精品解析：安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

九年级数学随堂练习（九月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 2. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数． 【详解】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选：C． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 4. 象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．先按照“马走日”的规则，找出马走一步之后的落点，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大， 最大距离是 故选A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：A选项：，故本选项运算错误； B选项：，故本选项运算错误； C选项：，故本选项运算错误； D选项：，故本选项运算正确． 故选：D 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组. 根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：且． 故选：B 7. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：多媒体屏幕的对角线长度（拃）， ∵1拃， ∴多媒体屏幕的对角线长度约为， 故选：C． 8. 某校举办了运动会，在赛跑中，有5位同学的成绩如表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 方差 时间/s A. ，4 B. ，2 C. ，4 D. ，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数和方差．掌握算术平均数和方差的定义是解题的关键． 先根据算术平均数的定义求出丙的成绩，再根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：丙的成绩为：， 方差为：． 故选A． 9. 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，先证明，再证明，得出，即可得出正确；连接并延长交的延长线于，先证明，再由直角三角形斜边上的中线性质得出正确；由得出，再证明，得出，即可得出正确；通过直角三角形的斜边大于直角边得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、连接并延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 故选：． 10. 如图，在正方形中，，是对角线上两点，且．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，可得，最后利用勾股定理有，即可解题． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算乘法，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 12. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示．该班学生每天的平均睡眠时间是______h． 睡眼时间/h 8 9 10 人数/人 6 24 10 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据表格信息和加权平均数的计算方法即可求解，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为： ． 13. 在中，．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，先由勾股定理得到，结合，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-对短路径的计算，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据菱形的性质可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根据菱形的面积计算方法即可求解； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，可证四边形为平行四边形，可得，于是当三点共线时，最小，根据菱形的性质，可证为等边三角形，，由此三点共线，当三点共线时，点，重合，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线，当三点共线时，点，重合， ， ∴，即的最小值为4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 或， ． 【小问2详解】 ， ， ， 或， 16. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后计算加减； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 小问2详解】 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3或4 【解析】 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点 ， 是边上的中线， 由勾股定理得： 是“梦想三角形” 【小问2详解】 解：如图，若是“梦想三角形”，有两种情况： ①当边上的中线时，, 此时， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：， 综上所述，或4． 18. 若关于的一元二次方程有实数根，且． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）由方程有两个不相等的实数根可得，代入即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由即可得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解： 化为一般形式为， ∵原方程有实数根，且， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件． （1）求11月、12月这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？ 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，则11月售出件，12月售出件，再根据十二月售出507件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据获利5570元列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x．根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）． 答：11月、12月这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当模型降价m元时，该商店获利5570元．根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价10元． 20. 观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析 （2）能；35，12，37 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【小问1详解】 解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． 【小问2详解】 它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：① ．② ． （2）计算 （3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）①，② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 八年级 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 九年级 8 7 9 7 8 10 8 7 7 9 （1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______． （2）八年级学生成绩的中位数是多少？ （3）若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定． 【答案】（1）8 （2）8 （3）1；九年级学生的成绩更为稳定 【解析】 【分析】本题主要考查判平均数、中位数、方差的计算，掌握平均数、中位数、方差的计算方法是解题的关键． （1）利用平均数计算即可； （2）先将10个数由小到大排列，之后根据中位数的定义，即可解题； （3）根据九年级的平均数是8，再求出九年级的方差，之后比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解： 八年级学生的平均成绩是8分， ，解得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10， 中位数是（分）． 【小问3详解】 解：九年级学生成绩的方差是， 八年级学生成绩的方差是1.2，九年级学生成绩的方差是1， 九年级学生的成绩更为稳定． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）求证：①； ②． （3）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析 ②证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据垂直得到，再根据正方形的性质得到，最后根据等边对等角证明即可； （2）①在上取一点，使，连接，，，先证明，进而证明，再根据平行四边形的判定和性质得到，，最后根据勾股定理即可证明； ②连接交于点，先根据四边形是正方形，证明四边形是矩形，再根据全等三角形的性质证明即可； （3）设，，则，分别表示出，进而得到，再根据得到，即可证明. 【小问1详解】 证明：， 四边形是正方形， ， 为等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①如图1，在上取一点，使，连接，， 在和中， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ∴ ，即， ， 由勾股定理得， ． ②如图，连接交于点， 四边形正方形， ，， 由勾股定理得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 【小问3详解】 设，，则， ，， ，， 由勾股定理得， ， 若， 则， ， 即． 【点睛】本题考查了垂直的定义，正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学随堂练习（九月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 2. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A. 5 B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ） A B. C. D. 8. 某校举办了运动会，在赛跑中，有5位同学的成绩如表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 方差 时间/s A. ，4 B. ，2 C. ，4 D. ，2 9. 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示．该班学生每天的平均睡眠时间是______h． 睡眼时间/h 8 9 10 人数/人 6 24 10 13. 在中，．若，则的面积为______． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 解方程． （1）． （2）． 16. 计算． （1）． （2）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 18. 若关于的一元二次方程有实数根，且． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件． （1）求11月、12月这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？ 20. 观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）请用含（为正整数，且）等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：① ．② ． （2）计算 （3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 八年级 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 九年级 8 7 9 7 8 10 8 7 7 9 （1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______． （2）八年级学生成绩的中位数是多少？ （3）若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）求证：①； ②． （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$