精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期回归练习数学试题

2024—2025学年度第一学期高二年级数学回归练习 2024.09 班级______ 姓名______ 学号______ 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合， 由，可得的终边在第二象限或第四象限， 因为，同时成立，所以是第二象限角. 故选：B 3. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积； 【详解】每个面的面积为，所以该图形的表面积为. 故选：C 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理，得. 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算及三角函数恒等变换化简，利用正弦函数的值域求解即可. 详解】由题意，， 又，所以，， 所以. 故选：A 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的最大值，以及对称轴间的距离，五点法，分别求解析式中的参数，即可求解. 【详解】由函数的最大值为2，可知，， ，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以函数的解析式为. 故选：B 7. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称， 因为，且，则， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A:若,则可能，A错误； 对于B:若,则可能,B错误； 对于C:若则可能不垂直，C错误； 对于D:若,则,D正确. 故选：D 9. 在梯形中，，，，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题干计算出相应的边长，再根据余弦定理计算出，再计算，最后代入夹角公式即可. 【详解】设与交于，因为，，，所以，， 又因为，，所以，，，，所以，， 由余弦定理得，即， ，即， ，所以. 故选：D 10. 如图，已知正方体的棱长为2，其中E，F，G，H，I，J，K分别为棱，，，，，，的中点，那么三棱柱与三棱柱在正方体内部的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出公共部分为四棱锥，然后结合棱锥的体积公式直接计算即可求解. 【详解】 如图所示，设交于点，由题意三棱柱与三棱柱在正方体内部的公共部分为四棱锥， 显然四棱锥的高为，底面是边长为1的正方形， 故所求体积为. 故选：C. 二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知纯虚数z满足，则z可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由复数概念和复数的模即可求解. 【详解】为纯虚数，设，， ，解得或，即或. 故答案为：（答案不唯一） 12. 已知，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由余弦的二倍角公式可得,又， 故答案为： 13. 有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式求木质工艺品的体积，根据圆柱、圆锥的侧面积公式求木质工艺品的表面积. 【详解】由题意可知：这个木质工艺品的体积为； 因为圆锥的母线长为 所以这个木质工艺品的表面积为. 故答案为：；. 14. 在中，，则______，______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求解即可； （2）利用向量的减法运算化简，再由数量积的运算法则求模即可. 【详解】由已知可得， . 故答案：12； 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得平面； ③存在无数组点和点，使得； ④点到直线的距离最小值是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：可证平面，即可得结果；对于②：可证平面，即可得结果；对于③：分析可知，结合平面性质分析判断；对于④：结合平面分析可知：当平面时，点到直线的距离最小，结合长度关系分析求解. 【详解】因为∥，且，可知为平行四边形. 对于①：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面，由平面，则，故①正确； 对于②：由①可知：平面，由平面，则， 同理可证：， 且，平面，可得平面， 又因为平面，平面， 可知平面与平面相交， 所以不存在点，使得平面，故②错误； 对于③：若，则四点共面，即平面， 又因为点侧面，且侧面平面，则， 根据平面的性质可知：对任意线段（不包括），均存在，使得， 所以存在无数组点和点，使得，故③正确； 对于④：由②可知：平面， 由垂线性质可知，当平面时，点到直线的距离最小， 又因为， 可知为正三棱锥，点为等边的中心， 此时点到直线的距离为， 所以点到直线的距离最小值是，故④正确； 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：对于空间中动线问题的研究，常常有拓展的思路，把线转为面，研究线面问题，有助于理解判断. 三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，分别是三个内角的对边，． （1）求大小； （2）若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，由二倍角的正弦公式化简即可得解； （2）由高的关系得出边的关系，再由余弦定理求出，由面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以. 所以 所以 因为，所以，， 所以，所以，即. 【小问2详解】 因为边上的高是边上的高的2倍，， 所以由等面积法知， 所以， 所以， 所以 17. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，由三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得. （3）过作于，由（2）的结论，结合面面垂直的性质推理计算即得. 【小问1详解】 在长方体中，令，则为中点，连接， 由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面，平面，得， 矩形中，，则矩形为正方形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 在中，过作于，由平面平面，平面平面， 平面，因此平面，显然，， 在中，， 所以点到平面的距离为. 18. 设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 【答案】（1），单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可； （2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意． 【小问1详解】 因为， 若选①②：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以，此时不存在； 选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以， 由③是的一条对称轴，则，， 所以，，所以， 所以，则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间为； 若选①③：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由③是的一条对称轴，则，，所以，， 此时不存在； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以， 所以，， 因为对于任意的，都有，所以， 即的取值范围为． 19. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及． （1）若，，，，求； （2）若，均为中的元素，且，，求的最大值； （3）若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，然后直接根据定义解得的值即可； （2）根据已知条件考虑中所有等于的分量的个数，得到，再对构造符合条件的例子； （3）直接通过反证法说明不可能成立，然后对构造符合条件的例子. 【小问1详解】 设，则由，，知. 所以，得. 而，故，从而. 所以. 【小问2详解】 由已知有，， 这些条件的含义是，都恰有个分量等于，且任意两个不同向量没有同时为的分量. 由于，故一共只有个分量，这表明全体的所有分量中，至多有个. 而显然一共有个，故，得. 显然，，满足条件，此时. 这就说明的最大值是. 【小问3详解】 由，，知，. 而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等. 根据题目内容，已有. 若，则，，且恰有个分量不相等，恰有个分量不相等. 换言之，恰有个分量相等，恰有个分量相等. 而，故一定存在，使得的第个分量不相等，的第个分量也不相等. 这就表明的第个分量相等，但，，它们没有相等的分量，矛盾； 这就表明. 注意到，，，满足全部条件，此时. 所以的最小值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及构造性地给出符合条件的例子. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期高二年级数学回归练习 2024.09 班级______ 姓名______ 学号______ 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. 在梯形中，，，，，，则与夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，其中E，F，G，H，I，J，K分别为棱，，，，，，的中点，那么三棱柱与三棱柱在正方体内部的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知纯虚数z满足，则z可以是________． 12. 已知，则___． 13. 有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 14. 在中，，则______，______． 15. 如图，在棱长为2正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得平面； ③存在无数组点和点，使得； ④点到直线的距离最小值是． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，分别是三个内角的对边，． （1）求大小； （2）若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 17. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离． 18. 设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 19. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及． （1）若，，，，求； （2）若，均为中的元素，且，，求的最大值； （3）若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$