精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级上学期入学考试数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度第一学期练习卷1 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 2. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°时，∠3和∠4的度数分别是（ ） A. 58°，122° B. 45°，68° C. 45°，58° D. 45°，45° 7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 8. 为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的是（ ） A. 本次调查的样本容量是 B. 选“责任”的有人 C. 扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为 D. 选“感恩”的人数最多 9. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A. x≥11 B. 11≤x＜23 C. 11＜x≤23 D. x≤23 10. 如图所示，是 三内角平分线的交点，于E，延长线交 于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 12. 如图，已知在 中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 13. 已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD=_______． 14. 已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是________ 15. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 16. 阅读下面求（m 0）近似值的方法，回答问题： ①任取正数a1 ； ②令a2＝（a1+），则 a2； ③a3＝（a2+），则 a3； …以此类推n次，得到 an． 其中an称为的n阶过剩近似值，称为的n阶不足近似值． 仿照上述方法，求的近似值． ①取正数a1＝2 ． ②于是a2＝_____； ③的3阶过剩近似值a3是_____． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 计算： 18. （1）解方程组： （2）解不等式组： 19. 如图， 的顶点都在格点上，已知点的坐标为． （1）平移 ，使点 与点 重合，作出平移后的，并写出点，的坐标． （2）写出 内一点平移后的对应点的坐标． （3）求 的面积． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 21. 如图，在中，AB=AC，是过点A的一直线，且B，C在AE的两侧， 于D， 于E． （1）求证： （2）若DE=3，CE=2，求BD． 22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 23. 如图，点 为线段 上一点，分别以、 为边在 同侧作等边三角形和等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）若为的边上的中线，求证：． 24. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． （1）已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； （2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 25. 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点， 交于点 ，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点 ，连接并延长交于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024—2025学年度第一学期练习卷1 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 2. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在 中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°时，∠3和∠4的度数分别是（ ） A. 58°，122° B. 45°，68° C. 45°，58° D. 45°，45° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论． 【详解】∵EG∥FH，∠1=45°， ∴∠3=∠1=45°． ∵AB∥CD，∠2=122°， ∴∠ECD=180°﹣122°=58°． ∵CE∥DF， ∴∠4=∠ECD=58°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意可知上一排依次表示第一个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，下一排依次表示第二个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，据此即可得解．审清题意是解题的关键． 【详解】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故选：A． 8. 为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的是（ ） A. 本次调查的样本容量是 B. 选“责任”的有人 C. 扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为 D. 选“感恩”的人数最多 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形统计图与扇形统计图中的相关数据进行计算并逐一判断即可得解． 【详解】A.由统计图可知“奉献”对应的人数是108人，所占比为18%，则调查的样本容量是，故A选项正确； B.根据扇形统计图可知“责任”所对的圆心角是，则所对人数为人，故B选项正确； C.根据条形统计图可知“生命”所对的人数为132人，则所对的圆心角是，故C选项错误； D.根据“敬畏”占比为16%，则对应人数为人，则“感恩”的人数为人，人数最多，故D选项正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过条形统计图与扇形统计图之间各部分数量与占比的关系对总体，未知部分对应数量以及对应圆心角的求解，数量掌握相关计算方法是解决本题的关键． 9. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A. x≥11 B. 11≤x＜23 C. 11＜x≤23 D. x≤23 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据运算程序，得到第一次结果小于95，第二次运算结果小于等于95 第三次运算结果大于95可得不等式组， 解不等式①得，x<47； 解不等式②得，x≤23； 解不等式③得，x>11， 所以不等式组的解集为11<x≤23， 即x的取值范围是11<x≤23． 故选C 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目所给的信息，并运用运输程序并列出不等式组是解题的关键． 10. 如图所示，是 三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理，三角形外角和定理，全等三角形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵是 三内角平分线的交点， ∴， ∵，， ∴， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴，即①成立； ∵是 三内角平分线的交点， ∴点到三角形三边距离相等， ∴，即②成立； 如图，过点作与点，与点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同理， ∴， ∴，即③成立； 由③证得：， ∵， ∴和不一定全等， ∴不一定等于， ∴，即④错误， 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据不同象限内点的坐标的特征，得到点所在的象限，熟练掌握各象限内点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即可得到点P的横坐标恒为正数，纵坐标为负数， ∴该点在第四象限， 故答案为：四． 12. 如图，已知在 中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 13. 已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD=_______． 【答案】2 【解析】 【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，可证明△ADB≌△EDC，从而有EC=AB=4，即有：4-2<AE<4+2，然后确定AD的取值范围，从而确定AD的值． 【详解】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，如图 ∵D是BC的中点 ∴BD=CD 在△ADB与△EDC中 ∴△ADB≌△EDC ∴EC=AB=4 ∵AC=2 ∴ 4-2<AE<4+2 即 2<AE<6 ∵AE=2AD ∴1<AD<3 ∵AD为整数 ∴AD=2 【点睛】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法． 14. 已知关于的不等式组 无解，则 的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先求得两个不等式中x的取值范围，再根据无解，得到a的取值范围. 【详解】 解不等式①得：x>a, 解不等式②得:x≤3, 又∵关于x的不等式组 无解， ∴. 故答案是：. 【点睛】考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能得出关于a的不等式或不等式组是解此题的关键. 15. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 【答案】2009 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 16. 阅读下面求（m0）近似值的方法，回答问题： ①任取正数a1； ②令a2＝（a1+），则a2； ③a3＝（a2+），则a3； …以此类推n次，得到an． 其中an称为的n阶过剩近似值，称为的n阶不足近似值． 仿照上述方法，求的近似值． ①取正数a1＝2． ②于是a2＝_____； ③的3阶过剩近似值a3是_____． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据材料中的公式，将a1的值代入求出a2，a3即可解答． 【详解】解：a2＝（a1+）＝ ， =， a3＝（a2+）＝， 所以的3阶过剩近似值a3是 故答案为：②3；③． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，是阅读型问题，解决此类问题时，要认真阅读材料，根据材料中的步骤逐步计算． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，绝对值的意义二次根式的加减运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再求出其公共解集． 本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）， 得，， ∴ ， 把 代入得：， ∴， ∴方程组的解为：； （2）， 解不等式得： ， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 如图， 的顶点都在格点上，已知点的坐标为． （1）平移 ，使点 与点重合，作出平移后的，并写出点，的坐标． （2）写出 内一点平移后的对应点的坐标． （3）求 的面积． 【答案】（1） （2）， （3）9 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换以及平移的性质，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）依据点 与点重合，即可得到平移的方向和距离，进而作出平移后的，并写出点的坐标． （2）依据平移的性质，即可得到的平移过程与三角形平移过程一致，由此即可解题． （3）根据网格的特点用割补法求三角形面积即可. 【小问1详解】 解：，； ∴如图，即为所求，点的坐标为的坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知： 向下平移4个单位、向左平移3个单位得到 根据平移的性质得： 内一点平移后的对应点的坐标． 【小问3详解】 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 21. 如图，在中，AB=AC，是过点A的一直线，且B，C在AE的两侧， 于D， 于E． （1）求证： （2）若DE=3，CE=2，求BD． 【答案】（1）见解析；（2）BD=5． 【解析】 【分析】（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE； （2）因为BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°， （2）因为 所以BD=AE，AD=CE 因为DE=3，CE=2 所以AE=AD+DE=CE+DE=2+3=5 所以BD=AE=5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用 单价 数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 23. 如图，点 为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）若为的边上的中线，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、平行线的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）延长、交于点，根据可得，根据平行线的性质，结合为的边上的中线，利用证明，进而可得，，利用证明，得出，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在 和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，延长、交于点， ∵， ∴， ∴， ∵为的边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 24. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． （1）已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； （2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【答案】（1）方程的解是的“理想解” （2） （3）M的值为19或或26 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． 【点睛】本题主要考查了不等式（组）的解法，一次方程的解法，新定义，解题的关键是根据新定义，正确建立新的不等式组． 25. 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点， 交于点 ，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点 ，连接并延长交于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是定值，且 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； （2）延长与交于点，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，根据，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：设，， ∵平分，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得： ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：延长与交于点，如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是定值，且． 在上截取，则是的垂直平分线，如下图： ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $