九年级数学第一次月考卷（广州专用，人教版九上第21～22章：一元二次方程+二次函数）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值的增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值的增大而减小 【答案】B 【详解】解： ， 时，y的值随x值的增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值的增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 3．关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个实数根， 故选：A． 4．将二次函数化为的形式，结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 故选：C． 5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：C． 6．已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， 注意到，两点的纵坐标都是， ∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线， 点，，均在二次函数的图象上， ， ， 故选：D． 7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【答案】B 【详解】解：设仓库的宽为米 则仓库的长为：米 根据题意可得： 当时，有最大值，最大值为484． 故选：B． 8．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 9．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 10．如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ，故结论①正确； 由图像可得：抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴，即，故结论②错误； 由图像可得： 当时，，故结论③正确； 当时，， 当时，，即， ∴， ∴，故结论④正确； ∵抛物线过点， ∴， 当时，， ∴，即， ∴，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是． 故选：B． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2＝ ． 【答案】 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2， 则原式＝， 故答案为： 12．将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 13．已知是方程的一个根，试求的值 ． 【答案】2009 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 14．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 【答案】16 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 15．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：令，得到， ， ，得函数图象的对称轴是直线， 设点坐标为，由、关于对称轴， 得， 解得， 即点坐标为， 故答案为：． 16．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 故填． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 解下列方程： (1) (2) 【详解】（1）解： ∴或， ∴，；------------（2分） （2）解：，即， ∴， ∴，．------------（4分） 18．（4分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是；------------（2分） （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： ------------（4分） 19．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ------------（1分） 化简得： ， 或（舍）------------（3分） 答：进馆人次的月平均增长率为．------------（4分） （2）∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为：------------（5分） 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------（6分） 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，求的值. 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程为， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；------------（3分） （2）解：关于的一元二次方程为， ，， ，即，则，解得或.------------（6分） 21．（8分）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，-------（1分） 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，，------------（2分） 答：经过或之后，的长为cm；------------（3分） （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，，------------（4分） ∵矩形中，，， ∴，，------------（5分） ∴矩形的面积为：， ∴的面积，------------（6分） 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．------------（8分） 22．（10分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为，------------（1分） 将、代入，得： 解得：，------------（4分） 所以y与x的函数解析式为；------------（5分） （2）解：根据题意知，，---------（6分） ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200，------------（9分） 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．------------（10分） 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：，------------（1分） 则抛物线的解析式为；------------（2分） （2）解：∵， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，------------（3分） ∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；------------（4分） （3）解：存在，要使的周长最小，只需最小即可， ∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M， ， 则，------------（6分） ∴点M满足题意， 设直线的解析式为，把点和代入得， 则， 解得，------------（8分） ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是，则， 即点为所求．------------（10分） 24．（12分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x，------------（2分） 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；------------（4分） 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解，------------（7分） 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍， 故答案为不存在；------------（8分） 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x，------------（10分） 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．------------（12分） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；------------（2分） （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3，------------（4分） 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+． 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；------------（7分） （3）设点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC==|m|，QO=．------------（8分） △QOC为等腰三角形分三种情况： ①当OC=QC时，3=|m|， 解得：m=±， 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）； ②当OC=QO时，3=， 解得：m=3或m=0（舍去）， 此时点Q的坐标为（3，0）； ③当QC=QO时，有|m|=， 解得：m=， 此时点Q的坐标为（，﹣）． 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．----（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值的增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值的增大而减小 3．关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．将二次函数化为的形式，结果为（ ） A． B． C． D． 5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 6．已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 8．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 10．如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2＝ ． 12．将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为 ． 13．已知是方程的一个根，试求的值 ． 14．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 15．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 16．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 解下列方程： (1) (2) 18．（4分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 19．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，求的值. 21．（8分）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 22．（10分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 8 页） 试题 第 2 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． 2 0ax bx c   B． 22x x  C．  2 2 2x x x   D． 1 1x x   2．对于二次函数 2 1 10 y x  ，下列说法正确的是（ ） A．当 0x  时，y的值随 x值的增大而减小 B．y有最大值，最大值为 0 C．当 0x  时，y的值随 x值的增大而增大 D．y的值随 x值的增大而减小 3．关于 x的一元二次方程 2 1 0x ax a    ，根的情况是（ ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．将二次函数 2= 2 3y x x  化为  2y x h k   的形式，结果为（ ） A．  21 4y x   B．  21 2y x   C．  21 4y x   D．  21 2y x   5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如 2 2x ax b  的方程，可用如图解法：作直角三角形 ABC，其 中 90C  ， AC b ， 2 a BC  ，在斜边 AB上截取BD BC ，则该方程的其中一个正根是（ ） A．线段 AC的长 B．线段BC的长 C．线段 AD的长 D．线段CD的长 6．已知二次函数 2y ax bx c   的图像过点  2,A m ，  6,B m ，开口向下，若点  12,E y ，  23,F y ，  37,G y 均在二次函数 2y ax bx c   的图象上，下列正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 1 3 2y y y  C． 3 1 2y y y  D． 2 1 3y y y  7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用 85 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为S 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的 缺口作小门，则S的最大值为（ ） A．418 B．484 C．516 D．648 8．一次函数 y ax b  和二次函数 2y ax bx  在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知关于 x的方程 2 2(2 1) 0x m x m    的两个实数根 1x ， 2x ，若   1 21 1 3  x x ，则 m的值为（ ） A． 3 B．1 C． 3 或 1 D． 1 或 3 10．如图，二次函数 2y ax bx c    0a  的函数图像经过点  1,2 ，且与 x轴交点的横坐标分别为 1x 、 2x ， 其中 11 0x   ， 21 2x  ，下列结论：① 0abc  ；②2 0a b  ；③4 2 0a b c   ；④ 1b  ，⑤当  1 2x m m   时，   2m am b c   ；其中正确结论的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知 x1，x2是一元二次方程 3x 2 ＝6﹣2x 的两个实数根，则 x1﹣x1x2+x2＝ ． 12．将抛物线 23 2y x  的图象向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位的抛物线为 ． 试题 第 3 页（共 8 页） 试题 第 4 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … 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馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20．（6 分）已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 0x k x k k     ． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若   1 22 2 6x x   ，求 k的值. 试题 第 5 页（共 8 页） 试题 第 6 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 21．（8 分）如图，已知长方形 ABCD的边长 3cmAB  ， 6cmBC  ，某一时刻，动点M 从点A 出发沿 AB方 向以1cm/s的速度向点 B匀速运动；同时，动点N 从点D出发沿DA方向以 2cm/s的速度向点A 匀速运动， 当点M 到达点 B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，MN的长为2 2cm？ (2)经过多长时间， AMN 的面积等于长方形 ABCD面积的 1 9 ？ 22．（10 分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为 10 元/件，已知销售价不低 于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 20 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件） 与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每 天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10 分）如图，二次函数的图象与 x轴交于  3 0A  , 和  1 0B , 两点，交 y轴于点  0,3C ，点 C，D是二 次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点 D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点 M，使 BCM 的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在， 请说明理由． 试题 第 7 页（共 8 页） 试题 第 8 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 24．（12 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在正方形 EFGH 的四条边上，我们称正方形 EFGH 是正 方形 ABCD 的外接正方形． 探究一：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 2 倍？如图，假设存在正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 的 2 倍． 因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 2， 所以 EF＝FG＝GH＝HE＝ 2 ，设 EB＝x，则 BF＝ 2 ﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝ 2 ﹣x 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得 x2+（ 2 ﹣x） 2 ＝12 解得，x1＝x2＝ 2 2 ∴BE＝BF，即点 B 是 EF 的中点． 同理，点 C，D，A 分别是 FG，GH，HE 的中点． 所以，存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 2 倍 探究二：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 3 倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为 1 的正方形 ABCD， 一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 4 倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 n 倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原 点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，﹣3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形 ABPC 的面积最大时的 P 点坐标和四边形 ABPC 的最大面积； （3）在直线 BC 找一点 Q，使得△QOC 为等腰三角形，写出 Q 点坐标． 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值的增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值的增大而减小 3．关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．将二次函数化为的形式，结果为（ ） A． B． C． D． 5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 6．已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 8．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 10．如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2＝ ． 12．将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为 ． 13．已知是方程的一个根，试求的值 ． 14．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 15．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 16．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 解下列方程： (1) (2) 18．（4分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 19．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，求的值. 21．（8分）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 22．（10分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． 2 0ax bx c   B． 22x x  C．  2 2 2x x x   D． 1 1x x   2．对于二次函数 2 1 10 y x  ，下列说法正确的是（ ） A．当 0x  时，y的值随 x值的增大而减小 B．y有最大值，最大值为 0 C．当 0x  时，y的值随 x值的增大而增大 D．y的值随 x值的增大而减小 3．关于 x的一元二次方程 2 1 0x ax a    ，根的情况是（ ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．将二次函数 2= 2 3y x x  化为  2y x h k   的形式，结果为（ ） A．  21 4y x   B．  21 2y x   C．  21 4y x   D．  21 2y x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如 2 2x ax b  的方程，可用如图解法：作直角三角形 ABC，其中 90C  ， AC b ， 2 a BC  ，在斜边 AB上截取BD BC ，则该方程的其中一个正根是（ ） A．线段 AC的长 B．线段BC的长 C．线段 AD的长 D．线段CD的长 6．已知二次函数 2y ax bx c   的图像过点  2,A m ，  6,B m ，开口向下，若点  12,E y ，  23,F y ，  37,G y 均在二次函数 2y ax bx c   的图象上，下列正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 1 3 2y y y  C． 3 1 2y y y  D． 2 1 3y y y  7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用 85 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为S 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的 缺口作小门，则S的最大值为（ ） A．418 B．484 C．516 D．648 8．一次函数 y ax b  和二次函数 2y ax bx  在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知关于 x的方程 2 2(2 1) 0x m x m    的两个实数根 1x ， 2x ，若   1 21 1 3  x x ，则 m的值为（ ） A． 3 B．1 C． 3 或 1 D． 1 或 3 10．如图，二次函数 2y ax bx c    0a  的函数图像经过点 1,2 ，且与 x轴交点的横坐标分别为 1x 、 2x ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 其中 11 0x   ， 21 2x  ，下列结论：① 0abc  ；②2 0a b  ；③4 2 0a b c   ；④ 1b  ，⑤当  1 2x m m   时，   2m am b c   ；其中正确结论的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知 x1，x2是一元二次方程 3x 2 ＝6﹣2x 的两个实数根，则 x1﹣x1x2+x2＝ ． 12．将抛物线 23 2y x  的图象向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位的抛物线为 ． 13．已知A 是方程 2 2010 1 0x x   的一个根，试求 2 2 2010 2009 1 A A A    的值 ． 14．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了 240 件，则全组 共有 名同学． 15．如图，抛物线 2y ax bx c   与 x轴相交于点A ， ( 2,0)B m  ，与 y轴相交于点C，点D在该抛物线上， 与点C关于对称轴对称，坐标为 ( , )m c ，则点 A的坐标是 ． 16．如图（1），在 ABC 中， AB AC ， 90BAC  ，边 AB上的点D从顶点A 出发，向顶点 B运动，同 时，边BC上的点E从顶点 B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设 x AD ，y AE CD  ， y关于 x的函数图象如图（2），图象过点  0,2 ，则图象最低点的横坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 解下列方程： (1)    22 2 3 2x x   (2) 2 2 3x x  18．（4 分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值如表所示∶ x … 3 2 1 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（6 分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某 校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆 人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20．（6 分）已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 0x k x k k     ． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若   1 22 2 6x x   ，求 k的值. 21．（8 分）如图，已知长方形 ABCD的边长 3cmAB  ， 6cmBC  ，某一时刻，动点M 从点A 出发沿 AB方 向以1cm/s的速度向点 B匀速运动；同时，动点N 从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A 匀速运动， 当点M 到达点 B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，MN的长为2 2cm？ (2)经过多长时间， AMN 的面积等于长方形 ABCD面积的 1 9 ？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 22．（10 分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为 10 元/件，已知销售价不低于 成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 20 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件） 与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每 天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10 分）如图，二次函数的图象与 x轴交于  3 0A  , 和  1 0B , 两点，交 y轴于点  0,3C ，点 C，D是二 次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点 D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使 BCM 的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请 说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 24．（12 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在正方形 EFGH 的四条边上，我们称正方形 EFGH 是正 方形 ABCD 的外接正方形． 探究一：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 2 倍？如图，假设存在正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 的 2 倍． 因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 2， 所以 EF＝FG＝GH＝HE＝ 2 ，设 EB＝x，则 BF＝ 2 ﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝ 2 ﹣x 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得 x2+（ 2 ﹣x） 2 ＝12 解得，x1＝x2＝ 2 2 ∴BE＝BF，即点 B 是 EF 的中点． 同理，点 C，D，A 分别是 FG，GH，HE 的中点． 所以，存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 2 倍 探究二：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 3 倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为 1 的正方形 ABCD， 一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 4 倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 n 倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，﹣3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形 ABPC 的面积最大时的 P 点坐标和四边形 ABPC 的最大面积； （3）在直线 BC 找一点 Q，使得△QOC 为等腰三角形，写出 Q 点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二十一章：一元二次方程、第二十二章：二次函数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． 2 0ax bx c   B． 22x x  C．  2 2 2x x x   D． 1 1x x   【答案】B 【详解】解：A、当 0a  时， 2 0ax bx c   是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、 22x x  是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为2 2x  不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、 1 1x x   含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．对于二次函数 2 1 10 y x  ，下列说法正确的是（ ） A．当 0x  时，y 的值随 x 值的增大而减小 B．y 有最大值，最大值为 0 C．当 0x  时，y 的值随 x 值的增大而增大 D．y 的值随 x 值的增大而减小 【答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解： 1 0 10   ， 0x  时，y 的值随 x 值的增大而增大；A 不正确； 当𝑥 = 0时，y 有最大值，最大值为 0，B 正确； 当 0x  时，y 的值随 x 值的增大而增大； 当 0x  时，y 的值随 x 值的增大而减小，C 不正确；D 不正确； 故选：B． 3．关于 x的一元二次方程 2 1 0x ax a    ，根的情况是（ ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵      2 22 24 4 1 4 4 2 0b ac a a a a a              ， ∴关于 x的一元二次方程 2 1 0x ax a    有两个实数根， 故选：A． 4．将二次函数 2= 2 3y x x  化为  2y x h k   的形式，结果为（ ） A．  21 4y x   B．  21 2y x   C．  21 4y x   D．  21 2y x   【答案】C 【详解】解： 2 2 3y x x   2 2 1 1 3x x      21 4x   ． 故选：C． 5．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如 2 2x ax b  的方程，可用如图解法：作直角三角形 ABC ，其中 90C  ， AC b ， 2 a BC  ，在斜边 AB 上截取BD BC ，则该方程的其中一个正根是（ ） A．线段 AC 的长 B．线段BC 的长 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．线段 AD的长 D．线段CD的长 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得： 2 2 2BC AC AB  ∵ 2 a BD BC  ， AC b ， 2 a AB AD  ∴ 2 2 2 2 2 a a b AD             整理得： 2 2AD a AD b   ∵ 2 2x ax b  ∴ AD的长是方程 2 2x ax b  的一个正根 故选：C． 6．已知二次函数 2y ax bx c   的图像过点  2,A m ，  6,B m ，开口向下，若点  12,E y ，  23,F y ，  37,G y 均在二次函数 2y ax bx c   的图象上，下列正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 1 3 2y y y  C． 3 1 2y y y  D． 2 1 3y y y  【答案】D 【详解】解：∵二次函数 2y ax bx c   的图象过点  2,A m ，  6,B m ， 注意到  2,A m ，  6,B m 两点的纵坐标都是m ， ∴二次函数 2y ax bx c   的图象是开口向下，且对称轴为直线 2 6 2 x   ，即 4x  的抛物线， 点  12,E y ，  23,F y ，  37,G y 均在二次函数 2y ax bx c   的图象上， 7 4 2 4 3 4       ， 2 1 3y y y   ， 故选：D． 7．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用 85 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为S 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的 缺口作小门，则S的最大值为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A．418 B．484 C．516 D．648 【答案】B 【详解】解：设仓库的宽 AB 为 x米 则仓库的长为：  85 3 4 88 4x x    米 根据题意可得：    2288 4 4 88 4 11 484S x x x x x         4 0  当 11x  时，S有最大值，最大值为 484． 故选：B． 8．一次函数 y ax b  和二次函数 2y ax bx  在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知， 0a  ， 0 2 b x a    ，得 0b  ，由直线可知， 0 0a b ， ，故本选项不符 合题意； B、由抛物线可知， 0 0 2 b a x a    ， ，得 0b  ，由直线可知， 0 0a b ， ，故本选项符合题意； C、由抛物线可知， 0a  ， 0 2 b x a    ，得 0b  ，由直线可知， 0 0a b ， ，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知， 0 0 2 b a x a    ， ，得 0b  ，由直线可知， 0 0a b ， ，故本选项不符合题意． 故选：B 9．已知关于 x 的方程 2 2(2 1) 0x m x m    的两个实数根 1x ， 2x ，若   1 21 1 3  x x ，则 m 的值为（ ） A． 3 B．1 C． 3 或 1 D． 1 或 3 【答案】A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】解：∵ 1 2,x x 是方程  2 22 1 0x m x m    的两实数根， ∴   22 24 2 1 4 1 4 0b ac m m m            ， ∴ 1 4 m  ， ∴ 2 1 2 1 22 1, b c x x m x x m a a        ， ∵     1 2 1 2 1 21 1 1 3x x x x x x       ， ∴ 2 2 1 1 3m m    ， 解得： 1m  （舍）或 3m   ； 故选 A． 10．如图，二次函数 2y ax bx c    0a  的函数图像经过点 1,2 ，且与 x轴交点的横坐标分别为 1x 、 2x ， 其中 11 0x   ， 21 2x  ，下列结论：① 0abc  ；②2 0a b  ；③4 2 0a b c   ；④ 1b  ，⑤当  1 2x m m   时，   2m am b c   ；其中正确结论的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ 0a  ， ∵抛物线对称轴在 y 轴右侧， ∴ 0 2 b a   ， ∴ 0b  ， ∵抛物线与 y 轴交点在 x轴上方， ∴ 0c  ， 0abc  ，故结论①正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 由图像可得：抛物线的对称轴 2 b x a   在0和1之间， ∴0 1 2 b a    ， ∴ 2b a  ，即2 0a b  ，故结论②错误； 由图像可得： 当 2x   时， 4 2 0y a b c    ，故结论③正确； 当 1x   时， 0y a b c    ， 当 1x  时， 2a b c   ，即 2a c b   ， ∴2 2 0b  ， ∴ 1b  ，故结论④正确； ∵抛物线过点  1,2 ， ∴ 2a b c   ， 当1 2m  时， 2y  ， ∴ 2am bm c a b c     ，即 2 2am bm c   ， ∴ 2 2am bm c  ，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是4 ． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知 x1，x2是一元二次方程 3x 2 ＝6﹣2x 的两个实数根，则 x1﹣x1x2+x2＝ ． 【答案】 4 3 【详解】解：∵x1，x2 是一元二次方程 3x 2+2x﹣6＝0 的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣ 2 3 ，x1x2＝﹣2， 则原式＝ 4 3 ， 故答案为： 4 3 12．将抛物线 23 2y x  的图象向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位的抛物线为 ． 【答案】 23( 2) 1y x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：将抛物线 23 2y x  向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为： 23( 2) 1y x   ． 故答案为： 23( 2) 1y x   ． 13．已知A 是方程 2 2010 1 0x x   的一个根，试求 2 2 2010 2009 1 A A A    的值 ． 【答案】2009 【详解】∵A 是方程 2 2010 1 0x x   的一个根， ∴ 2 2010 1 0AA    ，即 2 2 01 01 AA   ， 2 2010 1A A  则 2 2 2010 2009 1 A A A    2010 1 2009A A   2010 2010A  21 1 1 1 A A A A       2010 1 2009 A A    故答案为：2009． 14．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了 240 件，则全组 共有 名同学． 【答案】16 【详解】解：设全组共有 x名同学，则  1 240x x   ， 2 240 0x x    ，即   16 15 0x x   ，解得 16x  或 15x   （舍弃）， 故答案为：16． 15．如图，抛物线 2y ax bx c   与 x轴相交于点A ， ( 2,0)B m  ，与 y 轴相交于点C ，点D在该抛物线上， 与点C 关于对称轴对称，坐标为 ( , )m c ，则点 A 的坐标是 ． 【答案】 ( 2,0) 【详解】解：令 0x  ，得到 x c ， (0, )C c ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ( , )D m c ，得函数图象的对称轴是直线 2 m x  ， 设A 点坐标为 ( , 0)x ，由A 、 B 关于对称轴 2 m x  ， 得 2 2 2 x m m   ， 解得 2x   ， 即A 点坐标为 ( 2,0) ， 故答案为： ( 2,0) ． 16．如图（1），在 ABC 中， AB AC ， 90BAC  ，边 AB 上的点D从顶点A 出发，向顶点 B 运动，同 时，边BC 上的点E 从顶点 B 出发，向顶点C 运动，D，E 两点运动速度的大小相等，设 x AD ，y AE CD  ， y 关于 x的函数图象如图（2），图象过点  0,2 ，则图象最低点的横坐标是 ． 【答案】 2 1 【详解】解：由图可知，当 x=0 时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC= 2 ，图象最低点函数值即为 AE+CD的最小值 由题意可得：CD= 2 1x  ,AE= 2 2 2 2 2 2 x                 ∴AE+CD= 2 1x  + 2 2 2 2 2 2 x                 ，即点（x，0）到（0,-1）与（ 2 2 ， 2 2 ）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD 最小 设该直线的解析式为 y=kx+b 1 2 2 2 2 b k b       解得 2 1 1 k b       ∴  2 1 1y x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 当 y=0 时，x= 2 1 ． 故填 2 1 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 解下列方程： (1)    22 2 3 2x x   (2) 2 2 3x x  【详解】（1）解：    22 2 3 2 0x x       2 2 3 2 0x x        2 1 2 0x x   ∴2 1 0x   或 2 0x   ， ∴ 1 1 2 x  ， 2 2x  ；------------（2 分） （2）解： 2 2 1 3 1x x    ，即  21 4x   ， ∴ 1 2x  ± ， ∴ 1 1x  ， 2 3x   ．------------（4 分） 18．（4 分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表所示∶ x … 3 2 1 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是 2y ax bx c   ， 把点      3,0 , 2, 3 , 0, 3    代入得： 9 3 0 4 2 3 3 a b c a b c c            ，解得： 1 2 3 a b c       ， ∴这个二次函数的解析式是 2 2 3y x x   ；------------（2 分） （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： ------------（4 分） 19．（6 分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某 校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆 人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为 x，则由题意得： 2128 128 1 128 1( ) ) 6( 08x x     ------------（1 分） 化简得： 24 12 7 0x x   ( )(2 1 7 0)2x x    ， 0.5 50%x   或 3.5x   （舍）------------（3 分） 答：进馆人次的月平均增长率为50%．------------（4 分） （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%， 第四个月的进馆人次为： 3 27 128 1 50% 128 432 500 8 ( )     ------------（5 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------（6 分） 20．（6 分）已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 0x k x k k     ． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若   1 22 2 6x x   ，求 k 的值. 【详解】（1）证明：关于 x的一元二次方程为  2 22 1 0x k x k k     ，     2 22 1 4k k k        2 24 4 1 4 4k k k k     1 0  ， 关于 x的一元二次方程  2 22 1 0x k x k k     有两个不相等的实数根；------------（3 分） （2）解：关于 x的一元二次方程为  2 22 1 0x k x k k     ， 1 2 2 1x x k    ， 2 1 2x x k k  ，    1 22 2 x x  1 2 1 22 4 6x x x x         2 2 2 1 4 6kk k     ，即 2 3 4 0k k   ，则   4 1 0k k   ，解得 4k  或 1k   .------------（6 分） 21．（8 分）如图，已知长方形 ABCD的边长 3cmAB  ， 6cmBC  ，某一时刻，动点M 从点A 出发沿 AB 方 向以1cm/s的速度向点 B 匀速运动；同时，动点N 从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A 匀速运动， 当点M 到达点 B 时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，MN 的长为2 2cm？ (2)经过多长时间， AMN 的面积等于长方形 ABCD面积的 1 9 ？ 【详解】（1）设经过 st 后，则 2DN tcm ，  6 2AN t cm  ，AM tcm ，MN 的长为2 2 cm，-------（1 分） 根据题意，由勾股定理得： 2 2 2AN AM MN  ， 即    222 6 2 2 2t t   ， 解得： 1 2t  ， 2 14 5 t = ，------------（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 答：经过2s或 14 s 5 之后，MN 的长为2 2 cm；------------（3 分） （2）设经过 x秒， AMN 的面积等于矩形 ABCD面积的 1 9 ， 由题意得 2DN xcm ，  6 2AN x cm  ， AM xcm ，------------（4 分） ∵矩形 ABCD中， 3AB cm ， 6BC cm ， ∴ 6AD BC cm  ， 3CD AB cm  ，------------（5 分） ∴矩形 ABCD的面积为： 23 6 18AB AD cm    ， ∴ AMN 的面积   21 1 16 2 3 18 2 2 9 AN AM x x x x        ，------------（6 分） 整理得： 2 3 2 0x x   ， 解得 1 1x  ， 2 2x  ， 答：经过1秒或2秒， AMN 的面积等于长方形 ABCD面积的 1 9 ．------------（8 分） 22．（10 分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为 10 元/件，已知销售价不低于 成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 20 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件） 与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每 天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设 y 与 x 的函数解析式为 y kx b  ，------------（1 分） 将 (12, 28) 、 (15,25)代入，得： 12 28 15 25 k b k b      解得： 1 40 k b     ，------------（4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 所以 y 与 x 的函数解析式为  40 10 20y x x     ；------------（5 分） （2）解：根据题意知，        2210 10 40 50 400 25 225W x y x x x x x              ，---------（6 分）  1 0a    ， 当 25x  时，W随 x 的增大而增大， 10 20x≤ ≤ ， 当 20x 时，W 取得最大值，最大值为 200，------------（9 分） 答：每件销售价为 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 200 元．------------（10 分） 23．（10 分）如图，二次函数的图象与 x 轴交于  3 0A  , 和  1 0B , 两点，交 y 轴于点  0,3C ，点 C，D 是二 次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点 D 的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点 M，使 BCM 的周长最小？若存在，求出 M 点坐标；若不存在，请 说明理由． 【详解】（1）解：由抛物线与 x 轴的交点坐标  3 0A  , 和  1 0B , ，设抛物线的解析式为    3 1y a x x   ， 将点  0,3C 代入，得： 3 3a  ， 解得： 1a   ，------------（1 分） 则抛物线的解析式为    23 1 2 3y x x x x        ；------------（2 分） （2）解：∵  22 2 3 1 4y x x x        ， ∴顶点坐标为  1,4 ，抛物线的对称轴为直线 1x   ，------------（3 分） ∴点  0,3C 关于对称轴的对称点 D 的坐标为  2,3 ；------------（4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 （3）解：存在，要使 BCM 的周长最小，只需MB MC 最小即可， ∵点 A 和 B 关于直线 1x   对称，连接 AC 交直线 1x   于点 M， MB MA  ， 则MB MC MA MC AC    ，------------（6 分） ∴点 M 满足题意， 设直线 AC 的解析式为 y kx m  ，把点  3 0A  , 和  0,3C 代入得， 则 3 0 3 k m m      ， 解得 1 3 k m    ，------------（8 分） ∴直线 AC 的解析式为 3y x  ， 设点 M 的坐标是  1,M n ，则 1 3 2n     ， 即点  1,2M  为所求．------------（10 分） 24．（12 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在正方形 EFGH 的四条边上，我们称正方形 EFGH 是正 方形 ABCD 的外接正方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 探究一：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 2 倍？如图，假设存在正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 的 2 倍． 因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 2， 所以 EF＝FG＝GH＝HE＝ 2 ，设 EB＝x，则 BF＝ 2 ﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝ 2 ﹣x 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得 x2+（ 2 ﹣x） 2 ＝12 解得，x1＝x2＝ 2 2 ∴BE＝BF，即点 B 是 EF 的中点． 同理，点 C，D，A 分别是 FG，GH，HE 的中点． 所以，存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 2 倍 探究二：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 3 倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为 1 的正方形 ABCD， 一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 4 倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为 1 的正方形 ABCD，是否存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积 的 n 倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 【详解】探究二：因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 3， 所以 EF=FG=GH=HE= 3，设 EB=x，则 BF= 3﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE= 3﹣x，------------（2 分） 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得， x2+（ 3﹣x） 2=12， 整理得 x2﹣ 3 x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 3 倍；------------（4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 探究三：因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 4， 所以 EF=FG=GH=HE=2，设 EB=x，则 BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得 2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解，------------（7 分） 不存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 4 倍， 故答案为不存在；------------（8 分） 探究四：因为正方形 ABCD 的面积为 1，则正方形 EFGH 的面积为 n， 所以 EF=FG=GH=HE= n ，设 EB=x，则 BF= n ﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE= n ﹣x，------------（10 分） 在 Rt△AEB 中，由勾股定理，得， x2+（ n ﹣x）2=12， 整理得 2x2﹣2 n x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形 EFGH，它的面积是正方形 ABCD 面积的 n 倍．------------（12 分） 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，﹣3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形 ABPC 的面积最大时的 P 点坐标和四边形 ABPC 的最大面积； （3）在直线 BC 找一点 Q，使得△QOC 为等腰三角形，写出 Q 点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 【详解】解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 ， 解得： ； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；------------（2 分） （2）如图，过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（x，x2﹣2x﹣3），设直线 BC 的解析式为：y=kx+d， 则 ， 解得： ，∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣3，------------（4 分） 则 Q 点的坐标为（x，x﹣3）； 由 0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S 四边形 ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ = AB•OC+ QP•BF+ QP•OF = ×4×3+ （﹣x2+3x）×3 =﹣ （x﹣ ）2+ ． 当 x= 时，四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为（ ，﹣ ），四边形 ABPC 的面积的最大值为 ；------------（7 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 （3）设点 Q 的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0 ，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC= = |m|，QO= ．------------（8 分） △QOC 为等腰三角形分三种情况： ①当 OC=QC 时，3= |m|， 解得：m=± ， 此时点 Q 的坐标为（ ， ﹣3）或（﹣ ，﹣ ﹣3）； ②当 OC=QO 时，3= ， 解得：m=3 或 m=0（舍去）， 此时点 Q 的坐标为（3，0）； ③当 QC=QO 时，有 |m|= ， 解得：m= ， 此时点 Q 的坐标为（ ，﹣ ）． 综上可知：Q 点坐标为（ ， ﹣3）、（﹣ ，﹣ ﹣3）、（3，0）或（ ，﹣ ）．----（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4 分） 19．（6 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C C D B B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．2009 14．16 15． 16． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分） 【详解】（1）解： ∴或， ∴，；------------（2分） （2）解：，即， ∴， ∴，．------------（4分） 18．（4分） 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是；------------（2分） （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： ------------（4分） 19．（6分） 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ------------（1分） 化简得： ， 或（舍）------------（3分） 答：进馆人次的月平均增长率为．------------（4分） （2）∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为：------------（5分） 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------（6分） 20．（6分） 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程为， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；------------（3分） （2）解：关于的一元二次方程为， ，， ，即，则，解得或.------------（6分） 21．（8分） 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，-------（1分） 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，，------------（2分） 答：经过或之后，的长为cm；------------（3分） （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，，------------（4分） ∵矩形中，，， ∴，，------------（5分） ∴矩形的面积为：， ∴的面积，------------（6分） 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．------------（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为，------------（1分） 将、代入，得： 解得：，------------（4分） 所以y与x的函数解析式为；------------（5分） （2）解：根据题意知，，---------（6分） ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200，------------（9分） 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．------------（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：，------------（1分） 则抛物线的解析式为；------------（2分） （2）解：∵， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，------------（3分） ∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；------------（4分） （3）解：存在，要使的周长最小，只需最小即可， ∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M， ， 则，------------（6分） ∴点M满足题意， 设直线的解析式为，把点和代入得， 则， 解得，------------（8分） ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是，则， 即点为所求．------------（10分） 24．（12分） 【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x，------------（2分） 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；------------（4分） 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解，------------（7分） 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍， 故答案为不存在；------------（8分） 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x，------------（10分） 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．------------（12分） 25．（12分） 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；------------（2分） （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3，------------（4分） 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+． 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；------------（7分） （3）设点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC==|m|，QO=．------------（8分） △QOC为等腰三角形分三种情况： ①当OC=QC时，3=|m|， 解得：m=±， 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）； ②当OC=QO时，3=， 解得：m=3或m=0（舍去）， 此时点Q的坐标为（3，0）； ③当QC=QO时，有|m|=， 解得：m=， 此时点Q的坐标为（，﹣）． 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．----（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$