专题21.3 解一元二次方程-公式法（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题21.3 公式法 教学目标 1. 掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次方程的根的情况。 2. 掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方程。 3. 能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。 教学重难点 1. 重点 （1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值； （2）利用公式法解一元二次方程； 2. 难点 （1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况； （2）利用根的判别式及方程的解求参数。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 。 ②若 。 ③若 。 【即学即练1】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【即学即练2】 2．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【即学即练3】 3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．0 【即学即练4】 4．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a＜3 C．a≥﹣3且a≠2 D．a≤3且a≠2 知识点02 公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【即学即练1】 5．方程x2+3x﹣1＝0，则b2﹣4ac＝（　　） A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13 【即学即练2】 6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【即学即练3】 7．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 题型01 判断不含参数的一元二次方程组的根的情况 【典例1】一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况 【典例1】关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x＝m2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（　　） A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根 B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根 C．当m＜0时，此方程没有实数根 D．此方程的根的情况与m的值无关 【变式3】已知b2＝ac，则关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型03 根据一元二次方程的根的情况求值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【变式1】若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【变式3】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1 【变式4】关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【变式5】若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型04 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 【变式1】使用“公式法”解一元二次方程 （1）x2x0； （2）2x2﹣21＝0； （3）3x2+20＝2x2+8x． 【变式2】用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 题型05 根据求根公式判断一元二次方程 【典例1】若用公式法解关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0 【变式1】以为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0 C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0 【变式2】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【变式3】用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ． 题型06 根的判别式与方程的解 【典例1】已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值． 【变式3】已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【变式4】已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 1．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3 2．学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（　　） A． B．x2﹣x﹣1＝0 C．4x2﹣x+1＝0 D．x2＝5x﹣2 3．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程2x2﹣mx+m﹣3＝0的根的情况是（　　）． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 7．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2 8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的（　　） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③ 9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长 11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　 　 ． 12．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为　 　 ． 13．从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则选取的p的值为　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　 　 ． 15．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　 　 ． 16．用公式法解方程： （1）x2﹣4x+1＝0 （2）5x2＝4x﹣1 （3）2x2﹣2x﹣1＝0 （4）4x（x）＝8． 17．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程． 19．已知实数a、b、c，且c＞0． （1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项．用公式法解得方程的根为，求a+b+c的值； （2）若a+2b+c＝0，abc＝1，求证c的最小值为2． 20．由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程mx2qx+n＝0，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程． （2）若勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根，求的值． （3）若x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 公式法 教学目标 1. 掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次方程的根的情况。 2. 掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方程。 3. 能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。 教学重难点 1. 重点 （1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值； （2）利用公式法解一元二次方程； 2. 难点 （1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况； （2）利用根的判别式及方程的解求参数。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 方程有两个不相等的实数根 。 ②若 方程有两个相等的实数根 。 ③若 方程没有实数根 。 【即学即练1】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：C． 【即学即练2】 2．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【解答】解：Δ＝m2﹣4（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程总有实数根． 故选：C． 【即学即练3】 3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．0 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m＞﹣5且m≠﹣1， 故选：D． 【即学即练4】 4．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a＜3 C．a≥﹣3且a≠2 D．a≤3且a≠2 【答案】D 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣2）≥0且a﹣2≠0， 解得：a≤3且a≠2． 故选：D． 知识点02 公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a，b，c 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【即学即练1】 5．方程x2+3x﹣1＝0，则b2﹣4ac＝（　　） A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13 【答案】C 【解答】解：x2+3x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝3，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13， 故选：C． 【即学即练2】 6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【即学即练3】 7．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x（x+8）＝16， x2+8x﹣16＝0， a＝1，b＝8，c＝﹣16， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0， x， x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4； （2）x2﹣4x＝4， x2﹣4x﹣40； a，b＝﹣4，c＝﹣4， b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（﹣4）＝48＞0， x±， x1，x2； （3）2x2﹣2x+1＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝1， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， x1＝x2． 题型01 判断不含参数的一元二次方程组的根的情况 【典例1】一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0， ∴该方程没有实数根， 故选：D． 【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵x2﹣5x+7＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况 【典例1】关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x＝m2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：原方程化为一般式为x2+2x﹣m2＝0 由题意得Δ＝4m2+4＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（　　） A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根 B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根 C．当m＜0时，此方程没有实数根 D．此方程的根的情况与m的值无关 【答案】B 【解答】解：∵x2+x﹣2＝m， ∴x2+x﹣2﹣m＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣m﹣2） ＝4m+9， A．当m＝0时，Δ＝9＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故A说法错误，不合题意； B．当m＞0时，Δ＝4m+9＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故B说法正确，符合题意； C．当m＜0时，Δ＝m+9的符号不能确定， ∴此方程的根情况不能确定，故C说法错误，不合题意； D．此方程的根的情况与m的值有关，故D说法错误，不合题意； 故选：B． 【变式3】已知b2＝ac，则关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：Δ＝（2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根， 故选：B． 题型03 根据一元二次方程的根的情况求值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a≠0且Δ＝22﹣4a×（﹣1）＞0， 解得a＞﹣1且a≠0， ∴a的值可以是1， 故选：D． 【变式1】若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【答案】D 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m． 故选：D． 【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】B 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 【变式3】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（k﹣3）2﹣4×1×k＝0， 解得k＝1或9． 故选：C． 【变式4】关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知： Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12（k+1）＞0且k+1≠0， 解得：且k≠﹣1， ∴k的值可以是； 故选：D． 【变式5】若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0， 解得k＜2． 则k﹣2＜0， 则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第三象限． 故选：C． 题型04 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16， ∴x， ∴x1＝1，x2． （2）∵a＝2，b＝﹣1，c， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（）＝5， ∴x， ∴x1，x2． （3）∵a＝2，b＝﹣7，c＝5， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9， ∴x， ∴x1，x2＝1． （4）∵a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）＝193， ∴x， ∴x1，x2． 【变式1】使用“公式法”解一元二次方程 （1）x2x0； （2）2x2﹣21＝0； （3）3x2+20＝2x2+8x． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2x0， ∵a＝1，b，c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（）＝3＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）2x2﹣21＝0； ∵a＝2，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， ∴x， ∴x1＝x2； （3）3x2+20＝2x2+8x， 化简，得 x2﹣8x+20＝0， ∵a＝1，b＝﹣8，c＝20， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0， 此方程无实数根． 【变式2】用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8 ∴x1±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）∵a＝1，b＝2（1），c＝2， ∴b2﹣4ac＝[2（1）]2﹣4×1×216， ∴x（1）±2， ∴x13，x21； （3）∵a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m＝4m2+1， ∴x， ∴x1，x2． 题型05 根据求根公式判断一元二次方程 【典例1】若用公式法解关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0 【答案】C 【解答】解：根据公式可得x的一元二次方程的根为：， ∴这个方程是2x2+3x﹣4＝0， 故选：C． 【变式1】以为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0 C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0 【答案】D 【解答】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：∵可以表示一元二次方程的根， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【变式3】用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 题型06 根的判别式与方程的解 【典例1】已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2009． 【解答】解：（1）由题意，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，∵方程有一个根为3， ∴9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8， ∴2k2+12k+2025＝2（k2+6k）+2025＝﹣16+2025＝2009． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值． 【答案】（1）k＜6； （2）k的值为2或5． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4（k﹣2）＞0， 解得k＜6， 所以k的取值范围为k＜6； （2）∵Δ＝42﹣4（k﹣2）＝4（6﹣k）＞0， 而k为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴k＝2或5， 当k＝2时，Δ＝16， ∴x2±2， 解得x1＝﹣4，x2＝0， 当k＝5时，Δ＝4， ∴x2±1， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴k的值为2或5． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值． 【答案】（1）m≤7； （2）m＝﹣6． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣4）2﹣4（m﹣3）≥0， 解得m≤7； （2）∵a是方程的一个实数根， ∴a2﹣4a+m﹣3＝0， ∴a2﹣4a＝3﹣m， ∵（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40， ∴（3﹣m+1）（m+2）＝﹣40， 整理得：m2﹣2m﹣48＝0， 解得m1＝8，m2＝﹣6， 又由（1）可知m≤7， ∴m＝﹣6． 【变式3】已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根； （2）①若a＝1为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， 故周长为1+2+2＝5； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝1 代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0 解得k＝1， 则原方程化为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即b＝1，c＝2， 此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去； ∴△ABC的周长为5． 【变式4】已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）x1＝0，x2＝1； （2）直角三角形，理由见解析． 【解答】解：（1）当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c， 原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，即2a（x2﹣x）＝0， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1； （2）是直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0， ∴4a2﹣4b2+4c2＝0， ∴a2﹣b2+c2＝0，即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． 1．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3 【答案】C 【解答】解：原方程整理得：x2+2x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， 故选：C． 2．学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（　　） A． B．x2﹣x﹣1＝0 C．4x2﹣x+1＝0 D．x2＝5x﹣2 【答案】C 【解答】解：A、变型为：，b2﹣4ac＝2＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、4x2﹣x+1＝0，b2﹣4ac＝1﹣16＝﹣15＜0，方程没有实数根，符合题意； D、x2＝5x﹣2变型为：x2﹣5x+2＝0，b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 3．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝41＞0， ∴． 故选：C． 4．关于x的方程2x2﹣mx+m﹣3＝0的根的情况是（　　）． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：由条件可得b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（m﹣3）＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8＞0， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：由根的判别式可得Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＜0， 解得a＞2， 所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 6．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x﹣2＝﹣4， 即x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2 【答案】B 【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0， 解得k≥0且k≠2． 故选：B． 8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的（　　） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③ 【答案】C 【解答】解：①若a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与根的判别式的关系可知：b2﹣4ac≥0，故①正确，符合题意； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， 故②正确，符合题意； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则根据求根公式得：x0， ∴2ax0+b＝± ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2， 设直线AB上的任意一点为（a，﹣a+2）， ∴这个点的对应方程为x2+ax+（﹣a+2）＝0 ∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣a+2）＝a2+4a﹣8， ∵﹣2≤a≤1， 当a＝﹣2有最小值﹣12，当a＝1有最大值﹣3， ∴﹣12≤Δ≤﹣3，即Δ＜0， ∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根， 故选：A． 10．如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长 【答案】A 【解答】解：由题知， 解方程x2+2ax＝b2得， x， 所以方程的正根为x＝﹣a． 在Rt△ABD中， BD． 又因为BF＝AB＝a， 所以x＝﹣BF+BD＝DF． 故选：A． 11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　3x2﹣5x﹣10＝0　 ． 【答案】3x2﹣5x﹣10＝0． 【解答】解：3x2＝5（x+2）， 3x2＝5x+10， 3x2﹣5x﹣10＝0， 故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0． 12．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由条件可知a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+b﹣c＝3﹣2+1＝2， 故答案为：2． 13．从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则选取的p的值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵方程x2﹣px+1＝0有两个正实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4≥0， ∴p≥2或p≤﹣2； 当p＝0时，原方程无实数根，不合题意， 当p＝﹣5时，原方程为x2+5x+1＝0， ∵Δ＝25﹣4＝21， ∴都小于0，不符合题意， 当p＝3时，原方程为x2﹣3x+1＝0， ∵Δ＝9﹣4＝5． ∴都大于0，符合题意， 故答案为：3． 14．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知Δ＝4﹣4m≥0， ∴m≤1， ∴； 故答案为：1． 15．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　﹣2或﹣3　 ． 【答案】﹣2或﹣3． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2＞﹣3， ∴min{x2，﹣3}＝﹣3， ∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}， ∴3， ∴x＝﹣2或x＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 16．用公式法解方程： （1）x2﹣4x+1＝0 （2）5x2＝4x﹣1 （3）2x2﹣2x﹣1＝0 （4）4x（x）＝8． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣4，c＝1， ∵△＝16﹣4＝12， ∴x2±； （2）方程整理得：5x2﹣4x+1＝0， 这里a＝5，b＝﹣4，c＝1， ∵△＝16﹣20＝﹣4＜0， ∴方程无解； （3）这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵△＝4+8＝12， ∴x， 解得：x1，x2； （4）方程整理得：2x2﹣5x﹣4＝0， 这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣4， ∵△＝25+32＝57， ∴x， 则x1，x2． 17．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）见解答； （2）10． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k） ＝4k2+4k+1﹣16k+8， ＝4k2﹣12k+9 ＝（2k﹣3）2， ∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0， ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0， 解得k， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2， ∵2+2＝4， ∴此种情况不成立； ②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k）＝0， 解得：k， 方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长＝4+4+2＝10， 所以这个等腰三角形的周长是10． 18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程． 【答案】（1）见详解；（2）x1＝0，x2． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c， ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边， ∴a＝b，ca， ∴x2x＝0， x（x）＝0， x1＝0，x2． 19．已知实数a、b、c，且c＞0． （1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项．用公式法解得方程的根为，求a+b+c的值； （2）若a+2b+c＝0，abc＝1，求证c的最小值为2． 【答案】（1）﹣1； （2）见解答． 【解答】（1）解：∵﹣4ac＝8， ∴ac＝﹣2， 而c＞0， ∴a＜0， ∵用公式法解得方程的根为， ∴a＝﹣1，b＝﹣2，﹣4ac＝8， 解得c＝2， ∴a+b+c＝﹣1﹣2+2＝﹣1； （2）证明：∵a+2b+c＝0，abc＝1， ∴a＝﹣2b﹣c， ∴（﹣2b﹣c）bc＝1， 整理得2cb2+bc2+1＝0， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴Δ＝c4﹣4×2c≥0， 而c＞0， ∴c3≥8， ∴c≥2， ∴c的最小值为2． 20．由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程mx2qx+n＝0，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程． （2）若勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根，求的值． （3）若x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）3x2+5x+4＝0是勾股方程（答案不唯一）；（2）；（3）2． 【解答】解：（1）设m＝3，n＝4， 则q＝5， ∴3x2+5x+4＝0是勾股方程； （2）∵勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝2q2﹣4mn＝0， ∴q2＝2mn， ∵q2＝m2+n2， ∴m2+n2＝2mn， ∴m﹣n＝0， ∴m＝n， ∴qm， ∴； （3）∵x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根， ∴mq+n＝0， ∴q＝m+n， ∵四边形ABCD的周长是6， ∴2m+2nq＝6， ∴q， ∵q2＝m2+n2， ∴m2+n2＝2，m+n＝2， ∴mn＝1， ∴四边形ABCD的面积＝mnq2＝1+1＝2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$