专题02 一元二次函数、方程和不等式（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题02 一元二次函数、方程与不等式 不等关系的判断 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 6．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 10．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 比较大小 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24高一上·云南·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 3．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东潍坊·期中）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 5．（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏淮安·期中）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 7．（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 利用不等式性质求范围 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·河南·期中）已知，则下列选项可以成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北·期中）已知，，则的取值范围是 . 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）若，，则的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 不等式的解法 1．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一下·青海·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 4．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 5．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 6．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 基本不等式及其应用 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（23-24高二上·山西朔州·期中）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 7．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）若，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 10．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 11．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知，且，则的最小值为 . 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·甘肃武威·期中）若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 含参不等式的解法 1．（23-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）解关于x的不等式； （2）求函数的定义域． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 4．（23-24高一下·福建宁德·期中）在，，设全集，并回答下列问题. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 不等式的实际应用 1．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 2．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 4．（23-24高一上·湖北孝感·期中）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：    (1)将表示为的函数，并写出定义域； (2)当取何值时，取最大值？最大值是多少？ (3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程与不等式 不等关系的判断 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质结合取特殊值排除的方法逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，令，满足，但是，故B错误； 对于C，令，满足，但是，故C错误； 对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误； 故选：A. 3．（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判定选项即可. 【详解】若，故A错误； 若，故B错误； 若，故C错误； 显然，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一上·四川成都·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例可判断选项A、B、C，由不等式的性质可判断选项D. 【详解】对于选项A，当时，若，则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B，当时，若，则，与矛盾，故选项B错误； 对于选项C，当，，满足，， 但，这与矛盾，故选项C错误； 对于选项D，因为，， 所以由不等式性质可得：，即. 因为，，由不等式性质可得：，故选项D正确. 故选：D. 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：C 6．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 7．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得，故C为假命题； 对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题； 故选：ACD. 8．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质可判断A，B，D；举反例判断C，即得答案. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，故，B正确； 对于C，取，满足，则，C错误； 对于D，若，则，故，D错误， 故选：ACD 9．（23-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 【答案】 1（答案不唯一） （答案不唯一，只要或或均可） 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】若，则由，因此假命题时，只要满足或或即可，如， 故答案为：1；．（答案不唯一） 10．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 【答案】②③⑥⑦⑧ 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法、作差法逐项判断，可得出结果. 【详解】对于①，取，则，①错； 对于②，若，则，由不等式的基本性质可得，②对； 对于③，若，则，，即，③对； 对于④，若，则，由不等式的基本性质可得，即，④错； 对于⑤，若，则，即，⑤错； 对于⑥，若，则，即，⑥对； 对于⑦，因为，则，， 所以，，即，⑦对； 对于⑧，若，，所以，，则，⑧对. 故答案为：②③⑥⑦⑧. 比较大小 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·云南·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低． 故选：B. 3．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D. 4．（23-24高一上·山东潍坊·期中）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 【答案】B 【分析】根据条件分别计算出，作差比较大小即可. 【详解】假设每次购买这种物品的数量为m， 则平均价格； 假设每次购买这种物品所花的钱为， 则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品的数量为， 则平均价格， 则 ， 所以， 故选：B. 5．（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 6．（23-24高一上·江苏淮安·期中）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【答案】 【分析】根据基本不等式相关知识并利用作差法逐个比较大小即可. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 综上所述，，当且仅当时等号成立. 故答案为： 7．（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【分析】将两数都平方，然后作差法比较大小即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为： 利用不等式性质求范围 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 2．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求的范围即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D 3．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果. 【详解】因为，所以， 又，， 所以 所以， 故， 故选：C 4．（多选）（23-24高一上·河南·期中）已知，则下列选项可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】当时，此时，则可取2，故A正确； 当时，此时，不成立，故B错误； 当时，此时，则可取3，故C正确； 当时，即，此时不成立，故D错误. 故选：AC. 5．（23-24高一上·河北·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，则， 又，所以，则， 即的取值范围为. 故答案为： 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质运算求解. 【详解】因为，，则，可得， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质，可得答案. 【详解】由，根据不等式的倒数性质，可得； 由，根据不等式的的同向同正可乘性，可得. 故答案为：. 不等式的解法 1．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高一下·青海·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式求出集合，然后再求两集合的交集即可. 【详解】由，得， 所以， 因为，所以． 故选：A 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】直接解一元二次不等式可得答案. 【详解】原不等式即为，解得， 故原不等式的解集为. 故选：B. 4．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 【答案】ACD 【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为和，显然正确； 由,可知:，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确； 故选：. 5．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 6．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 基本不等式及其应用 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 2．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助已知可变形得，借助基本不等式可求范围. 【详解】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 5．（23-24高二上·山西朔州·期中）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为6， 故选：C 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定的等式可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值. 故选：B 7．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A、B，先将变形为，再结合基本不等式即可得解；对于C、D， 先将变形为，再令即，将其代入结合三角恒等变换公式和三角函数的有界性即可求解. 【详解】对于A、B，因为， 所以，即， 当且仅当时；当且仅当时，， 故A错误，B正确； 对于C、D，， 令，则， 所以 ， 因为，故， 所以，故C、D正确. 故选：BCD. 8．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据等式中求参数范围判断A，B选项，赋值法求D选项，应用基本不等式判断C选项. 【详解】因为， 所以， 所以，A选项正确，B选项错误； 因为， 又因为，所以，C选项正确； 因为，令则，D选项错误. 故选：AC. 9．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 10．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】利用，结合基本不等式求解即可. 【详解】由得： ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：25 11．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（23-24高一上·甘肃武威·期中）若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的不等式，按与分类，并结合一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】当时，显然，此不等式在R上恒成立，则； 当时，原不等式化为，则，解得， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 含参不等式的解法 1．（23-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）解关于x的不等式； （2）求函数的定义域． 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【分析】（1）原不等式可化为，分类讨论解集； （2）令，分类讨论求定义域. 【详解】（1）原不等式可化为， 讨论与的大小． ①当，即时，不等式的解为，或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为，或； 综上：当时，不等式的解集为，或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，或； （2）当时，，定义域为， 当时，函数， 令，， 当时，， 不等式的解为， 当时， ，即时， 不等式的解集为， 当时，，不等式的解为，或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，或. 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 4．（23-24高一下·福建宁德·期中）在，，设全集，并回答下列问题. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入，化简集合和集合，利用补集和并集的概念计算求解可得答案. （2）根据充分必要条件的定义，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】（1）， 由得，， ，， . （2）由（1）得，，， “”是“”的充分不必要条件，， 分类讨论如下： ①，即时，，不符题意； ②，即时，，此时， ，（等号不同时成立），解得，时，满足， ③，即时，，此时， ，（等号不同时成立），解得，时，满足， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件. 不等式的实际应用 1．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 2．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 【答案】最大月利润为37.5万元 【分析】根据题意得到投入实体店安装费用，结合每件产品售价及进货价格写出月利润的表达式，再由结合基本不等式，即可求解函数的最大值. 【详解】由题意知，且. 每件产品售价定为， 设该公司的月利润为y万元， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 答：该公司最大月利润为37.5万元． 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 4．（23-24高一上·湖北孝感·期中）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)， 万元 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 综上，. （2）由（1）知，， 当时，， 因为，所以，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，又， 所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：    (1)将表示为的函数，并写出定义域； (2)当取何值时，取最大值？最大值是多少？ (3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围. 【答案】(1)， (2)x为30时，y取最大值为1215 (3) 【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域； （2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值； （3）解不等式即可由面积范围求边长范围. 【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积， 因为，解得 ∴定义域为                      （2）由（1），，又， 所以，            当且仅当，即时上式等号成立， 所以. 当时，.                   当为30时，取最大值为1215. （3）养殖池的面积不小于1015平方米即 所以，解得 故的取值范围为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$