专题13 等腰三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 12 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和B．和或和C．和或 和 D．和或 和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况进行讨论，的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可． 【详解】解：①当的角是顶角时，则两个底角为； ②当的角是底角时，则顶角为． 故它的其余两个角的度数为或，．故选：B． 例2．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11或15 【答案】C 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【详解】解：，，， ，，解得：，， 当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：， 当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解． 例3．（2023春·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】分为腰和底两种情况求解,注意三角形的存在性：通过两个短边和大于最长边可判断三角形存在，反之则无法构成三角形． 【详解】解：因为等腰三角形的周长为，其中一边长为， 当为腰长时，其余两边的长分别为，,三角形不存在； 当为底边长时，其余两边的长都为，三角形存在；故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：①当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴构不成三角形； ②当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为； ③当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为． 综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是40度，则底角是（   ）度． A．25 B．65 C．25或65 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为是解题的关键．分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【详解】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1， 可得其顶角为，则底角为， 当该三角形为钝角三角形时，如图2，可得顶角的外角为，则顶角为， 则底角为，综上可知该三角形的底角为或，故选：C． 例2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则，由题意，分以下两种情况： ①当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键． 例2．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分为、，三种情况画图判断即可． 【详解】解：如图所示： 当时，符合条件的点有2个；当时，符合条件的点有1个； 当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个． 故符合条件的点C共有4个．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 例3．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____． 【答案】或或． 【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可． 【详解】解：①如图，当时， 是等腰直角三角形， ,，； ②如图，当时，过点作，交的延长线于点， ，，是等腰直角三角形， ，， 又，是等腰直角三角形，， 在中，，， 在中，，在中，； ③如图，当时， ，是等腰直角三角形， ， 在中，，在中，． 综上所述，的长为：或或．故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 例4．（2023春·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别为，，在x轴上找一点P，使是以线段AB为腰的等腰三角形，那么P点的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】由等腰三角形定义得等量关系：或，设，得，,构造方程求解． 【详解】解：由题意，或，设，则 ，, ∴，， 解得，或或（舍去）或 故答案为：或或 【点睛】本题考查等腰三角形定义，两点间距离公式，利用平方根解方程；由几何图形的性质得到相等关系进而建立方程求解是解题的关键． 例5．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．    (1)的长为__________；（用含的代数式表示）(2)若点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值． 【答案】(1)(2)t的值为(3)t的值为或或4 【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案；（2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：；故答案为：； （2）解：过点P作于点M，如图所示：    在中，，，，由勾股定理得：， 点P在的角平分线上，， ，， 又，，， ，设，则， 在中，，，解得：， ，即若点P在的角平分线上，则t的值为； （3）解：当作为底边时，如图所示：         则，设，则， 在中，，，解得： 此时； 当作为腰时，如图所示：，此时； 时，，，此时， 综上分析可知，t的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 例6．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，．(1)求直线的函数表达式；(2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标；(3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）由经过点，，再利用待定系数法求解即可；（2）由点在点的右侧时，结合，再解方程可得答案；（3）如图，点在轴正半轴上，由为等腰三角形，分当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： 经过点，， ，解得，所以，直线的表达式为； （2）解：如图，，，，，点在点的右侧时， ，解得，此时，∴点的坐标为． （3）解：如图，点在轴正半轴上， ∵为等腰三角形，∴当时，∵，∴，∴， 当时，∴，∴，综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，勾股定理的应用，坐标与图形面积，等腰三角形的定义，理解题意是解本题的关键． 1．（2023·云南·八年级校考阶段练习）等腰三角形一边长为，一边长为，则它的周长等于（    ） A．16 B．17 C．16或17 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为，若等腰三角形的腰长为，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为，三边长为，，， 此时它的周长等于； 若等腰三角形的腰长为，三边长为，，， 此时它的周长等于； 综上所述，它的周长等于或．故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 2．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解． 【详解】解：分情况讨论，当等腰三角形的一个内角为顶角时，其顶角为； 当为底角时，则其顶角为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用． 【详解】解：①，，，    ，； ②，，， ．故选：C． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键． 4．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（    ）      A．40 B．48 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知分三种情况，然后分类求出的面积即可． 【详解】解：，，，， 是等腰三角形，存在三种情况， 当时，的面积是：； 当时，，的面积是：； 当时，设，则，， ，，即，解得， ，的面积是：； 由上可得，的面积是40或48或，故选：D．    【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 5．（2024·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可． 【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6， 由勾股定理的：， 如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1； 以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3； 作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想． 6．（2023·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当 时，是等腰三角形．    【答案】或或 【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可． 【详解】∵，，，∴由勾股定理得：()， 当在上时， 当时，如图，∴；              当时，过于点，如图，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，∴， 当，如图，，∴ 综上可知：的值为：或或．，故答案为：或或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 7．（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 个．    【答案】 【分析】根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，      ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，，∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意，∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个，故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】分顶角度数是底角度数2倍和底角度数是顶角度数2倍两种情况讨论分别利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角度数是底角度数2倍，顶角：； 当底角度数是顶角度数2倍，顶角：． 故的顶角度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、新定义等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 9．（2024八年级上·北京·专题练习）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的定义及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．分当腰长是时和当腰长是时两种情况求解． 【详解】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是； 答案：14． 10．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 【答案】4或5或 【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用勾股定理得到，利用分类思想，分，，三种情况解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵长方形中，，． ∴，，， ∵， ∴， 当时，，，， 当时，，，， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为4或5或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的定义是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，根据勾股定理得出，根据题意得，然后分为底和腰两种情况讨论即可．解题的关键是掌握勾股定理及等腰三角形的性质． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒， ∴， ①当为底边时， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（秒）； ②当为腰时， 如图， 当时，得：（秒）； 当时， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题；先待定系数法求得一次函数解析式为，进而得出，当为直角顶点时，过点作轴，过点作于点，证明，得出，同理求得其他几个点的坐标，即可求解． 【详解】解：将，代入 解得： ∴ 当时， ∴ 如图所示，当为直角顶点时，过点作轴，过点作于点， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴, ∴即 如图所示， 同理可得 综上所述， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了长方形的性质，等腰三角形定义和性质，勾股定理的运用，根据题意可得，当是腰长为的等腰三角形时进行分类：当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；由点的位置可得，不存在；由此即可求解． 【详解】解：已知、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴，， 如图所示， 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形， 在中，， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 由点的位置可得，不存在； ∴当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为或或， 故答案为：或或 ． 14．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在，D为延长线的一点，平分，，点E为中点，交于点F，，． (1)求证：（写出证明过程，但不用写出每步的理由） (2)若，且为等腰三角形，求的度数．（直接写出结论） 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）过点P作，垂足为G，先证明得到，再根据角平分线性质定理得到，从而证明得到，即可得出结论； （2）设，根据角平分线定义得到，，再分情况当时，当时，两种情况下根据角度间的关系利用三角形内角和以及对顶角相等等知识求出结果 ． 【详解】（1）解：如图，过点P作，垂足为G， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ； （2）设， 平分， ，， 当时，， 又， ， 在中 ， 即， 解得； 当时， ， ， 在中 ， 即， 解得：， 因此的度数为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，角平分线性质定理以及角平分线的相关计算，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）（1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． 求证：； （2）模型应用： ①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段、过点A，C作直线，求直线的函数解析式： ②如图3，长方形，点O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或或 【分析】（1）由题意知，，由，可得，进而结论得证； （2）①由题意可求，，如图2，作轴于，由旋转的性质得，，同理（1），则，可求，待定系数法求直线的函数解析式即可；②设，由题意知，当是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，分点、点为直角顶点两种情况求解；当点为直角顶点时，分点在矩形内部、在矩形外部两种情况；如图3，点在矩形内部，过作轴于，于；则，，，，同理（1），则，即，计算求解即可；如图4，点在矩形外部，过作轴于，的延长线于；则，，，，同理，则，即，计算求解即可；当点为直角顶点时，如图5，作的延长线于，则，，，，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①解：当时，，即； 当时，， 解得， ∴， 如图2，作轴于， 由旋转的性质得，， 同理（1）， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式； ②解：设， 由题意知，当是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，分点、点为直角顶点两种情况求解； 当点为直角顶点时，分点在矩形内部、在矩形外部两种情况； 如图3，点在矩形内部，过作轴于，于；                      图3 则，， ∴，， ∵， ∴同理（1）， ∴，即， 解得，， ∴； 如图4，点在矩形外部，过作轴于，的延长线于；                     图4 则，， ∴，， 同理， ∴，即， 解得，， ∴； 综上，或； 当点为直角顶点时，如图5，作的延长线于，                       图5 ∴， 由题意知，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，所有符合条件的点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，旋转的性质，等腰三角形的性质并分情况求解是解题的关键． 16．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒钟 (3)11秒或12秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，用时间t表示出相应线段的长并根据题意列出方程成为解题的关键． （1）根据点P、Q的运动速度求出和，进而求得，然后运用勾股定理求解即可； （2）设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，列方程求解即可； （3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当时，则，可证明，则，则，从而求得t；②当时，则，易求得t；③当时，过B点作于点E，则求出，即可得出t． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点Q在边上运动时，， ∵为等腰三角形， ∴，解得：， ∴出发秒钟后，能形成等腰三角形． （3）解：①当时，如图1所示： 则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒． ②当时，如图2所示， 则， ∴秒． ③当时，如图3所示， 过B点作于点E，则， ∴， ∴， ∴， ∴秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 17．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图2，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； 如图3，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； 如图4，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或； （3）解：∵要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”， ∴不能使等于具体的数值， ∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可， 第一种画法：如图8， ∵，、 设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则有，， ∵， ∴， ∴， ∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为， 即可使得对取值范围内的任意值都成立， 第二种画法： ∵， 设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则，， ∵， ∴， 因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． 18．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连结．动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)的长为 ． (2)连结，当时，求t的值． (3)连结． ①当是直角三角形时，求t的值． ②当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)t＝3 (3)①t＝或t＝7；②t＝4或5或 【分析】（1）根据题意可得：，根据勾股定理可求的长； （2）利用全等三角形的对应边建立方程求解，即可得出结论； （3）①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； ②分，，三种情况讨论，可求的值． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，， 在中，， 故答案为：5； （2）如图1，在长方形中，，， ， ， ， ， ； （3）解：①当时，如图2， 在中，， 在中，， ， ， ． 当时，此时点与点重合， ， ． 综上所述，当是直角三角形时，或； ②若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图3， ，， ， ， ； 当时，如图4， ， ， ； 当时，如图5， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：当为等腰三角形时，或5或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)求的长． (2)求当t为何值，使得为等腰三角形？画出所有符合条件的图形，并求出相应t的值； (3)现把沿着直线BP翻折，当t为何值时，点C翻折后的对应点恰好落在直线上．请画出所有符合条件的图形，并求出相应的t的值． 【答案】(1) (2)5或或8 (3)或10 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，勾股定理，翻转变换的性质及一元一次方程应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【详解】（1）解：在中，，，， 则； （2）解：当时，如图， ； 当时，如图， 在中，，即， 解得：， ； 当时，如图， ， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图2， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 为或10时满足条件． 20．（23-24八年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定直线的解析式，得，，求出，通过联立，解方程组后确定，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）确定直线的解析式，继而确定平移后直线的解析式为， 通过联立，解方程组确定，则，设，得到，，然后分三种情况：①当时； ②当时；③当时；分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， 设为点的横坐标， ∴， ∴的面积为； （3）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线向上平移个单位后交于点，设直线向上平移个单位后交轴于， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵为等腰三角形， ①当时，则， ∴， ∴或， 此时点的坐标为或； ②当时，则， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③当时，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是两个一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积，根据平移的性质确定函数解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键是用方程的思想解决几何问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 12 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和B．和或和C．和或 和 D．和或 和 例2．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11或15 例3．（2023春·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是40度，则底角是（   ）度． A．25 B．65 C．25或65 D．50 例2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____． 例4．（2023春·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别为，，在x轴上找一点P，使是以线段AB为腰的等腰三角形，那么P点的坐标为 ．    例5．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为__________；（用含的代数式表示）(2)若点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．    例6．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，．(1)求直线的函数表达式；(2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标；(3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 1．（2023·云南·八年级校考阶段练习）等腰三角形一边长为，一边长为，则它的周长等于（    ） A．16 B．17 C．16或17 D．以上都不对 2．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（2023·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（    ）      A．40 B．48 C． D． 5．（2024·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当 时，是等腰三角形．    7．（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 个．    8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为 ． 9．（2024八年级上·北京·专题练习）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 10．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 11．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 14．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在，D为延长线的一点，平分，，点E为中点，交于点F，，． (1)求证：（写出证明过程，但不用写出每步的理由） (2)若，且为等腰三角形，求的度数．（直接写出结论） 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）（1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． 求证：； （2）模型应用：①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段、过点A，C作直线，求直线的函数解析式： ②如图3，长方形，点O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 16．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长；(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 17．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 18．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连结．动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，设点P运动的时间为t（秒）．(1)的长为 ．(2)连结，当时，求t的值． (3)连结．①当是直角三角形时，求t的值．②当是等腰三角形时，直接写出t的值． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)求的长．(2)求当t为何值，使得为等腰三角形？画出所有符合条件的图形，并求出相应t的值； (3)现把沿着直线BP翻折，当t为何值时，点C翻折后的对应点恰好落在直线上．请画出所有符合条件的图形，并求出相应的t的值． 20．（23-24八年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$