精品解析：河南省郑州市基石中学2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题

郑州基石中学2022-2023下学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题（共60分） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知角终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 5. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则可能为（ ） A. B. C. D. 8. 设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ） A. B. C D. 二、多选题 9. 下列选项中与的值不恒相等的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 12. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的面积为，则c的最小值为2 C. 若，，则的面积为 D. 若，，则满足条件的有且仅有一个 三、填空题（共20分） 13. 若复数，则__________. 14. 函数的对称轴方程是_________. 15. 为了测量灯塔的高度，第一次在点测得，然后向前走了20米到达点处测得，点､､在同一直线上，则灯塔高度为___________. 16. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量是________． 四、解答题（共70分） 17. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若. （1）求的值 （2）若，，试用基底表示 18. 已知角所对的边分别为,的周长为,且. （1）求边的长; （2）若的面积为,求角的度数. 19. 已知函数 （1）求的最大值及对应的的集合； （2）求在上的单调递增区间； 20. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包体积． 21. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值： （2）求向量与夹角的大小． 22. 如图，在四边形中，已知，，． （1）若，求的长； （2）求面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州基石中学2022-2023下学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题（共60分） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】，故对应的点为 故选:D． 2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标. 【详解】因为，，则. 故选：A. 4. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算求出，再求出共轭复数即可. 【详解】由题意得，所以， 故选：D 5. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 6. 在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求出，从而得到，得到答案. 详解】∵，，， ∴， 则， 则. 故选：D. 7. 已知，且，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数关系可求出. 【详解】由，得， 所以， 所以， 整理得， ， 所以或， 所以或， ①当时，，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， ②当时，， 因为，所以， 由于，所以解得， ③当时，， 因为，所以， 由于，所以解得， 综上，，或，或， 故选：B 8. 设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将用基底表示，转化为以A为起点向量表示即可. 【详解】如图，D为BC中点，O为靠近A的三等分点， ， . 故选：D. 二、多选题 9. 下列选项中与的值不恒相等的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项. 【详解】，，，. 故选：BCD. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解. 【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 12. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的面积为，则c的最小值为2 C. 若，，则的面积为 D. 若，，则满足条件的有且仅有一个 【答案】BC 【解析】 【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解． 【详解】∵， ∴由正弦定理可得，即， 对于A选项，由余弦定理可得， ∵，∴，故A错误； 对于B选项，由题可知，∴， 由余弦定理可得， ∴，当且仅当时等号成立，故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，由题可知，由正弦定理得，∴ ∴的面积为，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得，即，， 解得或，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（共20分） 13. 若复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 14. 函数的对称轴方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由即可得结果. 【详解】因为的对称轴为， 对于函数，由，可得， 因此，函数的对称轴方程是. 故答案为：. 15. 为了测量灯塔的高度，第一次在点测得，然后向前走了20米到达点处测得，点､､在同一直线上，则灯塔高度为___________. 【答案】米 【解析】 【分析】结合等腰三角形的性质求得正确答案. 【详解】， 所以， 在中，米. 故答案为：米 16. 已知向量，满足，且，则在上投影向量是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，再利用在上的投影向量定义求解. 【详解】解：因为，且， 所以 ，解得， 所以在上投影向量是 ， 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若. （1）求值 （2）若，，试用基底表示 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，根据对应系数即可得解； （2）根据几何关系确定点位置，作平行交于点，引入点，再确定点位置，利用即可得解. 【详解】（1）∵， ∴ （2） ∵由题意可得， ∴，再由，则， ∴. 作平行交于点， ∴， ∴. ∵. ∴. 18. 已知角所对的边分别为,的周长为,且. （1）求边的长; （2）若的面积为,求角的度数. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理可将化简为,再根据的周长即可求得; (2)根据三角形面积公式可得,根据(1)中的结论可得,再根据余弦定理即可求得角. 【小问1详解】 由题意得:， 在中,将正弦定理代入可得， 又,即， 所以； 【小问2详解】 由(1)知,,所以， 因为， 所以,又有， 所以， 因为， 所以. 19. 已知函数 （1）求的最大值及对应的的集合； （2）求在上的单调递增区间； 【答案】（1），此时的集合为 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案. 【小问1详解】 解：当，即时， ，所以，此时的集合为； 【小问2详解】 令， 则， 又因，所以在上的单调递增区间为. 20. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 【答案】（1）平方米 （2）立方米 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【小问1详解】 依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. 【小问2详解】 圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 21. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值： （2）求向量与夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可； （2）利用公式求解即可. 【小问1详解】 由已知，， 与共线， ， 解得； 【小问2详解】 由已知，又， . 22. 如图，在四边形中，已知，，． （1）若，求的长； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，继而求得，再求得，在中利用余弦定理即可求得的长； （2）设，由正弦定理表示出，利用三角形面积公式表示出面积，结合正弦函数性质即可求得最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， ∴，整理得, 解得或（舍去）． ∴， 而,故, ∴， 故在中， ， ∴； 【小问2详解】 设,则在中，, 则， 所以 ， 当，即时，面积取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $