第三章 勾股定理 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第三章 勾股定理 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 注：可用实数相关的知识点。 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，4，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在中，斜边，则（    ） A．3 B．9 C．18 D．81 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 7．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有 尺． 12．（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 14．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    15．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 16．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为 ． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，．求的面积． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图①②③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下面的要求画图：       ①                   ②                  ③ (1)在图①中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的等腰三角形； (2)在图②中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的直角三角形； （不得与第（1）题答案相同） (3)在图③中，以格点为顶点画一个边长都是有理数的三角形． 21．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为m、m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程） 23．（21-22八年级下·重庆潼南·期末）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处. 保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处. 测得顶端A距离地面的高度为2米，为米. (1)求梯子的长； (2)若顶端C距离地面的高度比多米, 求的长. 24．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 25．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 26．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 注：可用实数相关的知识点。 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，4，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形，否则不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，不可以构成三角形，更不可能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C．，可以构成直角三角形，故C选项符合题意； D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在中，斜边，则（    ） A．3 B．9 C．18 D．81 【答案】D 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质． 根据勾股定理即可求解． 【详解】在中，为斜边， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据勾股定理的逆定理可得，从而得到，由作法得：垂直平分，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线，判断是直角三角形解答的关键．先利用勾股定理及其逆定理判断是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， 故选：C． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 7．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图，连接、，   ，，， ， ，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故选：A． 10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于D，连接，    ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴．    由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有 尺． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度为尺； 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 【答案】35 【分析】本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，证得是解决问题的关键． 根据题意，可以证得，得到，再根据勾股定理，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 三个四边形均为正方形， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为：35． 14．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是利用法则不变性，熟练应用勾股定理解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据题意设，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：设， 在中， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可． 【详解】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，， 则， 解得：或（舍去） ∴小正方形的面积为， 故答案为：． 16．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，关键是利用勾股定理求得．在中，根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后在中根据勾股定理即可得到，从而求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：13． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解． 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，   ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则，    作于点G，于点H，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ∴ ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键． 根据勾股定理即可求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的面积． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图①②③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下面的要求画图：       ①                   ②                  ③ (1)在图①中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的等腰三角形； (2)在图②中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的直角三角形； （不得与第（1）题答案相同） (3)在图③中，以格点为顶点画一个边长都是有理数的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形和等腰三角形． （1）根据题意，画出腰长为，底边长为的等腰三角形即可； （2）根据题意，画出直角边为和，斜边为的直角三角形即可； （3）根据题意画出边长分别为3、4、5的三角形即可． 【详解】（1）解：如图的三角形即为所求； ； （2）解：如图的三角形即为所求； ． （3）解：如图的三角形即为所求； ． 21．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【答案】(1)的长度为； (2)给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到四边形的面积，于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， ，，， ， 答：的长度为； （2）解：， ， 四边形的面积， （元）， 答：给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为m、m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程） 【答案】（m2）或（m2）（m2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义以及归根到底，根据题意分类讨论、、三种情况即可求解． 【详解】解：∵m、m． ∴ 如图①所示： （m2）； 如图②所示： （m2）； 如图③所示：在中，， 设则 即， 解得：， 故（m2）． 23．（21-22八年级下·重庆潼南·期末）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处. 保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处. 测得顶端A距离地面的高度为2米，为米. (1)求梯子的长； (2)若顶端C距离地面的高度比多米, 求的长. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用； （1）根据勾股定理求出梯子的长度即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， 即梯子的长为米； （2）解：由题意得：米，米， ∴（米）， ∴（米）． 24．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 25．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出，即可证明． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； 26．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，    在中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 学科网（北京）股份有限公司 $$