精品解析：北京市第一六六中学2024-2025学年高三上学期阶段测试数学试题

北京市第一六六中学2024-2025学年度第一学期阶段测试 高三年级 数学学科 （考试时长：150分钟） 命题人： 审核人： 班级： 姓名： 考查目标 知识：预备知识，函数，导数，三角函数，数列，概率统计，解析几何 能力：空间想象能力、抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力、数据处理能力、数学建模能力 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A B. C. D. 6. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.5 C. 1.67 D. 2 9. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存在零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 10. 设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 方程在区间 上的根的个数共有6个 11. 已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则_____ 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是______ 13. 数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______. 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______． 15. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ①存，使得成等差数列； ②存在，使得成等比数列； ③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的序号是________. 16. 已知函数的图像经过点． （1）求实数的值，并求的单调递减区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 17. 设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围． 条件①：为函数图象的一个对称中心； 条件②：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件③：函数的图象可由的图象平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. （1）求椭圆的方程 （2）设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 20. 已知函数，其中为常数. （1）若，求函数的极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若，求函数在上的极值点的个数. 21. 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. （1）若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； （2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； （3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六六中学2024-2025学年度第一学期阶段测试 高三年级 数学学科 （考试时长：150分钟） 命题人： 审核人： 班级： 姓名： 考查目标 知识：预备知识，函数，导数，三角函数，数列，概率统计，解析几何 能力：空间想象能力、抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力、数据处理能力、数学建模能力 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，由此能求出. 【详解】因为集合，，所以 . 故选：B. 2. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误 故选：C 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得，可得出、的等量关系，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由已知可得，则，故， 所以，双曲线渐近线方程为. 故选：C. 4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】，则为偶函数，但在区间上单调递减， 故A错误； 为偶函数，但在区间上不具有单调性， 故B错误； 的定义域为，且， 则为偶函数，令，当时，则， 则，由对勾函数的性质可知，在单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 为奇函数，故D错误； 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆及三角函数的定义求出，再由二倍角余弦公式求解. 【详解】因为是角终边与单位圆的交点， 所以， 故. 故选：A 6. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解. 【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥， ，，则， 所以第2球投进的概率为. 故选：A 7. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.5 C. 1.67 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值. 【详解】由题意可得，所以，所以， 所以. 故选：B. 9. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存在零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别作出，，的函数的图像，然后结合图像逐项分析判断即可. 【详解】首先分别作出，，的函数的图像，如下： 结合图像进行分析： 当时，，此时如图1所示， 函数的图像关于原点对称，其为奇函数， 所以存在，使得函数为奇函数，故A正确； 由图可知，无论取何值，当时，，当时，， 所以函数既无最大值也无最小值，故C正确； 作一条直线，当时，存在实数使得函数的图像与没有交点， 即此时没有零点， 因此对于任意实数和，函数总存在零点不正确，故B不正确； 如图2，当时，对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质. 10. 设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 方程在区间 上的根的个数共有6个 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，由时，的最小值为，则可得半个最小正周期；BCD选项，由最小正周期可得，后由正弦函数奇偶性，值域，零点相关知识可判断选项正误. 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，.则将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为偶函数，故B错误； C选项，当时，，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C错误； D选项，时，，则当时，，则在区间 上的根的个数共有6个，故D正确. 故选：D 11. 已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得的值，再由角的终边关于y轴对称可得，结合诱导公式代入计算，即可求解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则， 又角的终边关于y轴对称，则， 则. 故答案为： 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是______ 【答案】## 【解析】 【分析】由图象可得，，结合诱导公式和五点法，可得关于的方程，解方程可得的值. 【详解】根据函数的部分图象， 可得，即的图象关于点对称， 的最小正周期， 又， ， 又， ， . 故答案为：. 13. 数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】 由等比数列性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列， 所以，即，解得； 所以， 故答案为：8，. 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 15. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ①存在，使得成等差数列； ②存在，使得成等比数列； ③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由成等差数列判断①；由数列任意连续三项为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}，结合是否能成立判断②；利用递推式可得，即判断③；写出前16项判断是否存在使判断④. 【详解】由题设，，显然成等差数列，①正确； 由题设知：在上，依次为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}或{偶数,奇数,奇数}， 所以不可能有，故不存在使成等比数列，②错误； 由，，， 所以，故，则成等差数列， 故存在使得对任意，都有成等差数列，③正确； 由，，，…，，， 所以，则， 由题设，数列前16项分别为， 其中， 所以存在正整数，且，使得，④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列的定义性质判断①②，应用递推式得到判断③，列举出前16项，直接判断是否存在使对应各项和为. 16. 已知函数的图像经过点． （1）求实数的值，并求的单调递减区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间； （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 解得 所以 ， 由，得， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）可知 因为，所以 所以 所以 当，即时，取得最小值 因为恒成立等价于，所以 所以实数的取值范围是 17. 设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围． 条件①：为函数的图象的一个对称中心； 条件②：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件③：函数的图象可由的图象平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件证明，，然后将①②③中的每个条件逐个转化为函数值的条件，即可求出函数的表达式，从而得到的值； （2）将条件转化为关于的方程在上的根的个数，然后对不同区间上的分类讨论即可. 【小问1详解】 由，知，从而. 而在区间上单调，的周期为， 这意味着，即，故. 注意到，从而有： ，， 所以，，即，而，故. 从而，故. 若选择条件①，则为函数的图象的一个对称中心，从而这等价于， 所以，从而，故， 所以，由知，故，故，； 若选择条件②，则直线为函数图象的一条对称轴，从而， 而在区间上单调，，故. 从而，所以，故， 所以，由知，故，故，； 若选择条件③，函数与的振幅不一致，无法通过平移得到， 故不能选择； 【小问2详解】 条件等价于，关于的方程即在上恰有一个解. 记，则，从而和一一对应， 这就表明条件等价于关于的方程在上恰有一个解. 设，则在上递增，在上递减，，，. 此时，若，则，方程无解，不满足条件； 若，则当时，； 当时，. 故方程在上无解，不满足条件； 若，由，，， 知方程在和上各至少有一个根， 从而在上至少有两个根，不满足条件； 若，则当时，. 故方程在上无解； 而在上单调，且，， 所以方程在上恰有一个根. 这就表明方程在上恰有一个根，满足条件； 若，则，当且仅当时等号成立. 而，故当且仅当时等号成立， 故方程在上恰有一个根，满足条件. 综上，的取值范围是. 18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【小问1详解】 设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. 【小问2详解】 （ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 19. 已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. （1）求椭圆的方程 （2）设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，根据即可求解； （2）设直线的方程，联立其与椭圆方程可得，坐标，将的纵坐标代入直线的方程中可得的坐标，将的横坐标代入的方程可得的坐标，求，即可证明. 【小问1详解】 因为椭圆：的左顶点为，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 设：，，， 联立方程，可得， 解得或，所以， 因为四边形是平行四边形，由椭圆的对称性可知点与点关于原点对称， 所以， 直线的方程为，把代入可得， 所以， 把代入可得， 所以过，的直线的斜率为， 所以过，的直线的斜率， 所以，，三点共线. 20. 已知函数，其中为常数. （1）若，求函数极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若，求函数在上的极值点的个数. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）1个 【解析】 【分析】（1）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）求得导数和单调区间，讨论与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得的范围； （3）当时，求出导数，利用二次求导求出函数的单调性即可判断极值点的个数. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 令，即， ，解得， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 ，定义域为且， ， 要使在上单调递增，则， 又时，， 只需在上恒成立， 即在上恒成立， 令，即， 则， 令，即， 解得， 当时，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， . 【小问3详解】 当时，，， 由（2）知， 令， 则， 当时，， 当时，， 在单调递增，在上单调递减， ， 又，， 则在上有且仅有一个零点，设该零点为， 则当时，，即， 当时，，即， 则在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点， 故函数在上有一个极值点. 【点睛】利用导数研究函数在区间上单调的方法： （1）已知在上单调递增恒成立； （2）已知在上单调递减恒成立； 21. 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. （1）若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； （2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； （3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列. 【答案】（1）2，1，4，5 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可； （2）由题意得，进而，，将上式n个等式中的第2,4,6，这个式子都乘以-1，相加得，结合“衍生数列”的定义即可求解； （3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，只需证即可. 【小问1详解】 由题意知， ， 解得， 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以，， 由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6，，这个式子都乘以-1，相加得 ， 即，所以， 又，， 根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”； 【小问3详解】 设数列中后者是前者的“衍生数列”. 欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列， 即只要证明即可. 由（2）知， ， 所以，即成等差数列， 所以成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$