精品解析：湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷）

株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷 数学试题（B卷） 命题人：李昊､欧阳东凌､陈诗如 审题人：张志军 时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ） A. 或 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个数是（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 下列方程中两根之和为6的是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C D. 7. 关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A. 或 B. 或 C. 或 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ） A. 众数是2.1 B. 中位数是1.6 C. 平均数是2.08 D. 方差大于1 11. 已知二次函数图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图象一定过定点； B. 若该函数图象开口向下，则的取值范围为：； C. 当，且时，的最大值为； D. 当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为： 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则式子的值为______． 13. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于点、；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到．若在第13段抛物线上，则______． 14. 给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若满足，求的值． 16. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球． （1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母） 17. 对､定义一种新运算“”，规定：（其中､均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． （1）已知． ①求的值； ②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围． （2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式． 18. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 19. 已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，且，求的值； （ii）若，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷 数学试题（B卷） 命题人：李昊､欧阳东凌､陈诗如 审题人：张志军 时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合． 【详解】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：， 故选：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂指运算的性质，可得答案. 详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 3. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】根据俯视图可知该组合体共2行､4列， 结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示： 则组成此几何体需要正方体的个数是8， 故选：B． 4. 下列方程中两根之和为6的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断每个方程的是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解即可得结论. 【详解】对于A：，，所以方程无实数根，故A不满足题意， 对于B：，， 所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故B不符合题意； 对于C：，， 所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故C不符合题意； 对于D：，， 所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故D符合题意. 故选：D. 5. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】 分和讨论，即得解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故或. 故选：C 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】分两种情况讨论： ①当时，反比例函数，在一､三象限， 而二次函数开口向上，与y轴交点为，都不符； ②当时，反比例函数，在二､四象限， 而二次函数开口向下，与y轴交点为，C符合． 故选：C． 7. 关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而不等式组有解，则，其解为， 由不等式组恰好有5个整数解，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可． 【详解】因为直线经过点，则，解得， 直线， 由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形， 所以该等腰三角形的高等于斜边的一半， 因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2， 斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）， 因为当时，， 当时，， 当时，， 所以美丽抛物线的顶点只有， ①若为顶点，由，则； ②若为顶点，由，则， 综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线． 故选：B 【点睛】关键点睛：此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 10. 如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ） A. 众数是2.1 B. 中位数是1.6 C. 平均数是2.08 D. 方差大于1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解． 【详解】对A：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故A正确； 对B：把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故B错误； 对C：平均数是：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：AC． 11. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图象一定过定点； B. 若该函数图象开口向下，则的取值范围为：； C. 当，且时，的最大值为； D. 当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为： 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入，解得，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解. 【详解】由可得， 当时，，故二次函数的图象一定过定点，A正确， 若该函数图象开口向下，且与轴有两个不同交点，则， 解得：，故B正确， 当，函数开口向上，对称轴为，故函数在时，单调递增， 当时，，故的最大值为；C错误， 当，则开口向上，又时， 则，且，且， 且，解得，m的取值范围为：，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可化简，从而可求解 【详解】由题意得. 故答案为：. 13. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于点、；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到．若在第13段抛物线上，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合图象根据图象的变换规律，可得出图象与轴的交点坐标，从而得出的表达式，代入求解即可. 【详解】由题知图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方， 图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴下方， 图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方， 以此类推，图象与轴的交点坐标分别为，，且图象在x轴上方， 的表达式为， 当时，，即. 故答案为：. 14. 给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______. 【答案】29970 【解析】 【分析】 【详解】由， 则可知所有元素之和为. 故答案为：29970. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求取值范围； （2）若满足，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据判别式列不等式来求得的取值范围. （2）利用根与系数关系以及对的符号进行分类讨论，由此求得的值. 【小问1详解】 关于一元二次方程有两个实数根， ， 解得：，的取值范围为． 【小问2详解】 关于的一元二次方程有两个实数根， ①，②． ， 当时，有③， 联立①③解得：， 当时，有④， 联立①④解得：（不合题意，舍去）． 符合条件的的值为4． 16. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球． （1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母） 【答案】（1）（1个元音），（2个元音），（3个元音）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果； （2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示，所有可能出现的情况有种， 记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件, 事件发生的情况有种，事件发生的情况有种，事件C发生的情况有种， 所以. 【小问2详解】 由树状图知共有12种等可能的结果， 取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况， 所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为. 17. 对､定义一种新运算“”，规定：（其中､均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． （1）已知． ①求的值； ②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围． （2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； ②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可； （2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案． 【小问1详解】 ①， ∴ 解得：； ②∵ ∴ 即， 解得： 关于x的不等式组有且只有一个整数解， ， 解得：， 即字母t的取值范围是； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 为任意数， 不一定等于0， ， 即所应满足的关系式是． 18. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【小问1详解】 由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 【小问2详解】 （1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 19. 已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，且，求的值； （ii）若，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线和的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解； （2）先求出，（i）列出方程，即可求出h的值； （ii）求出关于的方程，结合二次函数的性质，即可求得最大值． 【小问1详解】 由抛物线 的顶点的横坐标为， 又由抛物线的顶点的横坐标为， 因为抛物线 的顶点的横坐标比的顶点的横坐标大， 可得，解得. 【小问2详解】 由点在抛物线上，可得， 又由点在抛物线上，可得， 则，所以， （i）因为，所以，可得， 因为，可得，则. （ii）将代入，可得， 即，当，即时，取最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$