精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题

邢台一中2024—2025学年第一学期开学考试 高二年级数学试题 考试范围：必修二 命题人：黄彦芳 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘除法运算化简. 【详解】. 故选：A. 2. 若向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出、，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，， 所以， 所以原图形的周长为． 故选：C. 4. 设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若平面，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断B；线面垂直的性质定理可判断A；由线面平行的判定定理可判断C,应用面面关系判断D. 【详解】对于A，因为平面，，所以平面，又因为，所以，故A正确； 对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则,故C正确； 对于D，若，，，则可以相交但是不垂直, 故D错误. 故选：D. 5. 已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 第35百分位数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确； 原数据中，，第35百分位数是第4个数据， 去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个， 第35百分位数不变，B选项正确； 原来的平均数为， 去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确； 原来的方差为， 去掉后，的方差为， 方差变小，故D选项错误. 故选：D. 6. 中，已知，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和差余弦公式二倍角公式化简得到，再根据正弦定理化角为边，化简可得结论得到答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 所以，，， 所以，可化为，即， ，可化为， 所以，故， 所以，即， 所以为直角三角形. 故选：A. 7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可； 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 8. 若O是的外心，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义将向量全部转化为三角形边角的关系，结合基本不等式求解. 【详解】设 由， 可得, 化简得， 若O是的外心，O是三边中垂线的交点，得 代入上式得， 所以， 根据题意知，是三角形外接圆的半径， 可得 所以 因为所以， 所以,当且仅当时取等号， 所以当且仅当时取最值. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数的命题正确的有（ ） A. 若复数，则， B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的分类即可判断AB，根据复数的乘法和模长的计算可判断C，根据模长公式和复数的乘方即可判断D. 【详解】由复数定义可知，若复数，这两个复数能比大小，则，， A选项正确； 若复数为纯虚数，则，则，B选项错误； 若，则有，即或，所以或，C选项正确； 若，则不一定成立，比如， 满足，但，不满足，D选项错误． 故选：AC． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D. 若事件相互独立，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABC的正误，根据独立事件的性质及概率公式计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因，故是相互独立事件，故A正确. 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件第一个骰子的点数为奇数， 事件第二个骰子点数为奇数，事件两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，B错误； 对于C，若事件相互独立与互斥同时成立，则 而，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故C正确. 对于D，由，，则，， 又事件，相互独立， 则 ， 故D选项正确； 故选：ACD. 11. 在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（ ） A. 若，则点到平面的距离为 B. 若，则四面体的体积是定值 C. 若，则点的轨迹长为 D. 若，，则存在点，使得的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件确定点的轨迹，证明点到平面的距离为点到平面的，由此判断A，由可得点的轨迹为，结合锥体体积求法即可判断B；由条件确定点的轨迹，由扇形弧长公式即可判断C；把沿着进行翻折，使得四点共面，结合平面几何知识可求的最小值，判断D. 【详解】对于A，如图，连接，点为线段的中点，点为线段的中点， 则，， 因为，， 所以， 则，又， 所以点的轨迹为线段， 因为，， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 又为， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， 连接，，记其交点为， 因为底面是菱形， 所以， 由已知平面，平面， 所以， ，平面， 所以平面， 因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，又， 所以，所以， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为，A错误； 对于B，连接，由得点在线段上， 由为直四棱柱得，，又， 所以的面积为定值，又点平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值， 所以四面体的体积是定值，故B正确； 对于C，如图，在平面中作，垂足为， 由已知得，平面，且平面， 所以，又平面，且， 所以平面， 因为底面是菱形，， 所以，， 在中，因为，所以， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 设此圆与交于点，因为，且， 所以，则点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，若，则点与点重合， 把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值， 在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合所给条件，结合线面位置关系，确定点的轨迹. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 【答案】26 【解析】 【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可. 【详解】中，，,.所以. 在中，运用正弦定理，可得，代入值求得， 由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米. 故答案为：26. 13. 在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为__________（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为__________． 【答案】 ①. 六边形 ②. 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积. 【详解】如图，分别取、、的中点为、、， 连接，则由正方体的结构特征可知： ，且， 又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形是正方体中过点E，F，G的截面, 所以过点E，F，G的截面图形为六边形. 因为， 所以六边形是棱长为的正六边形， 如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为， 故由正三角形面积公式得截面图形的面积为. 故答案为：六边形；. 14. A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是___________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为，则为圆的一条直径，故为的中点， 所以，， 所以 ， ， 当且仅当共线且同向时，等号成立． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 【答案】（1），75； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有，解得， 因为， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，， 所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 16. 如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且. （1）若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示； （2）求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可. （2）首先设，，得到，再结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 如图所示： ， ； 【小问2详解】 因为， 设，，则， 所以 ， ∵，故的取值范围是. 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求六面体的体积. 【答案】（1） 连接，由四边形是正方形，故， 又平面，平面，故， 由，，平面，故平面， 又为棱的中点，，故， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，故， 所以，，，四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理与判定定理可得平面，再借助面面垂直性质定理可得平面，即可得，即可得证； （2）结合题意，借助线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可得，即可得四边形为矩形，最后借助割补法分别计算出与即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，连接，则， 又平面，平面，则平面， 又因为六面体，平面平面， 又平面，故，则四边形为矩形， 且平面，故， 则. 18. 如图，在中，，，，为内一点，. （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过解直角三角形可得，再利用余弦定理可求； （2）利用正弦定理结合三角变换可得，根据正弦函数的性质可求线段和的取值范围； （3）利用正弦定理结合三角变换公式可求的值. 【小问1详解】 由已知，所以，故. 在中，由余弦定理得，故. 【小问2详解】 设，则. 根据题意知道，. 则. 由于，则， 则， 则，则的取值范围. 【小问3详解】 设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且. （1）当点A的曲率为时证明： ①CN⊥平面； ②平面平面. （2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）①由直棱柱的性质可得，，再由点的曲率可求出，则为等边三角形，所以，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；由①知平面，则平面.又平面，所以平面平面； （2）根据曲率为，得出线面垂直⊥平面，进而得出平面，得出面面垂直即得二面角为得出正弦值为1. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为， 所以. ①因为，所以为正三角形. 因为N为AB的中点，所以. 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，、平面，所以平面. ②取的中点D，连接DM，DN. 因为N为AB的中点， 所以且.. 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则 由（1）知平面，则平面. 又平面， 所以平面平面 【小问2详解】 当点A的曲率为时，易得， 所以，，，由勾股定理得， 又，，平面得，平面， ∵平面， 所以，且平面， ∴平面， 因为平面， ∴平面平面，即二面角的平面角为，则. 所以二面角的正弦值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2024—2025学年第一学期开学考试 高二年级数学试题 考试范围：必修二 命题人：黄彦芳 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 4. 设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若平面，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 第35百分位数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变 6. 中，已知，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若O是的外心，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数的命题正确的有（ ） A. 若复数，则， B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D. 若事件相互独立，，，则 11. 在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（ ） A. 若，则点到平面的距离为 B. 若，则四面体的体积是定值 C. 若，则点的轨迹长为 D. 若，，则存在点，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 13. 在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为__________（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为__________． 14. A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 16. 如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且. （1）若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示； （2）求的取值范围. 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求六面体的体积. 18. 如图，在中，，，，为内一点，. （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）若，求. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且. （1）当点A的曲率为时证明： ①CN⊥平面； ②平面平面. （2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $