精品解析：河南省许昌市魏都区许昌高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024-2025学年高二上学期开学检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ） A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为__________ 13. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 14. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数". （1）判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由； （2）若函数和，且是"同域函数"，求的值. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱柱被平面截得的截面周长； （3）求直线与平面所成角的正切值. 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 18. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 19. 《九章算术》是我国古代一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期开学检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出球心和的位置，再根据线面垂直性质得出当，，G三点共线时，的最大值为. 【详解】如下图所示： 设BC的中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N， 易得，， 过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为， 又为GH的中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值． 设，，由，可得， 整理得，故当， 即F为的中点时，MG取得最小值， 同理可得NG的最小值也是， 此时，，G三点共线，． 故选：C 3. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可. 【详解】由题意得， 则 故选：B 4. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积. 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为. 故选：C. 5. 已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的原则得的表达式，根据的范围得出的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果. 【详解】将函数向左平移个单位长度后得到函数， 即， ∵，∴， ∵在上有且仅有两个不相等的实根， ∴，解得， 即实数的取值范围是， 故选：B. 6. 已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取的中点，分别记为，，连接，根据题意分析出当圆锥底面与正六边形相内切时，圆锥底面积最大，结合正方体性质计算即可. 【详解】如图所示，取的中点，分别记为，， 连接. 根据正方体的性质易知六边形为正六边形， 此时的中点为该正六边形的中心，且平面， 当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大. 设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以， 所以，圆锥的底面积，圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方体的性质确定圆锥底面面积最大值，根据正六边形的性质求出圆锥的底面半径. 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，可将三棱锥补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积. 【详解】设，则， 因为 ， 所以，解得：， 即，可知， 过作，连接，则， 可知，且二面角的平面角为， 则为等边三角形，即， 设，因为， 即，解得：或， 可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合， 则，，由，平面，则平面， 且为二面的平面角，可知为等边三角形， 可将三棱锥补充直棱柱，如图所示， 为底面正的外心，即， 为的外接球球心，可知，且， 则三棱锥的外接球半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确； 对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误； 对于C选项，当时，，，，由于单调递增，故，故C选项错误； 对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案. 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ） A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，由各组频率之和为求参数；B项可由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可. 【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，故A错误； 项，前两个矩形的面积之和为 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确； C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由条件推得，再由圆锥的体积列方程，求得，再作圆锥的轴截面，利用面积相等即可求出圆锥内切球的半径，即可算得其体积. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为，则， 从而，则圆锥的体积，解得. 作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为，半径为. 则,解得， 则该圆锥的内切球的体积为. 故答案为：. 13. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围 【详解】由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数. 因为，且在R上为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数. 又，所以， 所以，解得. 故答案为：. 14. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数". （1）判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由； （2）若函数和，且是"同域函数"，求的值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）判断函数与的定义域和值域是否相同，即可得结论； （2）根据"同域函数"的定义可得的解集为，求得，结合对数函数的单调性，列出相应等式，求得答案. 小问1详解】 函数与不是"同域函数"，理由如下： 函数与的定义域均为， 由，可知的值域为， 由，可知的值域为， 则与的值域不相同， 所以函数与不是"同域函数". 【小问2详解】 由，得， 因为函数在上单调递增，所以， 得的值域为， 由题意得的解集为， 则是关于的方程的两个解， 得，得，所以，且， 易得， 当时，函数是增函数，则的值域为，不符合题意. 当时，函数是减函数，则的值域为， 所以，得 16. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱柱被平面截得的截面周长； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，进而得出根据角得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）根据线面平行性质定理得出线线平行得出截面再根据图形特征计算边长即可； （3）先根据线面角定义得出与平面所成角为，再等面积求边长比即可得出正切值. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，，为中点，所以， 在直四棱柱中，平面平面， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面， 所以平面与平面的交线与平行，所以交线为， 连接，，， 则四棱柱被平面截得的截面为四边形， ，， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以四边形的周长为. 【小问3详解】 过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以点在平面上的射影必在上，所以直线与平面所成角为， 因为，，，， 所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为. 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （2）利用换元法求x的取值范围. 【小问1详解】 = =， 令，解得 所以单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则，所以 所以不等式为，得，即 由，解得，所以解集为. 18. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 【答案】（1）； （2）中位数，平均数77 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1求得； （2）根据频率分布直方图中中位数、平均数的计算方法求解； （3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解. 【小问1详解】 依题意，得，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在间， 设为，则，解得. 平均数. 【小问3详解】 依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2， 按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人， 依次分别记为，，，，， 对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件， 设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个， 所以. 19. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）二面角的正切值为； （3）与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论. 【小问1详解】 由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由已知平面，平面， 所以，又， 所以直线两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的 法向量， 设二面角的平面角为， 所以， 观察可得，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 【小问3详解】 因，， 所以， 因为平面平面，为平面的一个法向量， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$