第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 4．若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 6．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 7．已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 8．二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 12．若是的二次函数，则 ． 13．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是 ． 14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 15．已知二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足，则下列结论：①；②若，当时，y随x的增大而减小；③若有一个根是大于m的负数，则；④，其中正确的结论是 ．（填写序号） 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 18．一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是________． 20．学科实践 【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表： 花店 售价（元/束） 日销售量（束） （1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价/（元/束）    日销售量/（束） （2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系； 【问题解决】 （3）根据以上信息，在销售该款花卉时， ①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？ 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接．点是上方抛物线上一点，过点作轴的平行线，交于点，分别过两点作轴的平行线，交抛物线的对称轴于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在抛物线对称轴左侧时，求四边形的周长的最大值； （3）当四边形为正方形时，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线． (1)若，则a______0（填“>”或“<”）； (2)若，求此时二次函数的解析式； (3)当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 23．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义，逐项判断可得答案． 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 3．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得． 故选C． 4．若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，得出二次函数的图象开口向上．根据，得出，从而得出线段的中点的横坐标大于1，根据，得出点A到对称轴的距离较近，对称轴在直线的左侧，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：对于二次函数， ， 该二次函数的图象开口向上． 又∵点，均在该二次函数的图象上，且， ，即线段的中点的横坐标大于1， 又∵， 点A到对称轴的距离较近， 对称轴在直线的左侧， ， ． 故选：C． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 6．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是15秒钟， 故选C． 7．已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系．熟练掌握抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴x轴的交点位置，与各系数的关系，二次函数与方程的关系，与不等式的关系，是解决问题的关键． 由抛物线开口向下，交y的正半轴，得到，，对称轴在y轴右侧，判定a、b异号，得到，确定①正确；根据点和都在抛物线上，得到，，得到，，得到，，确定②③正确；当时，根据，，得到；根据，，  得到，确定④正确． 【详解】解：∵由抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴， ∴①正确； ∵点和都在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴②③正确； ∵当时， ，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 8．二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行判断求解．先求得对称轴为直线，再判断开口向下，得到，由于顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定，只能判断①⑤正确． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，即，①正确； ∵顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定， ∴②③④都不正确； ∵，且图象开口向下，对称轴为直线， ∴点和点到对称轴的距离都大于1， ∴点和点的距离都大于2，即正确，故⑤正确． 故选：B． 9．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在原点的右边， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， 解得，故②正确； ∵时函数取最小值， 且 当时， 函数， 故； ∴， ∴， ∴，故⑤错误； 故选D． 10．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质．根据题意表示出的面积与的函数关系式，结合抛物线的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 则的面积， 故的面积随出发时间的函数图象是开口向下的抛物线． 故选：C． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出两函数交点的横坐标，再利用图象得出时，的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合是解题关键． 【详解】解：∵如图抛物线和直线在同一直角坐标系中 ∴将两函数关系式联立可得： ， 解得：，， 由图象可得：时，的取值范围是：． 故答案为：． 12．若是的二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 13．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为， 则这个花园的面积是：， ∴当时，S取得最大值，此时， 故答案为：． 14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 15．已知二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足，则下列结论：①；②若，当时，y随x的增大而减小；③若有一个根是大于m的负数，则；④，其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把代入得：，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，判断或，故①错误；根据二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足，得出抛物线的对称轴，根据，当时，y随x的增大而减小，即可判断②正确；根据二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，得出二次函数，根据有一个根是大于m的负数，得出方程有解，根据根的判别式得出，即可判断③错误；根据，得出，，代入得出，根据进行判断即可得出④正确． 【详解】解：把代入得：， ∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足， ∴当时，二次函数图象，如图所示： 根据图象可知：当时，， ∴， 当时，二次函数图象，如图所示： 根据图象可知：当时，， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴， ∴若，当时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n， ∴二次函数， 可变为， ∴的解可看作直线与交点坐标的横坐标， ∴方程的解也是方程的解， ∵有一个根是大于m的负数， ∴方程有解， 即方程有解， ∴， 整理得：，故③错误； ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上分析可知：正确的有②④． 故答案为：②④． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 【答案】(1) (2) (3)，大，9 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，根据函数的图象，结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为， 设抛物线的解析式为：， ∵二次函数与x轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）当时，y随x的增大而减小； （3）当时，y达到最大值9． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 18．一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？ 【答案】(1) (2)喷出的水流不会落到池外．理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式； （2）依据题意，由（1）得解析式，令，结合喷水池的半径为2.8米，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，顶点为， 可设解析式为， ∵抛物线过点． ∴， 解得． 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）抛物线的解析式为， 令， ． 或（舍去）． ， 当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流不会落到池外． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，得到的图象在对称轴的两侧，再根据二次函数的性质以及y的最大值为7，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，对称轴为：， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数取得最小值：； 当时，函数取得最大值：； ∴函数值y的取值范围为：； （3）解：∵时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，对称轴为：， ∴时的图象在对称轴的两侧， ∴，当时：； ∵抛物线关于对称，， ∴当时的函数值与的函数值相等， ∵时，y的最大值为7， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确的求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 20．学科实践 【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表： 花店 售价（元/束） 日销售量（束） （1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价/（元/束）    日销售量/（束） （2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系； 【问题解决】 （3）根据以上信息，在销售该款花卉时， ①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3）①定价为50元或55元；②售价定为元时，每天能够获得最大利润2025元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据销售单价从小到大排列即可； （2）设销售量为盆，售价为元，，用待定系数法可得； （3）①根据每天获得2000元的利润，列方程可得答案；②设每天获得的利润为元，得：，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表： 售价/（元/束） 40 45 50 55 60 日销售量/（束）    140 120 100 80 60 （2）如下图： 观察表格中的数据的变化规律可知日销售量是售价的一次函数； （或通过图中点的位置发现，这些点都在一条直线上，所以日销售量是售价的一次函数） 设销售量为束，售价为元，， 把，代入得： 解得， ； （3）①当每天获得2000元的利润时，， 解得：或， 答：要想每天获得2000元的利润，定价为50元或55元； ②设每天获得的利润元， 根据题意得：， ， 当时，取最大值2025， 售价定为元时，每天能够获得最大利润2025元． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接．点是上方抛物线上一点，过点作轴的平行线，交于点，分别过两点作轴的平行线，交抛物线的对称轴于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在抛物线对称轴左侧时，求四边形的周长的最大值； （3）当四边形为正方形时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）根据已知条件求出BC的解析式，设，则，，表示出四边形的周长计算即可； （3）分两种情况，当和时分别计算即可； 【详解】解：（1）当时，， ∴， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵抛物线与轴分别交于点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线BC的解析式为， 把，代入得：，解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，而， ∴四边形的周长， ∴当时，四边形的周长有最大值，最大值为． （3）当时，， 当时，四边形为正方形，即， 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， 若时，四边形为正方形，即， 整理得：， 解得：（舍去），； ∴当或时，四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，一次函数解析式求解，准确计算是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线． (1)若，则a______0（填“>”或“<”）； (2)若，求此时二次函数的解析式； (3)当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)< (2) (3)或 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出抛物线过点，根据增减性即可解答； （2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点，且过点，即可求解； （3）根据题意得出抛物线解析式为，将代入，解得，根据，即可求得，根据存在，使得成立，即可求出的范围，结合图象即可求解； 【详解】（1）解：∵， 抛物线过点， 则随着x的增大，y的值先增大后减小， 故． （2）解：当时，依题意，点， 二次函数图象的对称轴为． ∵图象还过点， ∴二次函数图象的顶点即为点． 设二次函数的解析式为， 将点代入，得，解得：． ∴二次函数的解析式为． （3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点， 关于对称轴对称点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，即， ， ， ∵， ， ∵存在，使得成立， ∴，即． ∵越小，抛物线开口越大，则有最大值， ∴当时， ∴， 同理， 如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小， 如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小． 综上所述，或． 23．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2 【分析】利用一次函数求得点B和C，结合待定系数法求得抛物线的解析式； 设，，求得，，结合题意分两种情况求解即可求得m，进一步求得点M的坐标； 利用抛物线解析式求得点A和B，根据平移的性质可得，，且直线，根据题意列出，其判别式为，①当，直线与抛物线无交点；②当，直线与抛物线只有一个交点；③当，直线与抛物线有两个交点，如果方程的解与0的关系进一步判断与线段的交点即可． 【详解】（1）解：令，；令，， ，， 依题意得，解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：根据题意得，，， ，， ∵点G为的三等分点， 或， 当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，（舍去）； 当时，； 当时，． 点M的坐标为或 （3）解：∵另，，解得， ∴， ∵线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段， ∴，，且直线， 令，整理得， 其判别式为，， ①当，即时，直线与抛物线无交点； ②当，即时，直线与抛物线只有一个交点，此交点在线段上； ③当，即时，直线与抛物线有两个交点． 解方程得， 结合函数图象的性质可知， 若时，抛物线与线段只有一个交点，； 若时，抛物线与线段有两个交点，． 综上所述，当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、解一元二次方程、判别式的意义和解不等式，解题的关键是熟练应用分类讨论和二次函数的性质． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$