第09讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第09讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型强化 题型一．等腰三角形的判定 1．（2023秋•慈溪市期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是　　 A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5 2．（2022秋•东阳市月考）如图，已知点是射线上一动点不与重合），，，当　　时，以、、中的任意两点和点为顶点的三角形是等腰三角形． 3．（2023秋•秀洲区校级月考）如图，在中，，，是的平分线交于点． （1）求的度数； （2）过点作，交的延长交于点．判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由． 题型二．等腰三角形的判定与性质 4．（2023秋•温州期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点．若，，则的周长为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 5．（2023秋•义乌市校级期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，．若，，则的值为 　　． 6．（2023秋•南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 分层练习 一、单选题 1．在△ABC中，内角关系如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=80°，∠C=80° C．∠A=20°，∠B=20° ，∠C=80° D．∠A=40°，∠B=100° 2．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 4．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 5．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 6．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则（    ）    A．10 B．8 C．7 D．6 二、填空题 11．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：1：2，则此三角形的形状为 ． 12．如图，，延长至点D使得，过点D作，点F与上一点E连结且，若，则 ． 13．如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 14．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 点 A，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2，则满足条件的格点 C 的个数是 个． 15．如图，在中，，平分，作，交的延长线于点，则是 三角形. 16．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 三、解答题 17．如图所示，已知及边上两点A和B，用直尺和圆规在的角平分线上求作点P，使得是以为底边的等腰三角形，（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 19．图1，图2均是的正方形网格，每个小正方形边长为1，点均为格点（即网格线的交点）．只用直尺，分别按照下列要求画图． (1)在图1中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点在格点上． (2)在图2中，画一个，使得，且点在格点上． 20．如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规作图作边BC的高AD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：BD=CD． （3）如果三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长． 21．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 22．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 23．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 24．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．   要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP． (3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型强化 题型一．等腰三角形的判定 1．（2023秋•慈溪市期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是　　 A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5 【分析】首先根据三角形三边之间的关系判断每个选项中的三条线段能否构成三角形，进而再判定能否构成等腰三角形即可． 【解答】解：对于选项， ， 长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形， 故选项不符合题意； 对于选项， ， 长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形， 故选项不符合题意； 对于选项， ， 长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形， 故选项符合题意； 对于选项， ，， 长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形， 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题组要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形三边之间的关系，等腰三角形的判定是解决问题的关键． 2．（2022秋•东阳市月考）如图，已知点是射线上一动点不与重合），，，当　或或　时，以、、中的任意两点和点为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：分为以下5种情况： ①， ，， ； ②， ，， ， ； ③， ，， ， ； ④， ，， ， ； ⑤， ，， ， ， ； 所以当或或时，以、、中的任意两点和点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键． 3．（2023秋•秀洲区校级月考）如图，在中，，，是的平分线交于点． （1）求的度数； （2）过点作，交的延长交于点．判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，可得结论； （2）证明，可得结论． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， ； （2）结论：是等腰三角形． 理由：， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． 题型二．等腰三角形的判定与性质 4．（2023秋•温州期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点．若，，则的周长为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】先由平行线的性质与角平分线的定义证得，，再由等腰三角形的判定即可得出，，然后根据三角形周长公式求解即可． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得，是解题的关键． 5．（2023秋•义乌市校级期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，．若，，则的值为 　6　． 【分析】由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 故答案为：6． 【点评】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键． 6．（2023秋•南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由（1）知． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， 平分， ， 由（1）知． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在△ABC中，内角关系如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=80°，∠C=80° C．∠A=20°，∠B=20° ，∠C=80° D．∠A=40°，∠B=100° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为以及在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形对四个选项分别判断即可； 【详解】A.当时，由三角形的内角和可得,不符合题意； B.当时，,所以这三个角不可能在同一个三角形中，不符合题意； C.当时，，所以这三个角不可能在同一个三角形中，不符合题意； D. 当∠A=40°，∠B=100°时，由三角形的内角和可得，此时,符合题意； 故选：D. 【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键在于熟练掌握三角形内角和定理. 2．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握对角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：， ． 故选：B 3．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用， 根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数． 【详解】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形； 当P与B重合时，△APC为等腰三角形； 当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形； 当P与A重合时，△PBD为等腰三角形； 当PA=AD时，△PAD为等腰三角形； 当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个； 当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个； 综上，直线AB上会发出警报的点P有9个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键． 5．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解． 【详解】解：连接PC，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为， 若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长， ∴的周长最小值为； 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键． 6．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【详解】如图所示： ∴符合条件的点C的个数为8． 故选C． 7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，以4作为腰或底边得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示： 当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质. 以4作为腰或底边作图是解题的关键. 8．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰，所以分情况进行讨论即可． 【详解】分两种情况： ①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图1所示： 其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个； ②当AB为底边时，有1个，如图2所示： ∴△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用数形结合思想及分类讨论思想是正确解答本题的关键． 9．如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可求出∠C的度数，根据角的和差关系可求出∠BAD的度数，利用外角的性质可求出∠ADC的度数，根据等角对等边即可判断出等腰三角形的个数，可得答案． 【详解】∵∠BAC=108°，∠B=36°，∠DAC=72°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=36°，∠BAD=∠BAC-∠DAC=36°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=72°， ∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC， ∴AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴△ABC、△ADB、△ACD是等腰三角形，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及三角形内角和，熟记等角对等边及三角形的内角和为180°是解题关键． 10．如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则（    ）    A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点G，如图所示：    ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形的判定证明． 二、填空题 11．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：1：2，则此三角形的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】设∠A=x，根据题意和三角形的内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求出x，进而可得答案． 【详解】解：因为在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2， 所以设∠A=x，则∠B=x，∠C=2x， 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以x+x+2x=180°，解得：x=45°， 所以∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°， 所以这个三角形的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和特殊三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 12．如图，，延长至点D使得，过点D作，点F与上一点E连结且，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 如图，延长，交的延长线于点G，则．，，证明，则，，进而可求的长． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点G， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 13．如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 14．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 点 A，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2，则满足条件的格点 C 的个数是 个． 【答案】5 【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有5个． 【详解】解：如图所示，图中这样的点C有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的面积，注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点． 15．如图，在中，，平分，作，交的延长线于点，则是 三角形. 【答案】等边 【分析】根据角平分线的性质及平行的性质求得△ACE的各个角均为60度，从而得出△ACE是等边三角形． 【详解】证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB=120° ∴∠1=∠2＝ ∵AE∥DC ∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60° ∴∠3=∠4=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形． 【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况． 16．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题 17．如图所示，已知及边上两点A和B，用直尺和圆规在的角平分线上求作点P，使得是以为底边的等腰三角形，（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】先作∠AOB的平分线，接着作线段AB的垂直平分线，交角平分线于点P即可． 【详解】解：如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 19．图1，图2均是的正方形网格，每个小正方形边长为1，点均为格点（即网格线的交点）．只用直尺，分别按照下列要求画图． (1)在图1中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点在格点上． (2)在图2中，画一个，使得，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、等腰直角三角形： （1）根据轴对称图形的性质作图即可． （2）以点B为直角顶点作等腰直角三角形即可． 【详解】（1）如图1，即为所求． （2）如图2，即为所求． 20．如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规作图作边BC的高AD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：BD=CD． （3）如果三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8.5. 【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求； （2）证明三角形ABD与三角形ADC全等即可； （3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则. 【详解】（1） 如图，分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求； （2）证明：∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 在△ABD与△ACD中， ∵AB=AC，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（HL）， ∴BD=CD． （3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系，灵活运用等腰三角形的性质和分类讨论的思想是解题的关键. 21．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到为等腰三角形； （2）先求得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）是等边三角形， ． ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 为等腰三角形． （2）由（1）可知， ． 又， ． ． 【点睛】考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 22．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先证，再由证即可； （2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论 （3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明， ∴ 在和中 ； （2）由(1)可知，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，； （3），， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键． 23．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 24．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．   要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP． (3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可； （2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可； （3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图所示： 【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$