第23章 图形的相似（13类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第23章 图形的相似（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点02 黄金分割 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).注意：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03 平行线分线段成比例 1、两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点04 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（4）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点05 相似三角形的相关概念 （1）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. （2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 知识点06 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 相似三角形的应用 1. 利用影长测量物体的高度： ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）： ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度： 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点09 三角形的中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 数学表达式： 如图1，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴ DE为∆ABC的中位线. 特别提醒： （1）三角形有三条中位线；(2）不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别. 知识点10 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 数学表达式：如图，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴且DE = BC 特别提醒： 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一. 知识点11 位似图形的相关概念及性质： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 知识点12 画位似图形 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 知识点13 图形的变化与坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) ( 03 题型归纳 ) 题型一　比例线段 例题：（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴A不符合题意； ∵， ∴B不符合题意； ∵， ∴C不符合题意； ∵， ∴D符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是_________． 【答案】960 【分析】本题主要考查了图上距离与实际距离的换算，熟知比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】∵一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为， ∴ ∴北京到上海的实际距离大约是．故答案为：960． 3．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，代入原式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 设， 则， ∴， 故答案为：． 题型二　黄金分割 例题：（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） 故答案为：． 巩固训练 1．（2024年安徽省合肥市多校联考中考夺魁考试（三模）数学试题）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为_____________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则__________． 【答案】 【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 题型三　平行线分线段成比例 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，直线，分别交直线于点，若，，，则的长是（    ） A．5 B．4.5 C．3.25 D．3.75 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理得到．由平行线分线段成比例定理推出，代入有关数据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型四　相似图形 例题：（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 【答案】A 【分析】题主要考查相似形．根据相似形的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A. 两个菱形得各边成比例，但角不一定相等，不一定相似，符合题意； B. 根据有两个角分别相等的两个三角形是相似三角形可知两个有角的直角三角形是相似性，不符合题意； C. 两个正六边形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； D. 两个正方形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； 故选A． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解分式方程的运用，根据相似的性质“对应边成比例”即可求解． 【详解】解：根据题意，大矩形的长为：（），宽为：， ∵大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得，或（不符合题意，舍去）， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴， 故选：A ． 3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为________． 【答案】6 【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【详解】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得， 即的值为6． 故答案为：6． 题型五　相似三角形 例题：（18-19九年级·全国·课后作业）已知，相似比为，，相似比为，则，其相似比为_______. 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可得，，故可得. 【详解】因为，相似比为，所以，因为，相似比为，所以，所以，即所求相似比为. 故答案为 【点评】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键. 巩固训练 1．（19-20九年级下·全国·课后作业）如图，△ADE∽△ABC，且，则△ADE与△ABC的相似比为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，△ADE与△ABC的相似比只要找到即可． 【详解】∵，∴， ∴△ADE与△ABC的相似比为.故选项B正确. 【点评】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键． 2．（2019·广东广州·一模）如图，过△ABC内任一点P，作DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，则=（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知推出平行四边形AGPK、BDPH，得出PK=AG，PH=BD，根据相似三角形的性质得出，代入可求解． 【详解】∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC 同理可得： ∵DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB， ∴四边形AGPK是平行四边形，四边形BDPH是平行四边形， ∴PK=AG，PH=BD， =2 故选C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地根据相似三角形的判定和性质进行推理是解此题的关键． 3．（18-19八年级下·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD=3，DB=5，DE=1.2，则BC=_______ 【答案】3.2 【分析】首先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得：BC=3.2． 故答案为3.2. 【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 题型六　相似三角形的判定 例题：（20-21九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，D是AB边的中点， ∴， ∴． 又∵于点E， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴图中与相似的三角形共有3个． 故选B． 巩固训练 1．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，由角的和差得，由相似三角形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A.由两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似得，故不符合题意； B.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； C.无法判断，故符合题意； D.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； 故选：C． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在△ABC与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型七　相似三角形的性质 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，如图，设交于点，可得，进而得，即得，得到，再由得到，设，则，，可得，即得，得到，再代入代数式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分，交于点，若，则________．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质．根据平行四边形的性质、角平分线和相似三角形的判定可证，，从而可得，再由，，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，则 ∴， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，点P为边的中点， ∴，， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为6，故答案为：6． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，于点D，正方形的四个顶点都在△ABC的边上．求证： 【答案】见解析 【详解】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据正方形的性质得到， ，进而得到，，利用对应边成比例解题即可． 证明：∵ 四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ． ∴ ① ∵ ， ∴ ， ∴ ∵， ∴ ② ①+②得， ∴ 题型八　相似三角形的应用 例题：（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ，即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 2．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及圆柱体积计算，先证明，求出枯井的深，进而求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得， ∴圆柱形枯井的体积为， ∴填平这口井需要的泥土的体积大约是． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可． 【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E， 由题意知，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． ∴镜长至少为 题型九　利用中位线定理求解及证明 例题：（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，在△ABC中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ∵AB=BC，BD平分， ， ∵E为的中点， ∴是△AFC的中位线， ， 故答案为：3． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，点分别是的中点，过点作于点，连接，若，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，连接可得是的中位线，进一步可推出据此即可求解； 【详解】解：如图，连接 ∵点分别是的中点， 是△ABC的中位线， ， ∴ 在中，由勾股定理得． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图， 在△ABC中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ________．    【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ∵△APQ∽△ABC， ， ， ， ， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，△ABC的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形的对边且 ，得到四边形是平行四边形，证得结论． 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是△ABC的两条中线， ∴点D、E分别是边的中点， 又∵F、G分别是的中点， ， 且 ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型十　中位线的实际应用 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴之间的距离是， 故选：D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·山西大同·期中）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是_______ 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， 分别是的中点， ， 是△ABC的中位线， ， 需要篱笆的长是． 故答案为： 【点评】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到． 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为△ABC的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型十一　位似图形的相关概念及性质 例题：4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE位似，位似中心为点，且相似比为．若△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，且相似比为， ， 的周长为6， ∴△ADE的周长为：， 故选：C． 巩固训练 1．（17-18九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（　　） A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2：3 C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3 D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形； A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确； B、AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误； C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确； D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确． 故选B． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即．故选：C． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质．解题的关键在于正确理解如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方． 根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形的面积即可． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴，即，解得， ∴四边形的面积是，故选：． 题型十二　画位似图形 例题：（2024·安徽蚌埠·三模）如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把△ABC向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 【答案】见解析 【分析】此题考查了位似变换与平移的变换．注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键． （1）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形； （2）直接利用平移的性质，可分别求得各点的坐标，继而画出图形，再作出高． 【详解】（1）符合条件有两个，如图所示． （2）及高如图所示； 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，分别按下列要求作出四边形以O点为位似中心的位似四边形． (1)沿方向放大为原图的2倍； (2)沿的方向放大为原图的2倍． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了位似图形的画法，利用已知得出对应点坐标是解题的关键； （1）分别反向延长使得，，进而得出符合题意的图形； （2）分别延长使得，，进而得出符合题意的图形． 【详解】（1）解：沿方向放大为原图的2倍的图如下图所示， （2）解：沿的方向放大为原图的2倍的图如下图所示， 2．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【答案】见解析 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所作； （2）解：如图2，为所作． 3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)作出△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求图形； （2）解：根据相似比可得，， 如图，为所求； （3）解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 题型十三　图形的变化与坐标变化 例题：（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1) △ABC先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将△ABC绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，． 【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可； （2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可． 本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，，则就是所求的三角形，如图： （2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，则就是所求的三角形，如图： 由图可知，点的坐标为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标依次为，，将线段AB平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点A的对应点的坐标为， ∴平移方法为横坐标加1，纵坐标减3， ∵， ∴， ∴点的坐标为，故答案为：． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点的位置，写出点的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点． 【详解】解：如图所示，根据点，，建立坐标系，如图所示： ∴点坐标为：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）三角形在平面直角坐标系中的位置如图，将图中三角形向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形． (1)请在图中画出三角形； (2)分别写出下列各点的坐标：________；________；________； (3)请直接写出三角形的面积________． 【答案】(1)图见详解；(2)；；；(3)2． 【分析】本题主要考查了平移作图，写出直角坐标系点的坐标，以及利用网格求三角形面积． （1）利用平移的性质作图即可． （2）根据（1）画出三角形，直接写出直角坐标系点的坐标即可． （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：三角形如下图所示： （2）根据（1）三角形可知： ，， （3） ( 41 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点02 黄金分割 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).注意：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03 平行线分线段成比例 1、两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点04 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（4）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点05 相似三角形的相关概念 （1）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. （2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 知识点06 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 相似三角形的应用 1. 利用影长测量物体的高度： ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）： ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度： 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点09 三角形的中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 数学表达式： 如图1，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴ DE为∆ABC的中位线. 特别提醒： （1）三角形有三条中位线；(2）不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别. 知识点10 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 数学表达式：如图，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴且DE = BC 特别提醒： 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一. 知识点11 位似图形的相关概念及性质： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 知识点12 画位似图形 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 知识点13 图形的变化与坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) ( 03 题型归纳 ) 题型一　比例线段 例题：（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 巩固训练 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是_________． 3．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是________． 题型二　黄金分割 例题：（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为_____________． 巩固训练 1．（2024年安徽省合肥市多校联考中考夺魁考试（三模）数学试题）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为_____________．（结果保留根号） 3．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则__________． 题型三　平行线分线段成比例 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，直线，分别交直线于点，若，，，则的长是（    ） A．5 B．4.5 C．3.25 D．3.75 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为_______． 3．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，求证：． 题型四　相似图形 例题：（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为________． 题型五　相似三角形 例题：（18-19九年级·全国·课后作业）已知，相似比为，，相似比为，则，其相似比为_______. 巩固训练 1．（19-20九年级下·全国·课后作业）如图，△ADE∽△ABC，且，则△ADE与△ABC的相似比为(     ) A． B． C． D． 2．（2019·广东广州·一模）如图，过△ABC内任一点P，作DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，则=（　　） A．1 B． C．2 D． 3．（18-19八年级下·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD=3，DB=5，DE=1.2，则BC=_______ 题型六　相似三角形的判定 例题：（20-21九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在△ABC与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 题型七　相似三角形的性质 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为_______． 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分，交于点，若，则________．    2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为_______． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，于点D，正方形的四个顶点都在△ABC的边上．求证： 题型八　相似三角形的应用 例题：（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 2．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 题型九　利用中位线定理求解及证明 例题：（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，在△ABC中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为________． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，点分别是的中点，过点作于点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图， 在△ABC中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ________．    3．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，△ABC的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 题型十　中位线的实际应用 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·山西大同·期中）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（     ）    A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是_______ 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是． 题型十一　位似图形的相关概念及性质 例题：4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE位似，位似中心为点，且相似比为．若△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 巩固训练 1．（17-18九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（　　） A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2：3 C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3 D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 题型十二　画位似图形 例题：（2024·安徽蚌埠·三模）如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把△ABC向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，分别按下列要求作出四边形以O点为位似中心的位似四边形． (1)沿方向放大为原图的2倍； (2)沿的方向放大为原图的2倍． 2．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)作出△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 题型十三　图形的变化与坐标变化 例题：（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1) △ABC先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将△ABC绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标依次为，，将线段AB平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为_______． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为______． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）三角形在平面直角坐标系中的位置如图，将图中三角形向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形． (1)请在图中画出三角形； (2)分别写出下列各点的坐标：________；________；________； (3)请直接写出三角形的面积________． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$