精品解析：江西省南昌市聚仁高级中学2025届高三上学期七月月考数学试题

聚仁高级中学2025届高三7月月考数学试卷 数学试卷 考试范围：数列、导数、集合与常用逻辑用语、不等式、函数 满分：150分 一、单选题 1. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【详解】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时可得，当时不等式可化为：， 设， ① 因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得. 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选：C. 2. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和. 【详解】法一： 设等差数列的公差为d， 因为，，所以， 解得，所以. 法二： 因为在等差数列中，， 所以. 故选：C 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数定义域和奇偶性排除AB； 【详解】由题可得函数定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除AB； 时，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又当时，故排除C. 故选：D 4. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，只需得到，即可得到结论． 【详解】函数的定义域为， 又函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以， 所以零点所在的大致区间为. 故选：B. 5. 下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图象不存在与轴平行的切线，即无解，据此对选项逐一分析即可. 【详解】图象不存在与轴平行的切线，即无解， 对A：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故A错误； 对B：，则无解， 故不存在与轴平行的切线，故B正确； 对C：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故C错误； 对D：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故D错误； 故选：. 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得，再解目标分式不等式即可. 【详解】∵关于的不等式的解集是， ∴由得，∴，． ∴，∴，由于， ∴，解得． 故答案为：B． 7. 设 为函数 的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点的概念，结合零点的存在性定理计算即可求解. 【详解】，则， 设，则， 因为是函数的极值点，所以是函数的零点， 又，， 所以，故. 故选：B 8. 已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可判断函数的奇偶性以及周期，利用赋值法求出，再结合周期求函数值，即得答案. 【详解】由于的图象关于点对称，故的图象关于点对称， 即为奇函数， 又，则，即16 为的周期， 令代入，则， 故， 故选：B 二、多选题 9. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 是非奇非偶函数 C. 函数的零点为0 D. 当时，的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的性质研究，可以判断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即可． 【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确； 由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误； 由解得，，所以零点为，故C错误； 当时，，取等号条件为，故D正确； 故选：AD. 10. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，根据题目条件得到，AC正确；B选项，利用等比数列性质得到；D选项，根据等比数列的性质得到，，，从而D正确. 【详解】A选项，，，故或， 当时，由可知， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当时，又，所以， 故满足要求，A正确； B选项，，B错误； C选项，因为，， 故当时，取最大值，C正确； D选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则有最小值2 B. 若，则有最大值2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断． 【详解】，则，当且仅当时等号成立，A正确； ，．，当且仅当，即时等号成立，因此的最大值是，B错； 由不等式的性质知C正确， 因为，所以，所以，即，D正确， 故选：ACD． 三、填空题 12. 若集合，，则“”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】利用集合的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】由题意得，故充分性成立， 易得当时，满足，但不满足，故必要性不成立. 故答案为：充分不必要 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域就是使得式子有意义的x的取值所构成的集合，列出相应的不等式组，求得结果. 【详解】要使函数有意义，需要，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案． 【详解】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到不等式的解． 四、解答题 15. 已知集合， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，则或， 因为， 因此，或. 【小问2详解】 解：因为“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，解得，此时满足； 当时，，解得， 要使成立，则，解得， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 16. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【小问1详解】 设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. 【小问2详解】 ， 所以 . 17. 已知，函数，. （1）若函数的减区间是，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若方程在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上恒为增函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令导函数为零，解出两个根即可求出的值； （2）含参数的单调性讨论问题，求导后，分，，讨论导数的正负，得到的单调性即可； （3）问题等价于函数与函数图像在上有两个交点，对求导后判断单调性和取值，画出函数图像，数形结合求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 因为函数的减区间是， 所以和4为导函数等于零的两个根， 所以. 【小问2详解】 因为， 当时，恒成立，此时在上恒为增函数， 当时，令，解得或， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 综上所述， 当时，在上恒为增函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 【小问3详解】 原问题等价于函数与函数图像在上有两个交点. ， 令， 所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数， 作出函数图像如下： 因为，，， 因为， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1）第二问含参单调性讨论问题可先求导后讨论导数为零的根的大小，再分析单调性即可； （2）本题第三问关键是把问题转化为函数与函数图像在上有两个交点，然后数形结合分析即可. 18. 年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. （1）设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； （2）①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 【答案】（1），其中，， ，其中，. （2）①传统型车厢平均利润的最大值为百万元，智能型车厢平均利润的最大值为百万元； ②当时，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元； 当时，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元； 当时，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出、与年产量之间的函数关系式，并标出的取值范围； （2）①求出两种车厢平均利润的表达式，利用函数的单调性、基本不等式可求得两种车厢利润的最大值； ②将两种车厢利润最大值作差，对实数的取值进行分类讨论，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：由题意可得，其中，， ，其中，. 【小问2详解】 解：传统型车厢平均利润为，其中，， 智能型车厢平均利润为，其中，， 令，其中，， ，其中，， ①函数在上单调递增，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，传统型车厢平均利润的最大值为百万元， 智能型车厢平均利润的最大值为百万元； ②， 当时，，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元. 19. 已知函数，（其中为常数）； （Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值； （Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）对求导，得到有2个根，而在处有极大值，所以那2个根分别等于，得到a的值；（Ⅱ）假设存在使得，将问题转化成了存在，使得，分类讨论，结合二次函数分析运算；（Ⅲ）已知条件中有5个不同的零点，根据解析式的特点，知有3个不同的实根，有2个不同的实根，分别分析处理，确定a的取值范围，同时证这5个根互不相等. 【详解】（1），则， 令，得或 而在处有极大值， ∴或，则或 （2）假设存在，即存在，使得 ， 当时，又，故，则存在，使得 当即时，得 ； 当即时，得 无解 综上： (3)据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等． （ⅰ）有2个不同的实根，则 ∴或 （ⅱ）有3个不同的实根， 当即时，在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，而，不符合题意，舍去； 当即时，在上单调递增，不符合题意，舍去； 当即时，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，，则 所以； 因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故； 下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立. 若存在使得， 由，即，得， 当时，，不符合，舍去； 当时，即① 又由，即② 联立①②式，可得；故舍去， 综上，当时，函数有5个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聚仁高级中学2025届高三7月月考数学试卷 数学试卷 考试范围：数列、导数、集合与常用逻辑用语、不等式、函数 满分：150分 一、单选题 1. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设 为函数 的极值点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 是非奇非偶函数 C. 函数的零点为0 D. 当时，的最大值为 10. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则有最小值2 B. 若，则有最大值2 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题 12. 若集合，，则“”是“”的________条件． 13. 函数的定义域为______. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______ 四、解答题 15. 已知集合， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知，函数，. （1）若函数的减区间是，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若方程在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 18. 年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. （1）设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； （2）①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 19. 已知函数，（其中为常数）； （Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值； （Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $