精品解析：浙江省绍兴市嵊州市蒋镇学校2022-2023学年八年级下学期期末模考数学试题(一)

蒋镇学校2022~2023学年八年级（下）期末模考 数学试卷 姓名 班级 学号 得分 一、选择题．（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 若为二次根式，则为（ ） A. 正数和零 B. 负数 C. 只有零 D. 全体实数 2. 抢微信红包已成为中国传统节日人们最喜爱的祝福方式，今年端午节期间，某人在自己的微信群中发出红包，一共有10名好友抢到红包，抢到红包的金额情况如下表： 金额（元） 4 4.5 5 5.5 6 8 人数（人） 1 3 2 1 2 1 则10名好友抢到金额的众数、中位数分别是（　　） A. 4.5，5 B. 4.5，6 C. 8，4.5 D. 5，4.5 3. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 4. 关于x的一元二次方程 的一个根是，则m的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（ ） A. 甲 B. 一样 C. 乙 D. 不能确定 6. 如图，在 中P是边上一点，且和分别平分 和 ，若，，则的周长是（ ） A. 18 B. 24 C. 23 D. 14 7. 根据特殊四边形的定义，在图中的括号内①、②、③、④处应填写的内容是（ ） A. 平行四边形；一个角为60°；矩形；一组邻边相等 B. 平行四边形；一组邻边相等；矩形；一组邻边相等 C. 矩形；一个角为60°；平行四边形；一组邻边相等 D. 矩形；一组邻边相等；平行四边形；一组邻边相等 8. 如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若 ，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（ ） A. 9 B. C. D. 二、填空题．（本题有8小题，每小题3分，共24分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内．） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是___． 12. 已知关于 的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 13. 若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为_____． 14. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多 ，求这个多边形的边数为_________． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 16. 在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③ ；④ ．一定成立的是_____（填写序号即可）． 17. 如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝（x＞0）的图象相切于点C．则切点C的坐标是___________． 18. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 三、解答题．（本大题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 19. 计算： （1）． （2）设6-的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 20. 已知一元二次方程2x2－4x＋1＝0． （1）解这个方程； （2）设x1和x2是该方程的两个根，且x1＞x2，求2x1－2x2的值． 21. 为了加强对青少年的消防安全教育，11月底我校开展了应急疏散消防演练并进行安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：87、99、86、89、91、91、95、96、87、97、91、97、96、86、96、89、100、91、99、97 成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生人数（人） 2 2 2 4 1 3 3 2 1 （1）众数： 分；中位数： 分． （2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率； （3）请估计我校1200名学生中成绩达到95分及以上的学生人数． 22. 已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； （2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根． 23. 矩形中， ，，点E是线段上一动点．点F在线段上． （1）沿折叠，使A落在边上的G处（如图），若 ，求的长； （2）若按折叠后，点A落在矩形的边上，求的长度范围． 24. 【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、 、．当 ，，时，求 的度数． 【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得． 请利用小明的作法及结论求 的度数． 【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、 、．若，，，则______°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒋镇学校2022~2023学年八年级（下）期末模考 数学试卷 姓名 班级 学号 得分 一、选择题．（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 若为二次根式，则为（ ） A. 正数和零 B. 负数 C. 只有零 D. 全体实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义， ． 【详解】解：根据二次根式的定义， ； 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 2. 抢微信红包已成为中国传统节日人们最喜爱的祝福方式，今年端午节期间，某人在自己的微信群中发出红包，一共有10名好友抢到红包，抢到红包的金额情况如下表： 金额（元） 4 4.5 5 5.5 6 8 人数（人） 1 3 2 1 2 1 则10名好友抢到金额的众数、中位数分别是（　　） A. 4.5，5 B. 4.5，6 C. 8，4.5 D. 5，4.5 【答案】A 【解析】 【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解． 【详解】解：由表可知4.5元出现的次数最多， ∴众数为4.5元， ∵第5、6个数据为5，5， ∴中位数为5元， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 3. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4. 关于x的一元二次方程 的一个根是，则m的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程 中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：把代入方程 中得： ，解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 5. 如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（ ） A. 甲 B. 一样 C. 乙 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案． 【详解】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ∴甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， ∴， ∴甲的成绩更稳定． 故选：A 【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差． 6. 如图，在 中P是边上一点，且和分别平分 和 ，若，，则的周长是（ ） A. 18 B. 24 C. 23 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB＋∠CBA＝180°，再证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，然后证∠APB＝90°，最后由勾股定理求出BP＝6，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝（∠DAB＋∠CBA）＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°−（∠PAB＋∠PBA）＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴， ∴C△APB＝6＋8＋10＝24，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，根据题目中的已知条件求出DP、CP的长度是解题的关键． 7. 根据特殊四边形的定义，在图中的括号内①、②、③、④处应填写的内容是（ ） A. 平行四边形；一个角为60°；矩形；一组邻边相等 B. 平行四边形；一组邻边相等；矩形；一组邻边相等 C. 矩形；一个角为60°；平行四边形；一组邻边相等 D. 矩形；一组邻边相等；平行四边形；一组邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定即可得出结果． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．有一组邻边相等的矩形是正方形 故答案为：平行四边形，一组邻边相等，矩形，一组邻边相等． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，熟练掌握其判定是解此题的关键． 8. 如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【详解】解；梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若 ，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，先解直角三角形求得AE=DE．设DE=m，则D（1+m，m），代入反比例函数解析式，求得点Ｄ坐标为D(，)，再证△CBG≌△DAE（AAS）得CG=DE=，BG=AE=-1=，所以xC=xB+，yC=yB+，代入反比例函数解析式得，，再解直角三角形求得yB=(1-xB)=-xB，代入得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G， ∵∠BAO=60°，∠BAD=90°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=DE． 设DE=m，则D（1+m，m）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴，即， 解得；m=或m=-(不符合题意，舍去)， ∴D(，)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD BC，AD=BC， ∴∠CBG=∠DAF， ∵∠CGB＝∠DFA， ∴△CBG≌△DAF（AAS）， ∴FG=DF=，BG=AF=-1=， ∴xC=xB+，yC=yB+， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∵∠BAO=60°， ∴yB=(1-xB)=-xB， ∴， 解得：xB=-1或xB=1(不符合题意，舍去)， ∴yB=2， ∴B(-1，2)， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，用点B的坐标表示出点C坐标是解题的关键． 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，根据勾股定理可得，同理即可求得的长． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴， 同理，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，直角三角形的性质，找出图形的变化规律是解决本题的关键． 二、填空题．（本题有8小题，每小题3分，共24分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内．） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是___． 【答案】x＞﹣1. 【解析】 【分析】根据负数没有平方根，求出x的范围即可． 【详解】在实数范围内，若有意义，则有x+1＞0，解得：x＞﹣1， 故答案为x＞﹣1 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，解方程即可得到的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 13. 若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为_____． 【答案】3或4##4或3 【解析】 【分析】首先表示出平均数，然后根据方差为2列方程求出， ，然后分情况结合中位数的概念求解即可． 此题考查了方差的公式，解一元二次方程，中位数的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵一组数据2，3，x，4，5， ∴平均数为 ∵方差为2 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴当时，原数据从小到大排列为：1，2，3，4，5 ∴中位数为3 ∴当时，原数据从小到大排列为：2，3，4，5，6 ∴中位数为4， 综上所述，这组数据的中位数为3或4． 故答案为：3或4． 14. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多 ，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以过E作 的垂线交 于N，交于M，证明，设，利用列出方程，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过E作 的垂线交 于N，交于M，如图， ∵是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线， ∴ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 ，, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用，构造一线三直角的全等模型，是解决此题的突破口． 16. 在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③ ；④ ．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到 ，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和 不一定平行 ∴ 和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 17. 如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝（x＞0）的图象相切于点C．则切点C的坐标是___________． 【答案】(2，4) 【解析】 【分析】将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程，解方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相切于点C． ∴﹣2x+8＝， ∴-2x2+8x=8， ∴x2-4x+4=0， ∴(x-2)2=0， ∴x＝2， 当x＝2时，y＝4， ∴点C坐标为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点睛】本题考查两函数的交点坐标问题，关键是构造方程，掌握解方程得技巧． 18. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 【答案】16或4##或16 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13， ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G===12， ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′===； （2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）； （3）当CB′=CD时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点E、C在BB′的垂直平分线上， ∴EC垂直平分BB′， 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为16或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题．（本大题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 19. 计算： （1）． （2）设6-的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的除法，化简二次根式，零指数幂即可得出答案； （2）估算无理数的大小，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴-4＜-＜-3， ∴2＜6-＜3， ∴a=2，b=6--2=4-， ∴ =16-10 =6． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 20. 已知一元二次方程2x2－4x＋1＝0． （1）解这个方程； （2）设x1和x2是该方程的两个根，且x1＞x2，求2x1－2x2的值． 【答案】（1）∴x1=，x2=；（2）． 【解析】 【分析】（1）直接用求根公式解答即可； （2）先根据根与系数的关系确定x1x2和x1+x2，然后借助完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）∵△=（-4）2-4×1×2=8＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴x= ∴x1=，x2=； （2）由根与系数的关系可得：x1+x2=2, x1x2= ∴2x1－2x2=2（x1－x2）=． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式，掌握解一元二次方程的方法并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 21. 为了加强对青少年的消防安全教育，11月底我校开展了应急疏散消防演练并进行安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：87、99、86、89、91、91、95、96、87、97、91、97、96、86、96、89、100、91、99、97 成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生人数（人） 2 2 2 4 1 3 3 2 1 （1）众数： 分；中位数： 分． （2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率； （3）请估计我校1200名学生中成绩达到95分及以上的学生人数． 【答案】（1）91；93 （2）50% （3）600 【解析】 【分析】（1）由众数和中位数的定义求出结果即可； （2）先求出优秀的总人数，然后求所占百分比即可； （3）用总人数乘以（2）中结论即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，得91分的学生人数最多，出现4次， ∴众数为91， 共有20名学生，所以中位数为第10、11位学生成绩的平均数， ∵，， ∴第10、11位学生成绩分别为91，95， ∴中位数为：； 故答案为：91；93． 【小问2详解】 解：95分及以上的人数为：， ∴， “优秀”等级所占的百分率为 ； 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校1200名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为600人． 【点睛】本题主要考查对数据的分析，包括求众数、中位数、优秀人数所占的百分比，估计总人数等，理解题意，综合运用这些知识的是解题关键． 22. 已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； （2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根． 【答案】（1）a=，方程的另一根为； （2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0. ②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0． 当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1； 当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1． 综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可； （2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x＝2代入方程 ，得 ，解得：a＝． 将a＝代入原方程得 ，解得：x1＝，x2＝2． ∴a＝，方程的另一根为； （2）略 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用. 23. 矩形中，，，点E是线段上一动点．点F在线段上． （1）沿折叠，使A落在边上的G处（如图），若 ，求的长； （2）若按折叠后，点A落在矩形的边上，求 的长度范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）设，由折叠得 ，，再由勾股定理即求的长，过G作于H，设，则，再由勾股定理求解即可； （2）当点E在点B处时，求出的长，当点F在点D时，存在点E使得沿翻折后，点A落在矩形的边上，得出的最大值，然后勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 设，由折叠得 ，， 在中，， 解得， 所以， 如图，过G作于H， 设，则． 在中， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 若沿翻折后，点A落在矩形的边上，观察图形可知的最大值为6， ∵点F在线段上， ∴ 的最大值为6， 当E与B重合时，最小，所以 最小， 此时 ∴， ∴ 的长度范围是． 24. 【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、 、．当 ，，时，求 的度数． 【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得． 请利用小明的作法及结论求 的度数． 【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、 、．若，，，则______°． 【答案】【解决问题】；【方法应用】135 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可以证明，，证明，得出，由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，且，即可求解； （2）由旋转的性质将绕点B顺时针旋转到 ，连接，，根据旋转性质得出根据旋转可知，，，利用等腰三角形性质求出，，得出，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得出，即可求出结果． 【详解】解：【解决问题】∵为等边三角形， ∴，， ∵将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D， ∴，， ∴ 为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 在 中，， ， ， ∴， ∴ 为直角三角形，且 ， ∴． 解：【方法应用】 将绕点B顺时针旋转到 ，连接，， 根据旋转可知，，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $