第10章三角恒等变换单元练习-2024-2025学年数学高一下学期苏教版（2019）必修第二册

第10章 三角恒等变换 练习-2024-2025学年数学高一下学期苏教版（2019）必修第二册 一、单选题 1．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 终边与单位圆的交点 ，且 是第二象限角，则 的值等于（　　） A． B． C．3 D．-3 3．已知α∈（ ，π），且sinα+cosα=﹣ ，则cos2α=（　　） A． B．- C． D．- 4．设a=sinα+cosα，b=sinβ+cosβ，且0＜α＜β＜ ，则（　　） A．a＜ B．a＜b＜ C．a＜ ＜b D． 5．已知 ， ， ， 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知为锐角，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知sinα-cosα=则cos(-2α)=（　　） A．- B． C．- D． 8．为锐角三角形，则 ，则a与b的大小关系为（　　）。 A． B． C． D． 二、多选题 9．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．已知 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 11．给出下列四个关系式，其中不正确的是（　　）． A． B． C． D． 三、填空题 12．已知 ，则 的值为　 　. 13．在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于点，若点的纵坐标为，的面积为，则＝　 　. 14．　 　． 四、解答题 15．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－ ． （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ ，﹣2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求sin（x0+ ）的值． 17．设函数 ． （1）化简并求函数 的最小正周期 及最值； （2）求函数 的单调增区间． 18．已知函数 ． （1）求 在区间 上的最大值和最小值； （2）若 ，求 的值． 19．已知函数 . （1）求 的最小正周期和对称轴方程； （2）若函数 在 存在零点，求实数 的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】因为 ，所以 ， 故答案为：C 【分析】首先由诱导公式结合同角三角函数的基本关系式，整理计算出的值，然后由二倍角的正切公式代入数值计算出结果即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】因为 终边与单位圆的交点 ，且 是第二象限角， 所以 ， ，则 故答案为：C 【分析】根据题意由任意角的定义即可求出，再由二倍角的正、余弦公式整理结合角的取值范围即可得到原式即可。 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵α∈（ ，π），且sinα+cosα=﹣ ， ∴1+2sinαcosα= ，2sinαcosα=﹣ ＜0， ∴sinα＞0，cosα＜0．cosα﹣sinα＜0． 又∵（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα= ，从而有：cosα﹣sinα=﹣ ， ∴cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（﹣ ）×（﹣ ）= ． 故选：A． 【分析】首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα﹣sinα＜0，然后求出cosα﹣sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果． 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵0＜α＜β＜ ， ∴ ， ， ． ∴a2=1+sin2α，b2=1+sin2β，0＜sin2α＜sin2β＜1． ∴1＜a＜b， ∴ ＜b＜ ． 故选：A． 【分析】由于0＜α＜β＜ ，可得 ， ， ，a2=1+sin2α，b2=1+sin2β，0＜sin2α＜sin2β＜1．即可比较出． 5．【答案】A 【解析】【解答】 是锐角， ， ， ， ，且 ， ， ， ， 。 故答案为：A 【分析】利用角 是锐角， ，结合同角三角函数基本关系式，从而求出角的正弦值，因为 ，所以 ，且 ，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出角的余弦值，再利用角之间的关系结合两角和的余弦公式，从而结合角 为锐角，从而求出角 的值。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：因为是锐角，所以， 所以，化简得， 平方得， 所以． 故选：D． 【分析】根据是锐角，得到，故，再两边平方，从而结合同角三角函数基本关系式和正弦二倍角公式求出的值. 7．【答案】B 【解析】【解答】∵sinα-cosα=，平方可得1﹣2sinα•cosα=， ∴sin2α=， =sin2α=， 故选B． 【分析】把已知的等式平方可得sin2α，利用诱导公式可得 =sin2α。 8．【答案】C 【解析】【分析】设，则 = = 所以 因为为锐角三角形，所以>0. 又，所以， 所以。选C. 9．【答案】A,D 【解析】【解答】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确. 故答案为：AD. 【分析】根据余弦二倍角公式、正弦二倍角公式以及两角和差正弦公式，正切两角差公式逐项计算判断即可. 10．【答案】A,B 【解析】【解答】因为 ，且 ，则 为第四象限角，所以 ， ，A符合题意； ，B符合题意； ， ， ，C不正确； ，D不正确； 故答案为：AB 【分析】由同角三角函数的基本关系式，求出及，进而得解，即可得出答案。 11．【答案】A,C 【解析】【解答】由 ， 两式相加可得 ，B正确，不符合题意 两式相减可得 ，D正确，不符合题意 由 ， 两式相减可得 ，A，C错误，符合题意 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合两角和与两角差的正弦公式、两角和与两角差的余弦公式，再结合求和法与作差法，从而找出不正确的关系式。 12．【答案】-2 【解析】【解答】由已知得 ， 所以 . 故答案为：-2 【分析】利用正弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系式，求出值。 13．【答案】 【解析】【解答】由题意可知，，， 由对称性可知，即 故答案为： 【分析】 由题意可知，先由 的面积为 ，求得，利用三角函数恒等变换的应用化简即可求得答案. 14．【答案】 【解析】【解答】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得： . 故答案为：. 【分析】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确运算，即可求解. 15．【答案】（1）解：cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ＝ ＝－ ． （2）解：因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0， )． 又cos2α＝－ <0，故2α∈( ，π)，sin2α＝ ． 由cosβ＝－ ，β∈(0，π)， 得sinβ＝ ，β∈( ，π)． 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝ ×(－ )－(－ )× ＝－ ． 又2α－β∈(－ ， )，所以2α－β＝－ ． 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出 cos2α的值。 （2） 因为α∈(0，π)，且tanα＝2， 结合正切值在各象限的符号，从而推出α∈(0，)，又由（1）推出 cos2α＝－ <0，再结合余弦值在各象限的符号，得出2α∈( ，π)，所以利用同角三角函数基本关系式，得出sin2α＝ ，由cosβ＝－ 结合β∈(0，π) ，结合同角三角函数基本关系式，得出 sinβ＝ ， 从而推出β∈( ，π)，再利用两角差的正弦公式，从而求出sin(2α－β)的值，再利用 2α∈( ，π)和β∈( ，π)，结合不等式的基本性质，从而推出 2α－β∈(－ ， )，所以2α－β＝－ 。 16．【答案】（1）解：∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ ，﹣2）． ∴A=2， =x0+ ﹣x0= ， 即函数的周期T=π，即T= ，解得ω=2， 即f（x）=2sin（2x+ ） （2）解：∵函数的最高点的坐标为（x0，2）， ∴2x0+ = ， 即x0= ， 则sin（x0+ ）=sin（ + ）=sin cos +cos sin = （sin +cos ）= （ ）= 【解析】【分析】（1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数的最值，求出x0的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可． 17．【答案】（1）解： ， ， （2）解：令 ， 解得 ， 函数 的增区间为 【解析】【分析】（1）根据题意首先利用三角函数的恒等变换得出函数解析式，根据函数解析式得出其最小周期以及最值。 （2）根据正弦函数的单调性得出其单调区间。 18．【答案】（1）解： ， ． ， ， ，则 ， ； （2）解：由 ，得 ， ． ． 【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． 由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求； 由已知求得 ，再由诱导公式及倍角公式求 的值． 19．【答案】（1） 所以 的最小正周期 ， 由题意 ， ，解得 ， ， 所以 的对称轴方程为 ， . （2）令 得 由函数 在 存在零点， 只需求 在 的值域. 故 【解析】【分析】(1)由题意利用查三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论； (2)由题意，方程 ，在 上有解，根据正弦函数的定义域和值域，求得的范围，可得实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$