精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

沈阳市第一二六中学教育集团2024--2025学年度上学期 九年级期初数学学科作业检查 检查时长：60分钟 作业满分：100分 一. 选择题 (共10小题， 30分) 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm 4. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 6. 关于反比例函数的图像与性质，下列说法中正确的是（ ） A. 它的图像位于第一、三象限 B. 点在它的图像上 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 7. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 8. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 (共5小题， 15分) 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为________． 14. 如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 15. 如图， 在中，，， ， 求_____________． 三. 解答题 (本题共5小题，共55分) 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 解方程：． 18. 如图，点为线段上一点，满足，，． （1）求长度； （2）求证：． 19. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 20. 如图， 反比例函数 与一次函数 的图象交于点，点 ， 一次函数 图象与x轴，y轴分别相交于点D，C． （1）填空： = （2）一次函数的解析式是 ： （3）求的面积是 ； （4）当 时，直接写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二六中学教育集团2024--2025学年度上学期 九年级期初数学学科作业检查 检查时长：60分钟 作业满分：100分 一. 选择题 (共10小题， 30分) 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入原方程即可解决问题． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：A 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，∵，∴本选项中这组线段不是成比例线段； B选项中，∵ ，∴本选项中的这组线段是成比例线段； C选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段； D选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段； 故选：B． 4. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 5. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【详解】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定、，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 6. 关于反比例函数的图像与性质，下列说法中正确的是（ ） A. 它的图像位于第一、三象限 B. 点在它的图像上 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练利用反比例函数图象与系数的关系，反比例函数的对称性及反比例函数增减性．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法即可求解． 【详解】解：A、因为反比例函数中，所以它的图象在第二、四象限，故本选项错误； B、因为当时，，所以点不在它的图像上，故本选项错误； C、因为反比例函数中，该函数图象在每一象限内随的增大而增大，但整体不是y随x的增大而增大，故本选项错误； D、当时，随的增大而增大，当时，，所以，故本选项正确． 故选：D． 7. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二. 填空题 (共5小题， 15分) 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．当时，方程有两个相等的实数根．当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有实数根，，且，然后解两个不等式得到a的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为3，可得，再结合图象经过二、四象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， 图象经过二、四象限 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，解题关键是要明确双曲线上任意一点引两坐标轴的垂线，所得三角形的面积为． 14. 如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 15. 如图， 在中，，， ， 求_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题的关键．在上取一点，使得，，作于点，于点，作出辅助线后可知，从而得到是等腰三角形，再经过角的等量变换得到，从而得到，然后根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，接着根据勾股定理求出，最后根据勾股定理即可求出的值． 【详解】解：在上取一点，使得，，作于点，于点， ， ， 是等腰三角形， ， 又， ， ， 且是等腰三角形， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ． 故答案为：． 三. 解答题 (本题共5小题，共55分) 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键． 原方程化为，得根的判别式，得到，即得，． 【详解】解：方程化为， ，，． ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 18. 如图，点为线段上一点，满足，，． （1）求长度； （2）求证：． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵ ∴由勾股定理得，，， ∴， ∵， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，证明，则，即，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，，由， ，可证结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长度为4； 【小问2详解】 略 19. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 20. 如图， 反比例函数 与一次函数 的图象交于点，点 ， 一次函数 图象与x轴，y轴分别相交于点D，C． （1）填空： = （2）一次函数的解析式是 ： （3）求的面积是 ； （4）当 时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3）4 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入可求出m的值； （2）求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （3）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答； （4）根据图象写出答案即可； 【小问1详解】 把代入，得， 故答案为：3； 【小问2详解】 ∵， ∴， 把代入上式，得， 把，代入，得， 解得：， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 把代入，得． ∴ ∴． 故答案为：4； 【小问4详解】 ∵，， ∴当或时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，坐标与图形的性质，利用图象解不等式，根据数形结合思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $