第02讲 空间向量基本定理（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第02讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型1 用空间基底表示向量】 【例1.1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高三上·山东临沂·期末）正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由空间向量基本定理求参数】 【例2.1】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 正交分解】 【例3.1】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·江西抚州·期末）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 模块二 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型4 证明平行、共线、共面问题】 【例4.1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【例4.2】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【变式4.1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【变式4.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知为空间的一个基底，且，，，． (1)判断四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由． 【题型5 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【例5.2】（23-24高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【变式5.1】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【变式5.2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【题型6 几何中的求距离(长度)问题】 【例6.1】（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【例6.2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【变式6.2】（23-24高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【题型7 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例7.1】（23-24高二上·江西·阶段练习）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【例7.2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    13．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 14．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    四、解答题 15．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 16．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 17．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 18．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型1 用空间基底表示向量】 【例1.1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】取中点，连接，，由底面为正三角形， 知过点，且. 于是， 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【解答过程】如图，因为分别是的中点，，又， 所以， 得到， 故选：A. 【变式1.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理结合线段比例关系分解向量即可. 【解答过程】由题意 . 故选：A. 【变式1.2】（23-24高三上·山东临沂·期末）正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据几何体的特征，结合向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】，，， 三个式子相加得， .    故选：A. 【题型2 由空间向量基本定理求参数】 【例2.1】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】由题意知： ， 又， 所以则. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果. 【解答过程】    因为，， 所以 ， 因为，所以，，， 所以. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【解答过程】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故选：A. 【题型3 正交分解】 【例3.1】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【例3.2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高二上·江西抚州·期末）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】设向量在基底下的坐标为，则， 又向量在基底下的坐标为，则， 所以，即， 所以解得 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据 ，可得，从而求出答案. 【解答过程】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 模块二 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型4 证明平行、共线、共面问题】 【例4.1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【例4.2】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【解题思路】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【解答过程】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，解得，， 故不能作为基底. 【变式4.1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【解题思路】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解. （3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解. 【解答过程】（1） 且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面 所以存在实数使得， 即 ， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 【变式4.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知为空间的一个基底，且，，，． (1)判断四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由． 【解题思路】 （1）假设四点共面，然后利用空间向量共面定理列方程求解； （2）先判断不共面，再利用空间向量基本定理列方程求解. 【解答过程】（1） 假设四点共面， 则存在实数，使，且， 即 比较对应的系数，得到关于的方程组 ，解得与矛盾， 故四点不共面． （2） 若共面，则存在实数，使， 所以， 所以，方程组无解， 所以不共面， 所以可以作为空间的一组基底，令， 所以，解得 所以 . 【题型5 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【解答过程】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【例5.2】（23-24高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【解题思路】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【解答过程】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 【变式5.1】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【解题思路】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【解答过程】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以. 【变式5.2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【解题思路】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为. 【题型6 几何中的求距离(长度)问题】 【例6.1】（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 【例6.2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于点，通过三角形重心的性质得出为的中点，结合已知即可得出,再通过三棱台的性质得出，则，即可将分解为，即可利用向量模的求法结合已知得出答案. 【解答过程】如图，延长交于点， 的重心为， 为在边上的中线，即为的中点， 三棱台中， ， ,, ， 三棱台中，面 面，且面分别交面，面于，， ， ，则， 得， 所以. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【解题思路】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果． 【解答过程】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 【变式6.2】（23-24高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【解题思路】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可. 【解答过程】（1）， ．    （2）， 所以， 所以 ， 所以. 【题型7 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例7.1】（23-24高二上·江西·阶段练习）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【解题思路】设，从而，然后由为基底，表示向量，再利用向量数量积的运算律求解. 【解答过程】解：设，则， 由题意得，. 所以， ， ， ， 当时.取得最大值，且最大值为. 故选：C. 【例7.2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案. 【解答过程】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故， 在上取点，使得，连接， 设，连接， 则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分， ∵∽， ， 点到平面的距离是点到平面的距离的，又， . 故选：A. 【变式7.1】（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【解答过程】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 【解题思路】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【解答过程】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用空间向量的基地概念判断选项即可. 【解答过程】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B. 2．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果． 【解答过程】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 【解题思路】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断. 【解答过程】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 所以，所以， 设为的中点，所以，所以， 所以点在平面内，且为的重心，所以B正确， 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，所以C错误， 对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使，所以D正确， 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理结合已知条件用表示出，然后对所得的等式两边平方化简可求得结果. 【解答过程】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【解答过程】， 所以，故． 故选：C. 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【解答过程】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 7．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【解答过程】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有 ， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 8．（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【解题思路】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【解答过程】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【解答过程】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 11．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 【解题思路】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【解答过程】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误；    对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【解题思路】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【解答过程】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 13．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【解题思路】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【解答过程】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 14．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    【解题思路】根据空间向量线性运算法则及基本定理求出、、，再根据及数量积的运算律计算可得. 【解答过程】依题意，， 因为 ， 又，所以，所以； 则 . 故答案为：；. 四、解答题 15．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【解答过程】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 16．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【解题思路】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【解答过程】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 17．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【解题思路】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可. 【解答过程】（1） . （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以 ， 又因为，所以. 18．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 19．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【解答过程】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$