高二数学第一次月考卷（北京专用）（范围：空间向量与立体几何+直线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．斜率为 1 的直线的倾斜角为（ ） A．30 B．45 C．90 D．135 2．已知向量  8, 2,1a   ，  4,1,b k   ，且 //a b  ，那么实数k 的值为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 2 D．2 3．如图，四面体 ABCD的所有棱长都是 2，则     AB AC （ ） A．2 3 B． 3 C．2 D．1 4．已知直线 l经过点  1,0P ，且法向量  1,2v  ，则 l的方程为（ ） A． 2 2 0x y   B．2 2 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   5．在四面体OABC中，记OA a   ，OB b   ，OC c   ，若点 M、N 分别为棱 OA、BC 的中点，则MN   （ ） A． 1 1 1 2 2 2 a b c    B． 1 1 1 2 2 2 a b c     C． 1 1 1 2 2 2 a b c    D． 1 1 1 2 2 2 a b c    6．已知直线 l经过点 ( )3 2A  ， ，且与直线 2 2 0x y   垂直，则直线 l的方程为（ ） A． 2 1 0x y   B． 2 7 0x y   C．2 4 0x y   D．2 8 0x y   7．在同一平面直角坐标中，表示 1l ： y ax b  与 2l ： y bx a  的直线可能正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知  11,A y ，  22,B y 是直线 3y x  上的两点，若沿 x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A 、 B 两点间的距离是（ ） A．6 B．2 6 C．3 2 D． 13 9．直线 y kx b  经过点  18， ，且被两坐标轴截得的线段长为5 5 ，则 k 的所有可能取值之和为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 10．如图，棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E，F 分别为 1DD ， 1BB 的中点，则下列结论中错误的 是（ ） A．直线 1FC 与直线 AE 的距离为 30 5 B．直线 1FC 与平面 1AB E 的距离为 1 3 C．直线 1FC 与底面 ABCD 所成的角为30 D．平面 1AB E 与底面 ABCD 夹角的余弦值为 2 3 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 110 分） 三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11．若异面直线 1 2,l l 的方向向量分别是  0, 2, 1a     ，  2,0,4b   ，则异面直线 1l 与 2l 的夹角的余弦值等 于 ． 12．平面直角坐标系中，已知直线 l 过点  0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则直线 l 的方程 为 ． 13．已知直线 l过定点  1,0P 且与以  2, 3A  ，  3, 2B   为端点的线段有交点，则直线 l的斜率 k 的取值范 围是 ． 14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知  2,0,0AB   ，  0,2,0AC   ，  0,0,2AD   .则CD  与CB  的夹角的余 弦值为 ；CD  在CB  上的投影向量a   . 15．如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E、F 分别为棱 1 1 1A D AA、 的中点，G 为面对角线 1B C 上 一个动点，则下列选项中正确的是 ． ①三棱锥 1A EFG 的体积为定值 1 3 ． ②存在 G 线段 1B C ，使平面 / /EFG 平面 1BDC ． ③G 为 1B C 上靠近 1B 的四等分点时，直线EG 与 1BC 所成角最小． ④若平面EFG 与棱 ,AB BC有交点，记交点分别为 M，N，则MF MN 的取值范围是 5, 13  ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13 分）已知向量  2 3 6a m , , ，  1,0, 2b  ，   1 3 2 Rc m  , , . （1）求  a b c   的值； （2）求cos b c  , ； （3）求 a b   的最小值. 17．（13 分）已知 ABC△ 顶点      3 0 1 3 11A B C ，、 ， 、 ， . （1）求BC 边上中线所在的直线方程； （2）求BC 边上高线所在的直线方程． 18．（14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， 1AB AC  ， 1 2AA  ， AB AC . （1）求直线 AC 与平面 1A BC 所成角的正弦值； （2）求点 1B 到平面 1A BC 的距离. 19．（15 分）已知直线    1 2 3 1:    a y a xl . （1）求证：直线 l过定点； （2）若直线 l不经过第二象限，求实数a的取值范围； （3）若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程. 20．（15 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，PC 底面 ABCD，四边形 ABCD是直角梯形， , //AD DC AB DC ， 2 2 2PC AB AD CD    ，点E 在棱 PB上. （1）证明：平面EAC 平面PBC ； （2）当 2BE EP   时，求二面角P AC E  的余弦值. 21．（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，平面PCD 平面 ABCD， 2AB  ， 1BC  ， 2PC PD  ，点E 在棱 PB上，且 / /PD 平面 ACE ． （1）求证：E 为 PB中点； （2）求二面角E AC D  的余弦值； （3）在棱PD上是否存在点M ，使得 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为 2 3 ？若存在，求出 PM PD 的值： 若不存在，说明理由． 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．斜率为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为，则，且， 则，即直线的倾斜角为.故选：D. 2．已知向量，，且，那么实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，解得：.故选：B. 3．如图，四面体的所有棱长都是2，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】四面体的所有棱长都是2，故，. 故选：C. 4．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线的法向量是，可得其斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 故选：C 5．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：， 故选：B. 6．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知直线的斜率，所以垂直直线的斜率为 而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为， 故选：D. 7．在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误． 对于B：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故B错误． 对于C：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，故C正确． 对于D：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误． 故选：C． 8．已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，是直线上的两点，所以，，    如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点， 则异面直线，所成的角为，即、的夹角为， ，，， ， 则， 即折叠后、两点间的距离为.故选：A. 9．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】由题意，因为直线经过点, 所以，则直线. 令，则， 令，则. 则， 化简得， 即， 即, 解得或或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 10．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．直线与直线AE的距离为 B．直线与平面的距离为 C．直线与底面ABCD所成的角为 D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 【答案】C 【解析】在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 对A，，则， ，所以，. 设直线与直线的距离，即到直线的距离为， 则，A正确； 对B，直线到平面的距离即为点到平面的距离， 由A知， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，， 设点到平面的距离为，则， 即直线与平面的距离为，B正确； 对C，，平面的法向量为， 则， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，C错误； 对D，由B知平面的法向量为， 则， 又由图知，平面与底面ABCD的夹角为锐角， 故平面与底面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/ 【解析】设异面直线与的夹角为，则， .故答案为： 12．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即.故答案为：. 13．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，    又，，所以由图可知或， 则斜率的取值范围是．故答案为：. 14．在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在上的投影向量 . 【答案】 /0.5 【解析】因为，，， 所以，， 所以， 在上的投影向量为.故答案为：；. 15．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是 ． ①三棱锥的体积为定值． ②存在线段，使平面平面． ③G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小． ④若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是． 【答案】①③④ 【解析】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变， 即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故①正确； 如图所建立的空间直角坐标系，则, 可设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，即，显然， 若平面平面，则， 此时G不在线段上，即②不成立； 易知，设直线与所成角为， 则， 显然时，，即取得最小值，此时，故③正确； 如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作，延长交延长线于I， 连接IN交AB于M，设，易知， 所以， 由，所以④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知向量，，. （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以.----------------------------------------4分 （2）因为，， 所以.----------------------------------------7分 （3）因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为.----------------------------------------13分 17．（13分）已知顶点. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求边上高线所在的直线方程． 【解析】（1）线段的中点坐标为，即， 所以边上中线所在的直线方程为：， 整理得：；----------------------------------------6分 （2）直线的斜率为， 所以边上高线所在直线的斜率为， 所以边上高线所在直线的方程为， 整理得：----------------------------------------13分 18．（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， ,,,,,,-------------------------5分 设平面的法向量为， 由得，取，----------------------------------------9分 设直线与平面所成角为， 所以.----------------------------------------12分 （2）因为, 设点到平面的距离为，所以.----------------------------------------14分 19．（15分）已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点；------------------------4分 （2）如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；------------------------5分 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得；------------------------8分 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得，------------------------10分 令，得，得，------------------------11分 则， 所以当时，取最小值，------------------------14分 此时直线的方程为，即.------------------------15分 20．（15分）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）因为底面，平面，所以. 四边形是直角梯形，，， 因为，所以. 所以，所以. 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面.----------------------------------------6分 （2）解法一： 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ----------------------------------------9分 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 取，则，得.----------------------------------------12分 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则.----------------------------------------14分 所以，二面角的余弦值为.----------------------------------------15分 解法二： 取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ----------------------------------------9分 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则. 取，则，则.----------------------------------------12分 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则.----------------------------------------14分 所以二面角的余弦值为----------------------------------------15分 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． （1）求证：为中点； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【解析】（1）连结交于点，连结， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点.----------------------------------------3分 （2）取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，，----------------------------------------6分 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以，----------------------------------------8分 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为，----------------------------------------10分 （3）假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ，-------------------------12分 设与平面所成角为，则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时.----------------------------------------15分 ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B D C A C C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14． 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以.----------------------------------------4分 （2）因为，， 所以.----------------------------------------7分 （3）因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为.----------------------------------------13分 17．（13分） 【解析】（1）线段的中点坐标为，即， 所以边上中线所在的直线方程为：， 整理得：；----------------------------------------6分 （2）直线的斜率为， 所以边上高线所在直线的斜率为， 所以边上高线所在直线的方程为， 整理得：----------------------------------------13分 18．（14分） 【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， ,,,,,,-------------------------5分 设平面的法向量为， 由得，取，----------------------------------------9分 设直线与平面所成角为， 所以.----------------------------------------12分 （2）因为, 设点到平面的距离为，所以.----------------------------------------14分 19．（15分） 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点；------------------------4分 （2）如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；------------------------5分 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得；------------------------8分 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得，------------------------10分 令，得，得，------------------------11分 则， 所以当时，取最小值，------------------------14分 此时直线的方程为，即.------------------------15分 20．（15分） 【解析】（1）因为底面，平面，所以. 四边形是直角梯形，，， 因为，所以. 所以，所以. 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面.----------------------------------------6分 （2）解法一： 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ----------------------------------------9分 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 取，则，得.----------------------------------------12分 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则.----------------------------------------14分 所以，二面角的余弦值为.----------------------------------------15分 解法二： 取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ----------------------------------------9分 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则. 取，则，则.----------------------------------------12分 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则.----------------------------------------14分 所以二面角的余弦值为----------------------------------------15分 21．（15分） 【解析】（1）连结交于点，连结， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点.----------------------------------------3分 （2）取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，，----------------------------------------6分 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以，----------------------------------------8分 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为，----------------------------------------10分 （3）假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ，-------------------------12分 设与平面所成角为，则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时.----------------------------------------15分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．斜率为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，那么实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四面体的所有棱长都是2，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（    ） A．6 B． C． D． 9．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 10．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．直线与直线AE的距离为 B．直线与平面的距离为 C．直线与底面ABCD所成的角为 D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共110分） 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 12．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 13．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 14．在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在上的投影向量 . 15．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是 ． ①三棱锥的体积为定值． ②存在线段，使平面平面． ③G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小． ④若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是． 四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知向量，，. （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 17．（13分）已知顶点. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求边上高线所在的直线方程． 18．（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 19．（15分）已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 20．（15分）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． （1）求证：为中点； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．斜率为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，那么实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四面体的所有棱长都是2，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（    ） A．6 B． C． D． 9．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 10．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．直线与直线AE的距离为 B．直线与平面的距离为 C．直线与底面ABCD所成的角为 D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 12．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 13．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 14．在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在上的投影向量 . 15．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是 ． ①三棱锥的体积为定值． ②存在线段，使平面平面． ③G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小． ④若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知向量，，. （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 17．（13分）已知顶点. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求边上高线所在的直线方程． 18．（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 19．（15分）已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 20．（15分）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． （1）求证：为中点； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$