专题05 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线定理重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度 题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度 题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积 题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型五 根据30度角直角三角形的性质证明 题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型十一 折叠问题 题型十二 旋转问题 题型十三 动点问题 知识点1：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 知识点2：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 【例1】如图，在中，，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（    ） A．18 B．15 C．9 D．12 1．如图所示，将矩形（四角都是直角）纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，折痕，那么的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为 ． 3．若和的面积分别为．    (1)如图①，，比较与的大小为______； A．    B．    C．    D．不能确定 (2)说明（1）的理由． (3)如图②，在与中，，点在以为圆心，长为半径的半圆上运动，的度数为，比较与的大小（直接写出结果，不用说明理由）． 【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 【例2】在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 1．如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 3．如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 【例3】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 1．如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（   ）    A．18 B．36 C． D． 2．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，，则的面积等于 ． 3．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 【例4】如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 1．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 2．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小是 ．    3．如图，一条船上午时从海岛出发，以海里时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从， 处望灯塔，测得，． (1)求海岛到灯塔的距离； (2)若这条船继续向正北方向航行，则什么时间船与灯塔的距离最小? 【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例5】如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 1．如图，点是线段上一动点，连接，，，，连接．当时，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．如图，在中，，小新同学按以下步骤作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若，则的面积为 ． 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例6】如图，在中，，，，是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到．连结，则线段的长等于（    ）    A． B．3 C． D．6 2．如图，在中，垂直平分线段，E为的中点，连接，若，则的长为 . 3．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)请你猜测与的位置关系，并给予证明； (2)当时，求的长． 【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 【例7】在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 1．如图，在中，，垂足为，点为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 3．如图，在和中，，是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 【例8】如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是 ． 3．如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)若＝4，＝10，求的周长； (2)若，，求的度数． 【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 【例9】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 1．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一根长的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不变化，在木棍滑动的过程中，的面积最大为 ． 3．综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 【例10】如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 1．如图，，已知的面积为60，且，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 2．如图，将矩形放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点分别在轴，轴上滑动，矩形的形状保持不变．若，则顶点到坐标原点的最大距离为 ． 3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【经典例题十一 折叠问题】 【例11】如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则的度数为（    ） A．108° B．74° C．72° D．54° 1．如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 2．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    3．实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【经典例题十二 旋转问题】 【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含角的直角三角板做实验，如图，，，分别是，的中点，标记点的位置后，将三角板绕点逆时针旋转，点旋转到点，在旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．当在内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．    3．已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时，求证； (2)如图②，当点P与点O不重合时，求证； (3)直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【经典例题十三 动点问题】 【例13】如下图，已知点P是角平分线上的一点， M是的中点，，如果点C是上一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 1．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 3．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 1．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 2．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是 ． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 10．（22-23八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 12．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 13．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，在一节数学课上，张老师画了一个三角形使得，然后让同学们根据条件大胆的提出问题．并结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学说我发现：_______度； (2)乙同学说我发现：的面积为：________； (3)丙同学说我发现：点为边的中点，，，垂足为，则有，请写出的直接依据：________； (4)丁同学说受丙同学启发我发现，点为边上任一点，，垂足为，则有，请你为丁同学说说理由． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度 题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度 题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积 题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型五 根据30度角直角三角形的性质证明 题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型十一 折叠问题 题型十二 旋转问题 题型十三 动点问题 知识点1：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 知识点2：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 【例1】如图，在中，，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（    ） A．18 B．15 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的特征，根据直线m恰好垂直平分线段，得到，由，，利用三角形内角和定理求出，根据含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求解． 【详解】解：直线m恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 1．如图所示，将矩形（四角都是直角）纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，折痕，那么的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】由折叠的性质知，，、都是直角，则，求得，，进一步求得和，那么为等边三角形，即可得，，利用即可． 【详解】解：由折叠的性质知，，，、都是直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，则． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， 则， 故选∶C． 【点睛】本题考查图形的翻折变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是折叠的性质和角度之间关系的判断． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 3．若和的面积分别为．    (1)如图①，，比较与的大小为______； A．    B．    C．    D．不能确定 (2)说明（1）的理由． (3)如图②，在与中，，点在以为圆心，长为半径的半圆上运动，的度数为，比较与的大小（直接写出结果，不用说明理由）． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)当或时，，当或时，，当时， 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，三角形的面积公式： （1）过点作，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，利用三角形的面积公式进行判断即可； （2）同（1）即可得出结论； （3）将的边与重合，点C与点D重合，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故选C （2）过点作，过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）如图，将的边与重合，点与点重合，      ∵， ∴点在圆上， 由图可知：当或时，， 当或时，， 当时，． 【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 【例2】在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， 根据题意，， ∴此种情况不符合题意； 综上，的值为． 故选：． 1．如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识．分别求出，得到A选项成立；，得到B选项成立；根据角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得到，得到C选项成立；证明，，再证明，即可得到，即可证明，得到D选项错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A选项成立，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故B选项成立，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项成立，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D 2．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 3．如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ； （3）解：，， ， ， 又， ． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 【例3】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 1．如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（   ）    A．18 B．36 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，三角形的面积，含角的直角三角形，角平分线定义，延长交延长线于，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义得到，由垂直的定义定义得到，由三角形内角和定理推出，因此，求出的面积，由等腰三角形的性质推出，得到的面积的面积，即可求出的面积． 【详解】解：延长交延长线于， ∵， ， 平分 的面积的面积， 故选：A． 2．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，，则的面积等于 ． 【答案】18 【分析】 本题考查平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质，过点P作于点E，先得出，证明，再求出，得出，再根据角平分线的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点P作于点E， ∵， ∴， ∵是平分线上一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是平分线上一点，，， ∴， ∴的面积． 故答案为：18． 3．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出，进而求出∴，作，垂足为G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，点D是的中点． ，， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ∵ ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 作，垂足为G， ∵ ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 【例4】如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，过点P作于点，由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值；再根据作图可知是的角平分线，，最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点， 由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值， 由作图可知是的角平分线， ，即， 又， ， 线段的最小值为6， 故选C． 1．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查点到直线的最短距离，涉及含30度角的直角三角形的性质和折叠的性质，当，点P到边距离的值最小．由翻折的性质可知：．由含30度角的直角三角形的性质得，利用线段之间的关系即可． 【详解】解：如图所示：当，点P到边距离的值最小． 由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点P到边距离的最小值是． 故选：A． 2．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小是 ．    【答案】 【分析】在的下方作等边，证明，推出，从而算出，发现点在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】如图，在的下方作等边， ，， ， 在和中， ，   ， ， ， ， 是定点，是定值， 点在射线上运动， 当时，的值最小， 最小值， 故答案为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加正确的辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图，一条船上午时从海岛出发，以海里时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从， 处望灯塔，测得，． (1)求海岛到灯塔的距离； (2)若这条船继续向正北方向航行，则什么时间船与灯塔的距离最小? 【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为海里； (2)若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短． 【分析】（）根据三角形外角的性质求出，得到，则，求出即可； （）如图，过点作于点，根据垂线段最短可知线段的长为小船与灯塔的最短距离，求出，根据含角的直角三角形的性质可得，再计算得出从到的时间即可； 本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键． 【详解】（1）由题意得：（海里）． ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴从海岛到灯塔的距离为海里； （2）如图，过点作于点， ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， ∴海里， ∴， ∴航行的时间为（小时）， ∴若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短． 【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例5】如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作于D点，由等边三角形的性质得，则．根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” 可得，则可得．由等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】 过M点作于D点， 则， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 中，，， ， ． 故选：B 1．如图，点是线段上一动点，连接，，，，连接．当时，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，找出点P和点F重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 如图：在上取一点E，使，连接，过点E作于F，由，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点P和点F重合）时，最小，然后由含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：在上取一点E，使，连接，过点E作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小，即点P与点F重合，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，故线段长度的最小值是1， 故选：B． 2．如图，在中，，小新同学按以下步骤作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，含30度角直角三角形的特征，过点D作于点D，平分，则，再得出，最后根据三角形的面积公式，即可解答． 【详解】解：过点D作于点D， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为：4． 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ，， 在与中， ， ∴； （2）由（1）知，，则， ， ； （3）如图，由（2）知． ， ， ， ，即． 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例6】如图，在中，，，，是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，由，是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 1．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到．连结，则线段的长等于（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出，根据点是的中点，证明出为等边三角形，根据翻折的性质得到，证明出为等边三角形即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 又点是的中点， ， 为等边三角形， ， 将沿翻折得到， ， ， 为等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、含度的直角三角形，等边三角形的判定及性质，解题的关键是证明出为等边三角形，从而进一步证明出为等边三角形即可求解． 2．如图，在中，垂直平分线段，E为的中点，连接，若，则的长为 . 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些知识是关键；由垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得；由互余关系得，从而；再可得，从而求解． 【详解】解：垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 则； 在中，E为中点，， ， ， ． 故答案为：6． 3．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)请你猜测与的位置关系，并给予证明； (2)当时，求的长． 【答案】(1)．理由见解析 (2)5 【分析】此题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）连接，利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题． （2）根据题意得出，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：．理由如下： 连接， ∵，E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）∵，E、F分别是边的中点， ∴， ∵． ∴． 【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 【例7】在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解掌握这些知识点是解本题的关键．证明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，点为对角线的中点， ∴， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 1．如图，在中，，垂足为，点为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由直角三角形的性质得出，推出，，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 3．如图，在和中，，是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，运用等边对等角可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理和等边对等角可求，的值，然后根据计算求解即可． 【详解】（1）解：证明：在和中，，是的中点， ，， ； ． （2），，，， ，， 在和中，，，是的中点， ，， ，， ， ， ． 【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 【例8】如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 1．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8， ∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4， ∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE＝AC＝5， ∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 2．如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， 的周长． 故答案为：10． 3．如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)若＝4，＝10，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的周长为14； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． （1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长； （2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数即可得出答案． 【详解】（1）于F，于E，M为的中点， ，， ，, 的周长； 故的周长为14． （2）， ，， ， ， ， 故的度数为． 【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 【例9】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CD，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点， ∴AB=2CD， ∵CD=6， ∴AB=12， ∵CE⊥AB于点E，CE=5， ∴△ABC的面积= 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三 角形的性质是解题的关键. 1．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质，先求出斜边的长度，然后利用面积公式，即可得到答案． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边的长度为：， ∴它的面积：； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的中线的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，正确求出斜边的长度． 2．如图，一根长的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不变化，在木棍滑动的过程中，的面积最大为 ． 【答案】 【分析】当的斜边上的高h等于中线时，的面积最大． 【详解】解：如图， 若h与不相等，则总有，故根据三角形面积公式，有h与相等时的面积最大，此时， ， 所以的最大面积为． 故答案是：a2．． 【点睛】此题利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解的面积什么情况最大是解决本题的关键． 3．综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】(1)①，② (2)①；②， (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； 【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 【例10】如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接连接，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 是直角三角形 为的中点， ， 是等边三角形 点在线段的垂直平分线上 同理，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ， ， 则在和中， ． ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、垂线段最短，解题的关键在于画出正确辅助线． 1．如图，，已知的面积为60，且，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】作交于点H，连接，根据题意可得，根据得，在中，可得，根据（当点C、O、H共线时取等号）即可得． 【详解】解：如图所示，作交于点H，连接，    ∵的面积为60， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵（当点C、O、H共线时取等号）， ∴的最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形三边长关系，解题的关键是掌握这些知识点并适当添加辅助线． 2．如图，将矩形放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点分别在轴，轴上滑动，矩形的形状保持不变．若，则顶点到坐标原点的最大距离为 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，由三角形三边关系及特殊情况得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定；在中，由勾股定理可得，从而有，即可确定答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ， 在中，由三角形三边关系可得；当三点共线时可以取“”，即， 在中，；在中，，，则由勾股定理可得， ，即当三点共线时，有最大值，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及中点定义、三角形三边关系、直角三角形性质、勾股定理等知识，准确作出辅助线，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键． 3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称尺规作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定． （1）方法1，延长到D使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； 方法2，取中点M，连接，根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； （2）作点B关于的对称点，然后过点作的垂线交于点Q，交于点P，即可求解． 【详解】（1）证明： 方法1，如图，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法2，如图，取中点M，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）如图：此时最小． 【经典例题十一 折叠问题】 【例11】如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则的度数为（    ） A．108° B．74° C．72° D．54° 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 1．如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【详解】如图，连接，， ∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，    ∴，， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等． 2．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据，，边的中点是，得到，根据沿折叠，点与边的中点恰好重合，得到，得到四边形的周长为，解答即可． 【详解】解：由，，边的中点为， ∴， ∵沿折叠，点与边的中点恰好重合， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：4． 3．实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【答案】(1)①，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)25 【分析】（1）通过折叠,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=，倍长CD至点E，连接BE，先证，由全等的性质得到，再进一步证明，证得CE=AB,从而证得CD= （2）由垂线段最短知：AB边上中线长，又，所以，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25 【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =，下面证明 下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE， 在和中， 在和中， ∴CE=AB ∴CD=； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）由垂线段最短知：AB边上中线长 ,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时， 面积最小为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力． 【经典例题十二 旋转问题】 【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含角的直角三角板做实验，如图，，，分别是，的中点，标记点的位置后，将三角板绕点逆时针旋转，点旋转到点，在旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆，如图所示：在CB的延长线上时，线段取得最大值． 【详解】由题意可知点的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆， ∵， ∴， 如图所示：在CB的延长线上时，线段取得最大值． 最大值为： 故选C. 【点睛】考查含角的直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 1．如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质等知识点，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，即可判定①②，推出，求出，即可判定③，由，而只有是的中位线时，，即可判定④，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】中，，，是中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ①②正确，符合题意； ， ， ， ③正确，符合题意； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 不是的中位线， ， 故④错误，不符合题意； 即正确的有①②③， 故选：A． 2．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．当在内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．    【答案】①②③⑤ 【分析】根据同角的余角相等求出，可判定②正确，然后利用“角边角”证明，可判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍得出，可知随着点E的变化而变化，判定④错误，根据，，可证，判定⑤正确． 【详解】∵，P是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，，点P是的中点， ∴，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ④∵，的值不断变化， ∴的值不固定， ∴不能得出EF=AP，故④错误； ⑤∵，同理可证， ∴，故⑤正确． 故正确的序号有①②③⑤ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时，求证； (2)如图②，当点P与点O不重合时，求证； (3)直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图2中的结论为：，图3中的结论为：，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）由即可得出结论． （2）延长交于点G，证明得，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （3）图2中的结论为：，延长交于点G，只要证明，是等边三角形，即可解决问题． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， （3）图2结论为． 证明如下： 延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 选图3的结论为： 证明如下： 延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴∠AEO=∠G， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十三 动点问题】 【例13】如下图，已知点P是角平分线上的一点， M是的中点，，如果点C是上一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于C′，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质解答． 【详解】作于C′，则为的最小值，    ∵，M是的中点， ∴， ∵P是角平分线上的一点，， ∴， ∴cm， ∵P是角平分线上的一点，， ∴ 故的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 1．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键． 2．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，点为中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 是等边三角形 ， 垂直平分 同理可得：垂直平分 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析 (3)的值为或或或 【分析】（1）根据直角三角形的性质及等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据等边三角形的定义，按照题目要求求解即可得到结论；②连接，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，得到，根据等边三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （3）分四种情形：如图中，当时，设，如图中，当时，设，如图中，当时，设，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为中点， ， ， 是等边三角形； （2）①解：如图所示：   等边即为所求； ②证明：连接，如图所示：   ，， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ； （3）解：如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则有， ， ； 如图中，当时，设，则，   ，， ，解得， 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、尺规作图作相等线段、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质及角的和差倍分关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 2．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线定义、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是证明．根据，，根据直角三角形30度角的性质即可求得的长，再根据角平分线的性质即可得到，根据平行的，从而可推出，即得到了的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴（根据直角三角形30度角的性质）， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故选：． 5．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， 的周长． 故答案为：10． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【分析】根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线）， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵（三线合一）， ∴点F是BC中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴（等边对等角）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键． 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 10．（22-23八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得，根据含30°角的直角三角形可得，因此为等腰三角形，进一步由题意可知，即可证明为等边三角形． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ． （2）是等边三角形，理由如下： 连接， 垂直平分， ∴D为AB中点， ， 在中，， ， ， 又， ∴是等边三角形． 12．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，在一节数学课上，张老师画了一个三角形使得，然后让同学们根据条件大胆的提出问题．并结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学说我发现：_______度； (2)乙同学说我发现：的面积为：________； (3)丙同学说我发现：点为边的中点，，，垂足为，则有，请写出的直接依据：________； (4)丁同学说受丙同学启发我发现，点为边上任一点，，垂足为，则有，请你为丁同学说说理由． 【答案】(1)75 (2)100 (3)角平分线的性质或全等三角形的性质 (4)见解析 【分析】（1）利用等边对等角，进行计算即可； （2）过点作，交于点，根据所对的直角边，是斜边的一半，求出的长，再利用面积公式进行计算即可； （3）利用等腰三角形三线合一，以及角平分线的性质，作答即可； （4）利用等积法，进行证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作，交于点， 则， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：连接，如图， 方法一：∵，点D为边的中点， ∴平分， ∵，， ∴（角平分线上的性质）； 故答案为：角平分线的性质； 方法二：∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形的性质）； 综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：连接， ∵，，， ， ∵，， ∴， 即：， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，含的直角三角形，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形等边对等角，三线合一是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． （2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数． 【详解】（1）连接． ∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴； （2）， ，， ， ． 是高， ，即． ， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的性质得到，即可得到结论； （2）根据，，得到，由平行线的性质得到，由于，于是得到，即可得到结论； （3）根据，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：，， ， ， ， ， ； （3）解：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$