精品解析：辽宁省朝阳市双塔区朝阳市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024--2025学年度九年级期初 收心考试数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ，点，在直线上，点 在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形 中，对角线 与 交于点 ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥ ，∥ C. ， D. ∥ ， 8. 若函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ） A. 240m B. 260m C. 280m D. 300m 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当______时，分式值为0． 12. 已知点 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点B，则点 的坐标为________． 13. 如图，在中，，， 交 于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线 交 于点P．若的中点为点M，则 的长为 _____． 14. 若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为______． 15. 如图，的外角的平分线交 边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则 的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 18. 如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． （2）画出关于坐标原点O成中心对称的． （3）若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为 ． 19. 某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组． 部分信息如下： ①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的． 八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75． ②七、八年级成绩统计图如下： ③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 70 71 76 八 70 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）请补全条形统计图； （3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是 （填“七”或“八”）年级的学生； （4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由． 20. 某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子， 张桌子和 把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产 张桌子或 把椅子． （1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ （2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 21. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 22. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用 （元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元. （1）直接写出当和时， 与 的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？ 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在 中，，点D在直线 上，将线段 绕点A顺时针旋转得到线段 ，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段 上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段 的延长线上时，如图②：当点D在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段 ，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度九年级期初 收心考试数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数的识别，绝对值等知识点，大于0的数即为正数，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，是负数，不符合题意； B. ，是负数，不符合题意； C. 0既不是正数也不是负数，不符合题意； D.，是正数，符合题意； 故选：D． 2. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，故此选项不符合题意； B、当，由不可以得到，故此选项符合题意； C、由可以得到，故此选项不符合题意； D、由可以得到，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个整式，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向． 3. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 4. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5． 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算、二次根式的运算以及合并同类项，掌握相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 6. 如图， ，点 ， 在直线 上，点 在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可． 【详解】解： ， ， 又 ∴ ， ， 故选：D． 7. 四边形 中，对角线 与 交于点 ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥ ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解： 、，， 四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、， ， 四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、， ， 四边形 是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 8. 若函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象的交点坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：观察函数图象得直线与直线的交点坐标为， ∴时，， 所以关于x的不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据“若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘”列方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 10. 随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ） A. 240m B. 260m C. 280m D. 300m 【答案】A 【解析】 【分析】可设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车得到关于y的不等式，故可求解． 【详解】解：设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m， 到A公交站：xt＋6xt＝700， 解得xt＝100， 则6xt＝6×100＝600， 到B公交站，由小聪不会错过这辆公交车可得 解得y≤240．符合题意 故A，B两公交站之间的距离最大为240m． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当______时，分式值为0． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，据此求解x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得，且， 由， 解得 或 ， 由，得， 综上，x的值为 ． 12. 已知点 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点B，则点 的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 按照平移的规律进行横纵坐标加减计算即可求解． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度后再向上平移2个单位长度， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴B的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，， 交 于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线 交 于点P．若的中点为点M，则 的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的尺规作图和定义，由作图知， 平分 ，得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知， 平分 ， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的中点为点M， ∴ 是的中位线， ∴， 故答案为：2． 14. 若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得，∵ ∵解为正数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 15. 如图， 的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是______． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵ 平分，于D，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵ 垂直， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） ；（2），3 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值： （1）先进行乘方，去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时，原式． 17. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 【答案】（1），数轴见解析；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组以及分式方程的求解，注意计算的准确性即可； （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程即可求解； 【详解】解：（1）， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组的解集为： （2）方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解 18. 如图所示， 三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将 绕点A顺时针旋转 得，画出． （2）画出 关于坐标原点O成中心对称的． （3）若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为 ． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称： （1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转 得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，、的线段垂直平分线交于， ∴旋转中心的坐标即为。 19. 某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组． 部分信息如下： ①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的． 八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75． ②七、八年级成绩统计图如下： ③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 70 71 76 八 70 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）请补全条形统计图； （3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是 （填“七”或“八”）年级的学生； （4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 补画条形统计图如下： （3）七 （4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级50人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可； （2）分别求得七年级二组、五组的学生人数，即可补画条形统计图； （3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可； （4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可． 【小问1详解】 解：， 八年级一组人，二组人，三组人，四组人，五组人， 将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74， ∴八年级成绩的中位数． 故答案为：，； 【小问2详解】 七年级二组的学生人数为人， 五组的学生人数为人； 【小问3详解】 这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前， 根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后， 而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前， 可知甲是七年级的学生． 故答案为：七； 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． 20. 某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子， 张桌子和 把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产 张桌子或 把椅子． （1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ （2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 【答案】（1）安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； （2）今年的成本定每套 万元． 【解析】 【分析】（ ）设安排 名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （ ）设去年的成本是每套 万元，则今年的成本是每套万元，根据题意列分式方程，解方程并检验即可； 本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系列出方程． 【小问1详解】 设安排 名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子， 由题意得， 解得：， ∴， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； 【小问2详解】 设去年的成本是每套 万元，则今年的成本是每套万元 ， 根据题意得， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解 ， ∴， 答： 今年的成本定每套 万元． 21. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中 ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB-AE＝CD-CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键． 22. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用 （元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元. （1）直接写出当和时， 与 的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】（1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元. 【解析】 【详解】分析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 详解：（1） （2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为. . 当时，. 当时，元. 当时，. 当时，元. ， 当时，总费用最低，最低为119000元. 此时乙种花卉种植面积为. 答：应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元. 点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在 中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段 ，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接 ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段 ， ，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）证明：在边上截取，连接 ． 在 中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：，图③：； （3）10或18 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接 ，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在 上取点H，使，连接并延长到点G使，连接 ，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在 上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出 的长度，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在 上取点H，使，连接并延长到点G使，连接 ， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段 ， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段 的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在 上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段 ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段 的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $