝4，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， （2）当x＝，y＝﹣1时，此多项式的值为： ﹣6××（﹣1）3+（）2×（﹣1）﹣2××（﹣1）2 ＝9﹣﹣3 ＝． 18．已知多项式3x2﹣y3﹣5xy2﹣x3﹣1； （1）按x的降幂排列； （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求该多项式的值． 【分析】（1）按照x的次数，从高到低的顺序排列即可； （2）将x＝﹣1，y＝﹣2代入计算即可． 【解答】解：（1）﹣x3+3x2﹣5xy2﹣y3﹣1； （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时， 原式＝﹣（﹣1）3+3×（﹣1）2﹣5×（﹣1）×（﹣2）2﹣（﹣2）3﹣1 ＝1+3+20+8﹣1 ＝31． 19．观察右边一组单项式：x，﹣3x2，9x3，﹣27x4，… （1）你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律写出第8个单项式； （3）当x＝1和x＝﹣1时分别求出前8项的和． 【分析】（1）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，﹣3的指数为（n﹣1）． （2）根据第一题得到的规律即可写出第八个单项式； （3）计算当x＝1和x＝﹣1时每一项的值然后相加即可． 【解答】解：（1）n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，﹣3的指数为（n﹣1）， 第n个单项式为（﹣3）n﹣1xn． （2）第8个单项式为（﹣3）7x8； （3）当x＝1时，前8项的和为1﹣3+9﹣27+81﹣243+729﹣2187＝﹣1640 当x＝﹣1时，前8项的和为﹣1﹣3﹣9﹣27﹣81﹣243﹣729﹣2187＝﹣3280 20．定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”． （1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由； （2）请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝　a+b，答案不唯一　（不多于四项）； （3）如果f1（a，b）和f2（b，a）均为“对称多项式”，那么f1（a，b）+f2（a，b）一定是“对称多项式”吗？如果一定，请说明理由，如果不一定，请举例说明． 【分析】（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可判断； （2）根据定义即可写出，答案不唯一； （3）根据两个多项式的和不一定是多项式即可判断． 【解答】解：（1）∵f（b，a）＝a2﹣2ab+b2， 则f（a，b）＝f（a，b），故f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”； （2）f（a，b）＝a+b，答案不唯一 故答案为：a+b，答案不唯一； （3）不一定是，原因：当f1（a，b）＝a+b，f2＝﹣a﹣b，都是对称多项式， 而f1（a，b）+f2（a，b）＝0，是单项式，不是多项式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $